第七章动量定理和动量守恒定律

第7章 动量定理和动量守恒定律

§7-1动量定理和动量守恒定律

物体之间或物体内部各部分之间因运动发生相对位置变化的过程称为机械运动。它是物质的各种各样运动形式中最简单、也是最普遍的一种，例如：行星绕太阳的转动、宇宙飞船的航行、机器的运转、弹簧的伸长或压缩、水和空气等流体的流动…等等，都是机械运动。而各种复杂的运动形式如生命现象、化学反应等，虽然也有位置的变化，但并不归结为机械运动。

机械运动有两种量度：如果存在的机械运动仍以保持机械运动的形式进行传递，那么应以动量v m 来量度；如果机械运动转变为其它形式的运动，应以动能221

mv 来量度。即动量是以机

械运动来量度机械运动，动能是以机械运动转化为一定量的其它形式的运动的能力来量度机械运动的，动量和动能是研究机械运动不可缺少的物理量。

动量、动量定理

1、动量p

物体的质量m 与其速度的乘积，称为该物体的动量p ，即v m p =。在直角坐标系中动量p

可表示为 k p j p i p k mv j mv i mv v m p z y x z y x =+=++== （7-1-1）

由（7-1-1）式知，动量是一个矢量，具有瞬时性。

2、动量定理

若在时刻t ，物体的动量为)(t p ，经过t ?时间段，其动量为)(t t p ?+ ，在t t t ?+-时间微元段上，其动量的增量p d

为 )()(t t t d -?+=

若在该时间元段t ?内，物体受力f 作用，由牛顿第二定律知有

dt f p d = （7-1-2）

关系成立。若在21t t -的时间段上，物体受力f 作用，将每一个时间元段上动量的增量p d 加起来，即在21t t -的时间段上对其求和，则该时间段上的动量增量p ?为

dt f p t t ?→

→=-=?2112 （7-1-3） （7-1-2）式与（7-1-3）式就是动量定理的表述。人们又常把（7-1-3）式的右项?2

1t t dt f 称为力

f 的冲量。

对于由多个物体所组成的系统，其总动量等于各物体动量i p 的矢量和，即系统总动量p 为 ∑==n i i p p 1

系统所受的力可分为：外力、内力，外力即来自系统外的作用，内力即指系统内各物体间的相互作用力。由牛顿第三定律知：内力在整个系统中总是成对、等大、反向地存在，因此所有内力的矢量和等于零。由此知，在力作用下，系统中各物体发生了机械运动的传递，即有动量的变化，但内力虽然使系统内各物体的动量发生改变，却与系统总动量的改变无关，系统总动量的改变只与外力的时间作用过程有关，由（7-1-3）式可得

?∑∑=-=-=?==2

1111212t t n i i n i i dt f p p p p p （7-1-4）

（7-1-4）式告诉我们：系统的总动量的改变等于合外力f 的冲量。（7-1-4）式就是系统的动量定理。

动量守恒定律

1、动量守恒定律

由（7-1-3）式和（7-1-4）式知，当物体或物体系统不受外力作用时，有

012=-=?p p p （7-1-5）

或 0111212=-=-=?∑∑==n

i i n i i p p

p p p （7-1-6） （7-1-5）式和（7-1-6）式就是动量守恒定律的数学表达式。它的内容就是：若在一物理过程中，系统不受外力或所受合外力等于零，系统的总动量将保持不变。这一自然规律叫动量守恒定律，是自然界的基本规律之一。

动量定理常用来研究碰撞过程。碰撞过程的特征是：两

物体碰撞瞬间，冲力很大；作用时间很短。两物体通过碰撞，

进行了机械运动的传递，彼此的动量都有变化。一般说来。

对于两个碰撞的物体，由于它们间的内作用力（冲力）远大

于外作用力，外作用力可忽略，在碰撞过程中近似地看作满

足动量守恒。图7-1-1给出了碰撞瞬间冲力的示意图。

用动量守恒定律不难解释我们经常目睹的现象：人走向

小车一端时，小车将向另一端移动；子弹从枪膛射出时，枪

身会向后坐；爆炸的碎片总是飞向四面八方；当火箭向后喷

射出炽热的气体时，火箭将呼啸地冲向蓝天；……。在这些现象中都遵从着动量守恒定律。

2、中微子的提出

图7-1-1冲力-时间曲线

至今人们还未发现违背动量守恒定律的例子存在。每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒守律的现象时，物理学家就提出一些新的假设来补救，最后总是以有新发现而胜利告终，例如对β衰变过程的认识和中微子的提出。β衰变是一个原子核A 射出一个电子e 后转化为另一原子核B 的过程，如果没有其它粒子参与，则其过程可写为

e B A +→

若A 是孤立的，且静止的，即初态总动量是为零，则不管其过程细节如何，由动量守恒定律可预言：B 不可避免地将在射出的电子e 的反方向上反冲，才能使终态总动量等于零。但β衰变的云室照片显示，B 和电子e 的经迹并不在一条直线上，终态总动量不为零，实验中好象出现了违背动量守恒定律的反常现象。为了解释β衰变中出现的反常现象，确保动量守恒定律的成立，W.泡利于1930年提出了假设：在β衰变中有另一个未被发现的粒子——中微子存在，正是B 、电子e 和中微子的总动量为零。由于中微子既不带电，其质量又净乎为零，在实验中极难测量，直到26年后，即1956年才终于在实验中直接找到了中微子，证实泡利的假设是正确的，当然也再次证实动量守恒定律的成立。

3、火箭飞行原理

作为动量守恒定律的应用，下面来讨论火箭的飞行原理。火箭是宇宙航行的运载工具。火箭飞行时，燃料在燃烧室中燃烧，向火箭飞行的相反方向不断喷出速度很大的气体，使火箭获得很大的动量，从而获得巨大的前进速度。火箭的飞行不需要空气的作用，它自身带有助燃室，因此可以在空气稀薄的高空或外层空间飞行。

为简单起见，设火箭在自由空间飞行，即它不受引力及空气阻力等任何外力的影响。因为火箭是变质量系统，不同时刻质量不同，喷出气体的速度不同，故不能从过程的始末状态来考虑，只能从t 到dt t +时刻的元过程来分析。把某时刻t 的火箭(包括火箭体和尚存的燃料等)作为研究对象，设t 时刻，总质量为m ，速度为v 。经过d t 时间，由于火箭

喷出气体，箭体的速度增加为dv v +，火箭体的质量变为dm m +(由于火箭体的质量减小，故dm 为负值)。dt 时间内喷出气体质量为dm -，其喷出时相对于火箭体的速度为u ，根据动量守恒定律，有

)())((u v dm dv v dm m mv --++=

展开此等式，并略去二阶无穷小量dmdv ，可得

udm mdv -=

设火箭点火时，其质量为0M ，初速度为0v ，燃料烧完后，火箭质量为f M ，速度为f v ，则对上式积分，有

??-=f f M M v v dm u dv m 00

由此得

u m M M v v f f 0

0-=-

此式表明，火箭在燃烧后所增加的速度和喷气速度成正比，也和火箭始末质量比的自然对数成

正比，这结论给出了提高火箭速度的方法。

在目前的技术条件下，一般火箭的喷气速度可达到2500m·s-1左右，比如要使火箭的速度达到7900 m·s-1，根据上式计算所需的质量比为24，即1吨重的火箭必须载23吨重的燃料，这在目前的技术条件下是困难的，一般的火箭的质量比能达到6左右。为了使火箭获得高速度，现在采用多级火箭。一级的燃料用完时，壳体将自行脱落，随之第二级火箭将被点燃。以此下去，火箭最后将获得很大的速度。以三级火箭为例，设三级火箭质量比分别为

3

2

1

,

,N

N

N。第

一级的初速度为零，第一级脱落时末速度为

1

v，第二级脱落时末速度为

2

v，最后速度为

3

v，仍设火箭喷出的气体相对于火箭体的速度为u，则有

3

2

3

2

1

2

1

1

ln

ln

ln

N

u

v

v

N

u

v

v

N

u

v

=

-

=

-

=

三式相加，则

()

3

2

1

3

ln N

N

N

u

v=

由于质量比大于1，因而火箭级数越多，最后获得的速度越高。当然，实际中由于空气阻力和地球引力的影响，最后达到的速度比理论计算值要低。

§7-2动量守恒和空间平移对称性

对称性

1、什么是对称性

在千变万化的物质世界中，存在着一类普遍具有的特性，那就是对称性，如：人的身体、植物的枝叶、洁白的雪花、蝴蝶的翅膀、晶体的结构等等，举不胜数。对称就是美，这已成了很多人的共识，见图7-2-1。

（a）树叶（b）蝴蝶（c）NaCl晶体

那么，对称的概念到底是什么对称性的定义：如果某个体系（即研究对象）经某种操作（或称变换）后，其前后状态等价（相同），则称该体系对此操作具有对称性，相应的操作称为对称操作。简言之，对称性就是某种变换下的不变性。例如：如果把球绕通过球心的任意轴旋转一下，球就处于不同的状态，但这些不同的状态没有任何区别，都是相同的，旋转是一种操作，因此我们说球具有旋转对称性。又如：我们站在镜子面前，镜子反射的像与我们一模一样，反

图7-2-1 自然界表现出的对称

射就是一种操作，我们及像具有“镜面反射对称”，简称镜面对称。

在物理学中，存在着两类不同性质的对称性，一类是某个系统或者某件具体事物的对称性，在前边叙述的那些对称性即为此类。另一类是物理规律的对称性。物理规律的对称性是指经过一定的操作后，物理规律的形式不变。比如：牛顿定律在伽利略时空变换式下保持形式不变就是这一类。

由于变换或说操作的方式不同，可以有各种不同的对称性。最常见的的对称操作是时空对称操作，相应的对称性称为时空对称性。时空对称操作可分为：空间操作，如空间平移、转动、镜面反射等；时间操作，如时间平移、时间反演等；时空联合操作，如伽利略时空变换、洛伦兹时空变换等。

2、对称性原理

自然规律反映了事物之间的“因果关系”，就是在一定的条件（原因）下会出现一定的现象（结果）。因果之间规律性的联系体现为可重复性和预见性，也就是说相同（或等价）的原因必定产生相同（或等价）的结果。用对称性的语言来表述这个结论就给出了对称性原理。 原理的内容：原因中的对称性必然反映在结果中，结果中的对称性至少和原因中的对称性一样多；结果的不对称性必然出自原因中的不对称性，原因中的不对称性至少和结果中的不对称性一样多。

对称性原理是自然界的一条基本原理，有时，在不知道某些具体物理规律的情况下，我们可以根据对称性原理进行分析，对问题给出定性或半定量的结果。

在下边即将介绍空间平移对称性与动量守恒，在§介绍空间旋转对称性与角动量守恒，在§介绍时间平移对称性与能量守恒。

3、空间平移 空间平移是指对位矢作0r r r +→的变换，相应的对称性称之为“平移对称性”。

例如，一个不带任何标记的无限大平面，对沿平面的任意平移具有对称性，而当此平面上均匀布满方格时，则对沿平面的特定方位（如边长或对角线方位）平移某个长度的整数倍具有对称性。

动量守恒和空间平移对称性

在物理学中，在平直空间的条件下，我们始终承认和应用着另一条假定，即空间的均匀性。这就是说，空间各处的性质是相同的，空间各处发生的物理现象服从相同的规律。比如说，当年牛顿在英国得出了牛顿第二定律，由物体受力可以计算出它的加速度，在今天的中国和世界其他各地，遵从这一规律的精确程度没有丝毫的差异。伽利略当年在意大利得出的自由落体规律，在世界各地都同样适用。如果物理条件相同，同一物理实验无论放在什么地方做，都会得到相同的结果。空间的均匀性意味着，当用坐标及运动方程表示物体运动时，移动坐标原点，物理规律(表现为运动方程)的形式不会改变，也就是说，物理规律对于坐标平移变换具有不变性。这种不变性表明，空间中的所有点是完全等价的，物理规律对于空间各点都是一样的。

考虑由一对相互作用的质点A 、B 组成的系统，采用两种方式改变其状态：

（1）B 不动，A 平移S ?至/A ，相互作用势能增量S f E p ??-=?1（反抗B 对A 的力做功），状态由B A AB /→。

（2）A 不动，B 平移S ?-至/B ，相互作用势能增量S f S f E p ??=?-?-=?22/)(（反

抗A 对B 的力做功），状态由/AB AB →，如图7-2-2示。

因为B A /和/AB 是两个空间平移状态，它们的相对位

置是一样的。空间均匀性，即空间平移不变性意味着，两

质点间的相互作用势能仅与它们的相对位置有关，与它们

在空间的平移无关，因此有/p p E E ?=?。由此可得

21f f -=，根据力等于动量变化率的定义，可得两质点

的动量恒矢量=+B A p p ，即体系的动量守恒。

空间均匀性或说空间平移对称性对应的是动量守

恒定律。动量守恒定律开始由实验得出，后来又在牛顿

定律的基础上得到了理论证明，以上我们又从空间均匀

性推导出了动量守恒定律。动量守恒定律是自然界中普遍适用的规律之一。

问 题

7-1、简述动量守恒定律，并举出一例现象说明。

7-2、为什么你在湖中的小船上由一端走向另一端时，小船会向反方向运动。 7-3、为什么当炸弹在空中爆炸时，其碎片会飞向四方。

7-4、当你从高台上跳下来，与地相撞，这个现象满足动量守恒吗

7-5、试阐述空间平移对称性与动量守恒的关系。

图7-2-2