运筹学各章的作业题答案
《管理运筹学》各章的作业
----复习思考题及作业题
第一章绪论
复习思考题
1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。
2、了解运筹学的内容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。
3、体会运筹学的学习特征和应用领域。
第二章线性规划建模及单纯形法
复习思考题
1、线性规划问题的一般形式有何特征
2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步
3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么
4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误
5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法
9、大M 法中，M 的作用是什么对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么最大化问题呢
10、什么是单纯形法的两阶段法两阶段法的第一段是为了解决什么问题在怎样的情况下，继续第二阶段
作业题:
1、把以下线性规划问题化为标准形式：
(1)max z=x1-2x2+x3
.x1+x2+x3≤12
2x1+x2-x3≥6
-x1+3x2＝9
x1,x2,x3≥0
(2)min z=-2x1-x2+3x3-5x4
x1+2x2+4x3-x4≥6
2x1+3x2-x3+x4＝12
x1+x3+x4≤4
x1,x2,x4≥0
(3)max z=x1+3x2+4x3
.3x1+2x2≤13
x2+3x3≤17
2x1+x2+x3=13
x1,x3≥0
2、用图解法求解以下线性规划问题
(1)max z=x1+3x2
.x1+x2≤10
-2x1+2x2≤12
x1≤7
x1,x2≥0
(2)min z=x1-3x2
.2x1-x2≤4
x1+x2≥3
x2≤5
x1≤4
x1,x2≥0
3、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
max z=2x1+x2-x3
.x1+ x2+2x3≤6
x1+4x2-x3≤4
x1,x2,x3≥0
4、用单纯形表求解以下线性规划问题
(1)max z=x1-2x2+x3
.x1+x2+x3≤12
2x1+x2-x3≤6
-x1+3x2≤9
x1,x2,x3≥0
(2)min z=-2x1-x2+3x3-5x4
x1+2x2+4x3-x4≤6
2x1+3x2-x3+x4≤12
x1+x3+x4≤4
x1,x2,x3,x4≥0
5、用大M法和两阶段法求解以下线性规划问题
(1)Max z=x1+3x2+4x3
.3x1+2x2≤13
x2+3x3≤17
2x1+x2+x3=13
x1,x2,x3≥0
(2)max z=2x1-x2+x3
.x1+x2-2x3≤8
4x1-x2+x3≤2
2x1+3x2-x3≥4
x1,x2,x3≥0
6、某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表所示：
7、某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需依次经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需依次经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需依次经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需依次经过A、B机器加工。。有关数据如表所示，请为该厂制定一个最优生产计划。
第三章线性规划问题的对偶及灵敏度分析
复习思考题
1、对偶问题和它的经济意义是什么
2、简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么
3、什么是资源的影子价格它和相应的市场价格之间有什么区别
4、如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系
5、利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解
6、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意义是什么
7、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ，其经济意义是什么 8、关于i j j i b c a ,,单个变化对线性规划问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响有多少种不同情况如何去处理
9、线性规划问题增加一个变量，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响如何去处理
10、线性规划问题增加一个约束，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响如何去处理
作业题
1、写出以下问题的对偶问题
(1) min z= 2x 1 +3x 2 +5x 3 +6x 4
. x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 ≥2 -2x 1 -x 2 -x 3 +3x 4 ≤-3
x 1, x 2, x 3, x 4 ≥0
(2) min z= 2x 1 +3x 2 -5x 3 .
x 1
+x 2
-x 3
+x 4 ≥5
2x 1
+x 3
≤4
x 2 +x 3 +x 4 =6
x 1≤0, x 2≥0, x 3≥0, x 4无符号限制
2、已知如下线性规划问题
Max z= 6x 1 -2x 2 +10x 3 . x 2 + 2x 3 ≤5 3x 1 -x 2 + x 3
≤10
x 1,
x 2,
x 3
≥0
其最优单纯形表为
（1）写出原始问题的最优解、最优值、最优基 B 及其逆 B -1。
（2）写出原始问题的对偶问题，并从上表中直接求出对偶问题的最优解。
3、用对偶单纯形法求解以下问题
(1)min z=4x1+6x2+18x3
.x1+3x3≥3
x2+2x3≥5
x1,x2,x3≥0
(2)min z=10x1+6x2
.x1+x2≥2
2x1-x2≥6
x1,x2≥0
4、已知以下线性规划问题
max z=2x1+x2-x3
.x1+2x2+x3≤8
-x1+x2-2x3≤4
x1,x2,x3≥0
及其最优单纯形表如下：
(1) 求使最优基保持不变的c2=1的变化范围。如果c2从1变成5，最优基是否变化，如果变化，求出新的最优基和最优解。
(2) 对c1=2进行灵敏度分析，求出c1由2变为4时的最优基和最优解。
(3) 对第二个约束中的右端项b2 = 4 进行灵敏度分析，求出b2 从4 变为1 时新的最优基和最优解。
(4) 增加一个新的变量x6，它在目标函数中的系数c6 = 4，在约束条件中的系数向
量为a
6
1
2
=
?
?
?
?
?
?，求新的最优基和最优解。
(5) 增加一个新的约束x2+x32，求新的最优基和最优解。
5、某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种产品，每种产品消耗原料定额以及三种原料的数量如下表所示:
（1）求使总利润最大的生产计划和按最优生产计划生产时三种原料的耗用量和剩余量。
（2）求四种产品的利润在什么范围内变化，最优生产计划不会变化。
（3）求三种原料的影子价格。
（4）在最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺如果甲原料增加120吨，这时紧缺程度是否有变化
第四章运输问题
复习思考题
1、运输问题的数学模型具有什么特征为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于+n
m
-
1
2、用西北角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么
3、最小元素法的基本思想是什么为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案
4、试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么
5、用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路这闭回路是否是唯一的
6、试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
7、试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
8、如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
9、一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型
作业题
1、求解下列产销平衡的运输问题，下表中列出的为产地到销地之间的运价。
（1）用西北角法、最小元素法求初始基本可行解；
（2）由上面所得的初始方案出发，应用表上作业法求最优方案，并比较初始方案
2、用表上作业法求下列产销平衡的运输问题的最优解：（表上数字为产地到销地的运价，M 为任意大的正数，表示不可能有运输通道）
（
1）
（2）
3、用表上作业法求下列产销不平衡的运输问题的最优解：（表上数字为产地到销地的里程，M 为任意大的正数，表示不可能有运输通道）。
（1）
4、某农民承包了5块土地共206亩，打算小麦、玉米和蔬菜三种农作物，各种农作物的计划播种面积（亩）以及每块土地种植各种不同的农作物的亩产数量（公斤）见
1200）减去每一个亩产量，得到新的求最小的运输表，再进行计算。得到求解的结果后，再通过逆运算得到原问题的解。（想一想为什么）
第五章动态规划
思考题
主要概念及内容：
多阶段决策过程；阶段及阶段变量；状态、状态变量及可能的状态集合；决策、决策变量及允许的决策集合；策略、策略集合及最优策略；状态转移方程；K－子过程；阶段指标函数、过程指标函数及最优值函数；边界条件、递推方程及动态规划基本方程；最优性原理；逆序法、顺序法。
复习思考题：
1、试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。
2、动态规划的阶段如何划分
3、试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
4、试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界条件等概念。
5、试述建立动态规划模型的基本方法。
6、试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
作业题
1、用动态规划求解以下网络从A到G的最短路径。
A
B
B
B
C
C
D
D
D
E
E
F 1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
5
2
1
6
4
3
7
3
3
3
2
5
4
2
7
10
8
9
7
11
9
12
13
2、某公司有5台设备，分配给所属A,B,C 三个工厂。各工厂获得不同的设备台数所能产生效益（万元）的情况如下表。求最优分配方案，使总效益最大。
3、用动态规划求解以下非线性规划问题： max z = x 1 2 x 2 ·3 x 3 . x 1+3x 2+2x 3 ≤12 x 1 , x 2 , x 3 ≥0
4、某企业生产某种产品，每月月初按订货单发货，生产的产品随时入库，由于空间的限制，仓库最多能够贮存产品90000件。在上半年（1至6月）其生产成本（万元／千件）和产品订单的需求数量情况如下表：
已知上一年底库存量为40千件，要求6月底库存量仍能够保持40千件。
问：如何安排这6个月的生产量，使既能满足各月的定单需求，同时生产成本最低。
第六章 排队论
复习思考题
1、排队论主要研究的问题是什么
2、试述排队模型的种类及各部分的特征；
3、Kendall 符号C B A Z Y X /////中的各字母分别代表什么意义；
4、理解平均到达率、平均离去率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念；
5、分别写出泊松分布、负指数分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；
6、试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
7、讨论求解排队论问题的过程
8、熟悉状态转移速度图的绘制；掌握利用状态转移速度图寻找各状态发生概率之间的关系，导出各状态发生概率与P 0的关系的方法，进而计算有关的各个量。 9、如何对排队系统进行优化（服务率，服务台数量）
作业题
1、某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达的人数服从Poisson分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，每次服务平均需要6分钟。求：
（1）修理店空闲的概率；
（2）店内有三个顾客的概率；
（3）店内至少有一个顾客的概率；
（4）在店内平均顾客数；
（5）顾客在店内的平均逗留时间；
（6）等待服务的平均顾客数；
（7）平均等待修理的时间；
2、一个理发店有3名理发员，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为15秒钟；理发时间服从负指数分布，平均理发时间为分钟。求：
（1）理发店内无顾客的概率；
（2）有n个顾客在理发店内的概率；
（3）理发店内顾客的平均数和排队等待的平均顾客数；
（4）顾客在理发店内的平均逗留时间和平均等待时间；
3、某修理部有一名电视修理工，来此修理电视的顾客到达为泊松流，平均间隔时间为20分钟，修理时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。求：
（1）顾客不需要等待的概率；
（2）修理部内要求维修电视的平均顾客数；
（3）要求维修电视的顾客的平均逗留时间；
（4）如果顾客逗留时间超过小时，则需要增加维修人员或设备。问顾客到达率超过多少时，需要考虑此问题
4、某公用电话亭只有一台电话机，来打电话的顾客为泊松流，平均每小时到达20人。当电话亭中已有n 人时，新到来打电话的顾客将有n/4 人不愿等待而自动离去。已知顾客打电话的时间服从负指数分布，平均用时3分钟。
（1）画出此排队系统的状态转移速度图；
（2）导出此排队系统各状态发生概率之间的关系式，并求出各状态发生的概率；
（3）求打电话顾客的平均逗留时间。
5、某工厂有大量同一型号的机床，其损坏率是服从泊松分布的随机变量，平均每天损坏 2 台，机床损坏时每台每天的损失费用为400 元。已知机修车间的修理时间服从负指数分布，平均每台损坏机床的维修时间为1/ 天。又知与车间的年开支费用K （K>1900元）的关系如下：
( K ) = + K ；
试决定是该厂生产最经济的K 及的值。
作业题的参考解：
第二章
1、把以下线性规划问题化为标准形式：
(1) max z = x 1
-2x 2 +x 3
. x 1
+x 2 +x 3 +x 4 ＝12 2x 1 +x 2 -x 3 -x 5 ＝ 6 -x 1
+3x 2
＝ 9
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0
(2) Max f= 2x 1 +x 2 -3x’3 +3x”3 +5x 4
x 1 +2x 2 +4x’3 -4x”3
-x 4
-x 5 ＝ 6 2x 1 +3x 2 -x’3 +x”3 +x 4 ＝12 x 1
+x’3 -x”3 +x 4 +x 6 ＝ 4
x 1,
x 2,
x'3,
x"3, x 4,
x 5, x 6 ≥ 0
(3) max z= x 1 +3x’2 -3x”2 +4x 3
. 3x 1 +2x’2 -2x”2 +x 4 ＝13 x'2 -x”2 +3x 3
+x 5 ＝17
2x 1 +x’2 -x”2 +x 3 ＝13
x 1, x'2, x"2,
x 3
x 4,
x 5 ≥0
2、(1) x* = (2, 8)T , z* = 26；(2) x* = (0, 5)T , z* = -15 。
3、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
max
z= 2x 1 +x 2 -x 3 . x 1 + x 2 +2x 3 ≤6 x 1 +4x 2 -x 3 ≤4 x 1, x 2, x 3 ≥0
[
]
A a a a a a 1
2345
==-?????
?1121014101 （1）[
]
B a a B 1
2
1==??????=--?????
?-11144313131311
,//// X B b X B N x x x x x =??????==--????????????=-??????
=??????
????=??????
?
???-1211
345431313136420323000//////, B 1不是可行基，X X B N x x x x x =?????
?=
-??????=??????
?
?
??=
??????
?
?
??1234520323000//,不是基础可行解。 （2）[
]
B a a B 1
2==-??????=-????
?
?-321121113231313,////
X B b X B N x x x x x =??????==-????????????=??????
=??????
????=???????
???-1321
245132313136414323000//////, B 2是可行基，X X B N x x x x x =?????
?=
??????=??????????=??????
?
?
??1324514323000//,是基础可行解，目标函数值为：
[
][]
z c c x x B T ==??????=-????
?
?=-C B b 21
1
3132114323263///
（3）[
]
B a a B 1
3==??????=-?????
?-4
31
11100111,
B 3是基础可行解，X X B N x x x x x =????
??=
????
?
?=??????????=???????
?
??1423542000,是基础可行解，目标函数值为： [
][]
z c c x x B T ==??????=????
?
?=-C B b 31
1
41420428 （4）[
]
B a a B 4==??????=-????
?
?-1
5
4110111011, X B b X B N x x x x x =?????
?==
-??????????
?
?=-??????=??????????=??????
?
???-1541
23410116462000, B 4不是可行基，X X B N x x x x x =????
?
?=
-??????=??????????=??????
?
?
??1523462000,不是基础可行解。 （5）[
]
B a a B 5==-??????=-????
?
?-2
3
51124119294919,//// X B b X B N x x x x x =??????==-????????????=??????=??????
?
???=??????
?
???-2351
1451929491964149209000//////,
B 5是可行基，X X B N x x x x x =??????=??????
=??????????=??????
?
???23145149209000//,是基础可行解，目标函数值为： [
][]
z c c x x B T
==??????=-?????
?=-=--C B b 5
12
323111492096923////
（6）[
]
B a a B 6==??????=-????
?
?-2
4
611140014114,// X B b X B N x x x x x =??????==-???????????
?=??????=??????????=??????
?
???-2461
1350141146415000//, B 6是可行基，X X B N x x x x x =??????=??????=??????????=??????
?
?
??2413515000,是基础可行解，目标函数值为：
[
][]
z c c x x B T
==??????=?????
?=-C B b 6
12
42410151 （7）[
]
B a a B 7==??????=-????
?
?-2
5
7110411041,
B 7不是可行基，X X B N x x x x x =??????=-??????=??????????=??????
?
?
??2513462000,不是基础可行解。
（8）[
]
B a a B 8==-??????=-????
?
?-3
4
8121100112, X B b X B N x x x x x =??????==-???????????
?=-??????=??????
?
?
??=??????
?
???-3481
125011264414000, B 8不是可行基，不是基础可行解。
（9）[
]
B a a B 9==-??????=????
?
?-3
5
912011120121,//
X B b X B N x x x x x =??????==????????????
=??????=??????
????=??????
?
???-3591
1241201216437000//, B 9是可行基，X X B N x x x x x =?????
?=
??????=??????
?
???=??????
?
?
??3512437000,是基础可行解，目标函数值为： [
][]
z c c x x B T ==??????=-????
?
?=--C B b 91
3
53510373 （10）
X B b X B N x x x x x =??????==????????????
=??????=??????
????=??????
?
???-45101
12310016464000, B 10是基础可行解，X X B N x x x x x =?????
?=
????
?
?=???????
???=???????
?
??4512364000,目标函数值为： [
][]
z c c x x B T ==??????=????
?
?=-C B b 101
4
54500640 在可行基B 2、B 3、B 5、B 6、B 9、B 10中，最优基为B 2，最优解为：
X B b X B N x x x x x =??????==-????????????=??????=??????
?
???=??????
?
???-1321
245132313136414323000//////, 是基础可行解，目标函数值为：
4、(1) x* =（0, 0, 12, 0, 18, 9 ）T ， z* = 12；
或 x* =（6, 0, 6, 0, 0, 15 ）T ， z* = 12 。
（2） x* = (0, 8/3, 0, 4, 14/3, 0, 0)T ， z* = -68/3
5、(1) 原问题的最优解：x* = (3, 2, 5 )T ， z * = 29
(2) 原问题的最优解：x* = (0, 3, 5, 15, 0, 0)T ， z* = 2。
6、解：设五种饲料分别选取54321,,,,x x x x x 公斤，则得下面的数学模型：
543218.03.04.07.02.0min x x x x x Z ++++=
???
????=≥≥++++≥++++≥++++)5,4,3,2,1(01008.022.05.0305.022.05.070012623543215
432154321j x x x x x x x x x x x x x x x x j ；
7、解：设)4,3,2,1(=j x j 为第j 种产品的生产数量，则有
43214321256.295.325.2752385549max x x x x x x x x Z ----+++=
?????????≥≤+≤++≤++0
,,,7015
1012010102015020201043213
24314
21x x x x x x x
x x x x x
其中：49=65-16 ；=200/20 + 150/10 ，依次类推。
第三章
1、写出以下问题的对偶问题
(1) min z= 2x 1 +3x 2 +5x 3 +6x 4
. x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 ≥2 -2x 1 -x 2 -x 3 +3x 4 ≤-3
x 1, x 2, x 3, x 4 ≥0
对偶问题为
max
y= 2w 1 +3w 2 . w 1 +2w 2 ≤2 2w 1 +w 2 ≤3 3w 1 +w 2 ≤5 w 1 -3w 2 ≤6
w 1≥0
w 2≥0
(2) min z= 2x 1 +3x 2 -5x 3
. x 1 +x 2 -x 3 +x 4 ≥5 2x 1 +x 3 ≤4
x 2 +x 3 +x 4 =6 x 1≤0, x 2≥0, x 3≥0, x 4无符号限制
对偶问题为
max y=5w1- 4w2+6w3
.w1- 2w2≥2
w1+w3≤3
-w1- w2+w3≤-5
w1+w3=0
w1≥0w2≥0w3无符号限制
2、（1）原问题的最优解x* = (5/2, 0, 5/2)T、最优值z* = 40，
2 0 1/2 0
最优基B = 及其逆B-1 =
1 3 - 1/6 1/3
（2）写出原始问题的对偶问题，并从上表中直接求出对偶问题的最优解。
对偶问题为
Min y=5w1+10w2
.+2w2≤6
w1- w2≤-2
2w1+w2≤10
w1,w2≥0
它的解为：w* = (4 , 2 )T y* = 40
3、(1) 最优解：x* = (0，3，1)T，z* = 36
(2) 最优解：x* = (3，0)T，z* = 30
4、(1) 使最优基保持不变的c2=1的变化范围：3-≥0，≤3，即c2≤4。
当c2=5，即=4，新的最优解为x* = (0，4，0)T，z* = 20；
(2) 对于c1=2，当≥-3/2 时，即c1 ≥1/2 时，最优基保持不变。
当c1 = 4 时，= 4-2 = 2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8 =32。
(3) 右端项b2 = 4 ，当b2 ≥-12，即b2 ≥-8 时，最优基不变。
因此，b2 从4 变为1 时，最优基不变，而新的最优解也不变。
(4) 新的最优基为p1 ，p6
新的最优解为x* = (4，0，0，0，0，4)T，z* = 24。
(5) 新的最优基为p1，p2
新的最优解为x* = (4，2，0，0，6，0)T，z* = 10。
5、(1) 利润最大化的线性规划模型为：
max z=25x1+12x2+14x3+15x4
.3x1+2x2+x3+4x4≤2400
2x1+2x3+3x4≤3200
x1+3x2+2x4≤1800
x1,x2,x3,x4≥0
最优解为：x* = (0，400，1600，0，0，0，600)T ， z* = 27200。即最优生产计划为：产品A 不生产；产品B 生产400万件；产品C 生产1600万件；产品D 不生产，最大利润：27200万元。 这里，原料甲耗用2400吨没有剩余；原料乙耗用3200吨没有剩余；原料丙耗用了1200吨剩余600吨。
(2) 产品A 利润变化范围：-1-≤0，≥-1，-c 1’=-c 1+≥-25-1=-26，即c 1’≤26（万元/万件）； 产品B 利润变化范围：
--≤-+≤-+≤--≤???????102154061204140δδδδ///，δδδδ≥-≤≤≥-??
??
???18451216
/，故 -1≤≤12， -13≤-c 2’≤0，即：0≤c 2’≤13； 产品C 利润的变化范围：
--≤-+≤-+≤?????10213204120δδδ//，δδδ≥-≤≤???
?
?1148，故 -1≤≤8， -15≤-c 3’≤-6，即：6≤c 3’≤15； 产品D 的变化范围：-21-≤0，≥-21，-15+≥-36，-c 4’≥-36，即c 4’≤36。
（3）原料甲、乙、丙的影子价格分别为：6万元/吨、4万元/吨、0万元/吨。
（4）在最优解中，原料甲的影子价格（6万元/吨）最大，因此这种原料最紧缺。如果原料A 增加120吨，最优单纯形表的右边常数成为：
B b -'=--??????????+????????
??=
??????????+-??????
????=??????
?
???≥11214001203234124001203200180040016006006000180100016004200///// 因此最优基保持不变，影子价格不变，原料的紧缺程度不变。
第四章
1、求解下列产销平衡的运输问题，下表中列出的为产地到销地之间的运价。 （1） 用西北角法、最小元素法求初始基本可行解；
2、
（1）最优方案：最小费用226
3、
（2）最优方案：最小费用330
第五章
1、
B1 1 3 D1 10 3 6 C1 8 E1
4 5 2 9 12 A 5 B2 D2 F 2 3 4 7 13 7 C2 2 11 E2 B3 3 7 D3 9
最短路径为A —B1—C1—D2—E2—F ，长度为26。
2、阶段k ：每分配一个工厂作为一个阶段；
状态变量x k ：分配第k 个工厂前剩余的设备台数； 决策变量d k ：分配给第k 个工厂的设备台数； 决策允许集合：0≤d k ≤x k 状态转移方程：x k+1=x k -d k
阶段指标：v k (x k ,d k )第k 次分配产生的效益，见表中所示； 递推方程：f k (x k )=max{v k (x k ,d k )+f k+1(x k+1)} 终端条件：f 4(x 4)=0 列表计算,可得到：
最优解为 x 1 = 5，d 1* = 3；x 2 = x 1-d 1 = 2，d 2* = 1；x 3 = x 2-d 2* = 1，d 3 = 1；x 4 = x 3-d 3 = 0。即分配给工厂A 设备3台，工厂B 设备1台，工厂C 设备1台，最大效益为49万元。
3、
阶段k ：每一个变量作为一个阶段，k =1，2，3，4；
状态变量s k ：考虑第k 个变量时，允许的上界， s 1 ＝12； 决策变量x k ：第k 个变量的取值；
决策允许集合： 0 ≤ x k ≤ s k /a k ，a k 为各变量的系数，分别为1、3、2； 状态转移方程：s k+1 = s k - a k x k
阶段指标：目标函数中关于x k 的表示式 v k (s k , x k ) ＝ k x k ； 递推方程：f k (s k ) = max { v k (s k , x k ) f k+1 (s k+1) } 边界条件：f ( s 4 )= 1 逆序法求解： k = 3 ：
f 3(s 3 ) = max { v 3 (s 3 , x 3 ) f 4 (s 4) } = max { 3 x 3 } 0 ≤ x 3 ≤ s 3 /2 ∴ x 3 * = s 3 /2， f 3(s 3 ) =（3／2）s 3 ； k = 2 ：
f 2(s 2 ) = max { 2 x 2 f 3 (s 3 ) } = max { 2 x 2 (s 2 –3x 2) } 0 ≤ x 2 ≤ s 2 /3 求导数为零的点，并验证二阶导数小于零，可得 ∴ x 2 * = s 2 /6， f 2(s 2 ) =（1／4）s 22 ； k = 1 ：
12 0
13 21
20 22 22
22 23
25 25 26
运筹学作业习题
线性规划建模及单纯形法 思考题 主要概念及内容： 线性规划模型结构（决策变量，约束不等式、等式，目标函数）；线性规划标准形式； 可行解、可行集（可行域、约束集），最优解；基、基变量、非基变量、基向量、非基向量；基本解、基本可行解、可行基、最优基。 复习思考题： 1、线性规划问题的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果反映建模时有错误？ 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解、最优解、最优基本解的概念及它 们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个 最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什 么？最大化问题呢？ 10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情 况下，继续第二阶段？ 作业习题 1、将下列线性规划问题化为标准型
（1）?????? ?≥=--+-≥-+-≤+-++-+=0 ,,953413 223183622453max 4214321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）?????? ?≤≥=+-+-≥-+--≤--++++=0 ,0,152342722351 232243min 4214321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 2、（1）求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）： ??? ??≥≤++-≤++0,,124326 3323 21321321x x x x x x x x x （2）对下述线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基本可行解,并确定最优解. ??? ??? ?≥=-=+-+=+++++=)6,,1(00 310 24893631223max 615 32143213 21 j x x x x x x x x x x x x x x z j 3、用图解法求解下列线性规划问题 （1）???????≥≤≤+≤-+=0 ,31223622max 2112 12 12 1x x x x x x x x x z （2）?????≥≥-≥++-=0 ,155356 743min 2121212 1x x x x x x x x z 4、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。 ??? ??≥≤-+≤++-+=0,,44622max 3 21321321321x x x x x x x x x x x x z 5、用单纯形法求解以下线性规划问题 （1）??? ??≥≤+-≤-+=0,533223max 2 121212 1x x x x x x x x z （2）?????≥≤-=++-=0,,12212 432max 3 213 23213 2x x x x x x x x x x z 6、用大M 法及两阶段法求解以下线性规划问题
运筹学考试练习题(天津大学)
07级工管运筹学期末习题课 一、考虑线性规划问题（P ）max 0 z CX AX b X ==?? ≥? （1） 若12,X X 均为（P ）的可行解，[0,1]λ∈，证明12(1)X X λλ+-也是（P ） 的可行解； （2） 写出（P ）的对偶模型（仍用矩阵式表示）。 二、有三个线性规划： (Ⅰ) [Min] z =CX (Ⅱ) [Min] z =CX (Ⅲ) [Min] z =CX 约束条件AX =b 约束条件AX =b 约束条件AX =b X 0 X 0 X 0 已知 X 是(Ⅰ)的最优解，X 是(Ⅱ)的最优解，X *是(Ⅲ)的最优解，Y 是(Ⅰ)的对偶问题的最优解， 试证：（1）()()'-'-≤**C C X X 0； (2) C X X Y b b ()()***-≤-。 三、已知线性规划问题 ?? ? ??=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03.00)(max 2 253232221212 143132121115 43322111Λj x t b x x a x a x a t b x x a x a x a st x x x c x c x t c z j 当1t ＝2t ＝0时，用单纯形法求得最终表如下： 要求：1. 确定23222113121121321,,,,,,,,,,a a a a a a b b c c c 的值； 2. 当2t ＝0时，1t 在什么范围内变化上述最优解不变； 3. 当1t ＝0时，2t 在什么范围内变化上述最优基不变。 1x 2x 3x 4x 5x 3x 5/2 0 1/2 1 1/2 0 1x 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3 j j z c - -4 -4 -2
运筹学作业3(第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．4 给出线性规划问题 123412341234min 2356232.. 2330,1,2,3,4 j z x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?+++≥? -+-+≤-??≥=? （1）写出其对偶问题；（2）用图解法解对偶问题；（3）利用（2）的结果及根据对偶问 题性质写出原问题的最优解。 解：（1）原问题的对偶问题为： 12 12121212 12max 2322 23.. 35 36 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =--≤??+≤?? -≤??+≤??≥≤? 或者等价变形为： 12 12121212 12max 232223..3536 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤??≥≥? （2）用图解法求解对偶问题 12 12121212 max 2322 23.. 3536 w y y y y y y s t y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤ 如图示，可行区域为四边形OABC ，最优顶点为B 点，即(1.6,0.2)y * =， 3.8w * =
（3）利用互补松紧定理及（2）的结果求解原问题： 设原问题的最优解为( )1 23 4x x x x x ** ***=。 由于121.60, 0.20y y * * =>=>，故在最优解()12 3 4x x x x x ** * **=处有： 1234 1234232 2330,1,2,3,4j x x x x x x x x x j ******** * ?+++=??-+-+=-??≥=?? 又因对偶问题第4个约束方程为：1.6-0.6=1<6，故40x * =，代入上式得到： 123 123232 230,1,2,3,4j x x x x x x x j ****** * ?++=??-+-=-??≥=?? 原问题有无穷多个最优解。令30x *=得到解为1 1.6x *=，20.2x *= 即()1.60.200x * =， 3.8z * = 2．8题解答见课堂讲解。 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2） 123 123123123min 524324 .. 63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥?? ++≥??≥? , 解：先将原问题进行标准形化： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0 z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=?? ++-=??≥? 选45,x x 为基变量，并将问题化为： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-?? ---+=-??≥? 列表计算如下：
运筹学课后习题答案
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中 x 3’≥0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
运筹学各章的作业题答案解析
《管理运筹学》各章的作业 ----复习思考题及作业题 第一章绪论 复习思考题 1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。 2、了解运筹学的内容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。 3、体会运筹学的学习特征和应用领域。 第二章线性规划建模及单纯形法 复习思考题 1、线性规划问题的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 作业题: 1、把以下线性规划问题化为标准形式： (1) max z= x1-2x2+x3 s.t. x1+x2+x3≤12 2x1+x2-x3≥ 6 -x1+3x2＝9 x1, x2, x3≥0 (2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4 s.t x1+2x2+4x3-x4≥ 6 2x1+3x2-x3+x4＝12 x1+x3+x4≤ 4 x1, x2, x4≥0
《运筹学》综合练习题
《 运筹学》综合练习题 第一章 线性规划及单纯形法 1、教材43页——44页1.1题 2、教材44页1.4题 3、教材45页1.8题 4、教材46页1.13题 5、教材46页1.14题 6、补充：判断下述说法是否正确 ● LP 问题的可行域是凸集。 ● LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。 ● LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 ● 若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. ● 求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令 "-'=j j j x x x ,其中∶ ≥"' j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现 "' j j x x . ● 当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可 断言原LP 模型一定有最优解。 7、补充：建立模型 （1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。按规划要求，每口井只能属于一个计量站。假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。 （2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于0.2%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元
2019管理运筹学课后答案
第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。
最全的运筹学复习题及答案78213
最全的运筹学复习题及 答案78213
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的 钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相 当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
运筹学 各章习题
思考题、主要概念及内容 1、了解运筹学的分支，运筹学产生的背景、研究的内容和意义。 2、了解运筹学在工商管理中的应用。 3、体会管理运筹学使用相应的计算机软件，注重学以致用的原则。 第二章 思考题、主要概念及内容 图解法、图解法的灵敏度分析 复习题 1. 考虑下面的线性规划问题： max z=2x1+3x2； 约束条件： x1+2x2≤6， 5x1+3x2≤15， x1，x2≥0． (1) 画出其可行域． (2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6． (3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值． 2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．(1) min f=6x1+4x2； 约束条件： 2x1+x2≥1， 3x1+4x2≥3， x1，x2≥0． (2) max z=4x1+8x2； 约束条件： 2x1+2x2≤10， -x1+x2≥8， x1,x2≥0． (3) max z=3x1-2x2； 约束条件：
2x1+2x2≥4， x1，x2≥0． (4) max z=3x1+9x2； 约束条件： x1+3x2≤22， -x1+x2≤4， x2≤6， 2x1-5x2≤0， x1，x2≥0 3. 将下述线性规划问题化成标准形式： (1) max f=3x1+2x2； 约束条件： 9x1+2x2≤30， 3x1+2x2≤13， 2x1+2x2≤9， x1，x2≥0． (2) min f=4x1+6x2； 约束条件： 3x1-x2≥6， x1+2x2≤10， 7x1-6x2=4， x1，x2≥0． (3) min f=-x1-2x2； 约束条件： 3x1+5x2≤70, -2x1-5x2=50， -3x1+2x2≥30， x1≤0，-∞≤x2≤∞． (提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．) 4. 考虑下面的线性规划问题： min f=11x1+8x2； 约束条件： 10x1+2x2≥20， 3x1+3x2≥18， 4x1+9x2≥36， x1，x2≥0． (1) 用图解法求解． (2) 写出此线性规划问题的标准形式． (3) 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值．
运筹学习题答案
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
《运筹学参考综合习题》
《运筹学参考综合习题》 （我站搜集信息自编，非南邮综合练习题，仅供参考） 资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师） 可能出现的考试方式（题型） 第一部分填空题（考试中可能有5个小题，每小题2分，共10分） ——考查知识点：几个基本、重要的概念 第二部分分步设问题（即是我们平常说的“大题”，共90分） ——参考范围： 1、考两变量线性规划问题的图解法（目标函数为max z和min z的各1题） 2、考线性规划问题的单纯形解法（可能2个题目：①给出问题，要求建立线性规划模型，再用单纯形迭代表求解；②考查对偶问题，要求写出原问题的线性规划模型之后写出其对偶问题的线性规划模型，然后用大M法求解其对偶问题，从而也得到原问题的最优解） 3、必考任务分配（即工作指派）问题，用匈牙利法求解。 4、考最短路问题（如果是“动态规划”的类型，则用图上标号法；如果是网络分析的类型，用TP标号法，注意不要混淆） 5、考寻求网络最大流（用寻求网络最大流的标号法） 6、考存储论中的“报童问题”（用概率论算法模型解决） ——未知是否必考的范围： 1、运输规划问题（用表上作业法，包括先求初始方案的最小元素法和将初始方案调整至最优的表上闭回路法）； 2、求某图的最小生成树（用破圈法，非常简单） ※考试提示：可带计算器，另外建议带上铅笔、直尺、橡皮，方便绘图或分析。
第一部分 填空题复习参考 一、线性规划部分： ㈠基本概念：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。 定义：达到目标的可行解为最优解。 由图解法得到的三个结论：①线性规划模型的可行解域是凸集； ②如果线性规划模型有唯一的最优解的话，则最优解一定是凸集（可行解域）的角顶； ③任何一个凸集，其角顶个数是有限的。 ㈡有关运输规划问题的概念：设有m 个产地A i （i=1，2，…，m ），n 个销地B j （j=1，2，…，n ）, A i 产量（供应量）S i ，B j 销量（需求量）d i ，若产、销平衡，则：∑∑===n j j m i i d s 1 1 二、网络分析中的一些常用名词： 定义：无方向的边称为边；有方向的边称为弧。 定义：赋“权”图称为网络。 定义：有向图中，若链中每一条弧的走向一致，如此的链称为路。闭链称为圈。闭回路又称为回路。 定义：在图G 中任两点间均可找到一条链，则称此图为连通图。无重复边与自环的图称为连通图。 定义：树是无圈的连通图。 树的基本性质：①树的任两点之间有且只有一条链； ②若图的任两点之间有且只有一条链，则此图必为树；
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。D A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点 C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于
运筹学复习题及答案
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示： 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少? 五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。 六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。 八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3 六、已知线性规划问题 应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25 七、已知线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4 其对偶问题的最优解为Y l﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。 七、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： 八、已知线性规划问题
运筹学练习题
《运筹学》--- 数据、模型与决策练习题 2010年9月 一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。 因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。 （1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。 （2）用代数方法建立一个同样的模型。 （3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。 （4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少 3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30
运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案讲解学习
运筹学作业2（清华版第二章部分习题）答案
解：根据原一对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为: m n maxw a i U i i 1 j 1 b j V j U i V j C ij i 1,111 |,m; j 1,川 ,n 2. 2判断下列说法是否正确，为什么？ （1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解; 答：错。 运筹学作业2 （第二章部分习题）答案 2. 1题（P. 77）写出下列线性规划问题的对偶问题： maxz 2x 1 2x 2 4x 3 s.t x 1 3x 2 4x 3 2 (1) 2x 1 x 2 3x 3 3 x 1 4x 2 3x 3 5 x 1 0, x 2 0,x 3无约束 解：根据原一对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为: maxw 2y 3y 2 5y 3 s.t y i 2y 2 y 3 2 3y i 讨2 4y3 2 4y i 3y 2 3y 3 4 y i 0 ，y 2 °』3 0 (2) min z qX j i 1 j 1 qX j a i ,i 1,|| ,m 1 CM b j , j 1,|| ,n 1 0,i 1,|||,m;j 1」|| m n n j 1 n j 1 ,n X j U i 无约束，v j 无约 束
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。 max z 3 X i X2 例如原问题X i X2 1有可行解，但其对偶问题 s.t. x2 3 X i 0, X2 0 min w y i 3 y 2 y i 3无可行解。 s.t. y i y2 i y i 0, y2 0 （2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 答：错，如（i）中的例子。 （3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极 小,原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函 数值。 答：错。正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。 （4）任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 答：正确。 2. 5给出线性规划问题 max z X i 2 X2X3 X i X2 X3 2 X i X2 X3 i s.t. 2 X i X2 X 3 2 X i 0, X2 0, X3 0 写出其对偶问题；（2）禾I」用对偶问题性质证明原问题目标函数值z i
运筹学作业题
1．已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形表法迭代后得到的表1，试求括号中未知数a-l的数值。 解： （1）X5是基变量，检验数l=0 （2）x1是基变量，则，g=1，h=0 （3）x4行乘以1/2得到迭代后的x1行 所以，f=6*1/2=3, b=2，c=4，d=-2 （4）x4行乘以1/2加到x5行上，得到迭代后的x5行 所以，c*1/2+3=i，i=5，d*1/2+e=1, e=2 （5）迭代前为初始单纯形表，价值系数为初始表检验数 所以，x2价值系数为-1，x3价值系数为2，x4价值系数为0 则，-7=-1-（2a-0*i），所以a=3 j=2-（-a）=5；k=0-（1/2*a+1/2*0）=-3/2 即，a=3，b=2，c=4，d=-2，e=2, f=3, g=1, h=0, i=5, j=5, k= -3/2, l=0 2.已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯
解：初始单纯形表中的单位矩阵，在最终单纯形表中变化为B -1 (1) ????????????--=-21043041411 h i l B ????? ?????=????????????????????? ?--==-2/54/254/520152********** 'b h i l b B b 在最终表中，x 4是基变量，所以l =1 所以，b=10，i=-1/4，h=-1/2 (2) ????? ?????=??????????????????????----==-0102121210414304141111'1a p B p 则a=2 （3）???? ??????=??????????????????????----==-1001121210414304141121'2c p B p 则c=3 以此类推其它未知数取值。 即，a=2 b=10 c=3 d=1/4 e=5/4 f=-1/2 g=-3/4 h= -1/2 i= -1/4 j= -1/4 k=0 l=1 3.给出线性规划问题 ???? ? ????=≥≤++ ≤+ + ≤+≤+++++=) 4,...,1(09 66283.42max 3 214 3 2 2 1 42 14 321j x x x x x x x x x x x x st x x x x z j 要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X*=(2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接写出对偶问题的最优解。 解：（1）其对偶问题为 ???? ?????=≥≥+≥+ ≥++ +≥+++++=) 4,...,1(01 14322.9668min 3 14 3 432 142 1 4321j y y y y y y y y y y y y st y y y y w j （2）根据对偶理论知，4,2,2321===x x x 均绝对大于零，所以其变量对应的对偶问题
运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题： （1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++? ? ++≥??++≤? ? ++≤? ≥≥??无约束，； 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++??++≤??++≤? ?++=? ≥≤≤?? （2）111 1 m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j n ij ij j j ij z c x c x a i m c x b j n x i m j n ====?=? ? ? ==????==??≥==??∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 11m ax 1,,;1,,m n i i j j i j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==? =+???+≤? ?==? ??∑∑ j 无约束，v 无约束 2．2判断下列说法是否正确，为什么？ （1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。 因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题 12 12212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥??≤? ?≥≥?有可行解，但其对偶问题 12 11212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥??+ ≥??≤≥?无可行解。 （2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 答：错，如（1）中的例子。 （3） 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。 答：错。正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。 （4） 任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 答：正确。 2．5给出线性规划问题 123 123123123123m ax 221.. 22 0,0,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =+++-≤? ?-+=?? ++≥??≥≥≥? 写出其对偶问题；（2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值1z ≤ 解：（1）原问题的对偶问题为： 123 123123123123m in 22212.. 10,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥? ?-+≤?? -++=? ?≥≤?无约束 （2）取()011T y =，既1230,1,0y y y ===，经验证，()011T y =是对偶问题的一个可行解，并且1w =。由对偶问题的性质可得1z w ≤= 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2）123 123123 123m in 524324..63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥??++≥??≥? ,
运筹学作业题
1 ?已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形表法迭代后得到的表 知数a-l 的数值。 项目 R 1R 2R 3R 4R 5 R 46 P (b)(c)(d)10 R 51 -13(e)01 C j -Z j (a)-1200 R 1(f) (g)2-11/20 R 54 (h)(i)11/21 c j -Z j 0-7(j)(k)(l) 解： （1） R 5是基变量，检验数1=0 （2） R i 是基变量，则，g=1， h=0 （3） R 4行乘以1/2得到迭代后的R 1行 所以，f=6R1/2=3,b=2，c=4, d=-2 （4） R 4行乘以1/2加到R 5行上，得到迭代后的 R 5行 所以，cR1/2+3=i ，i=5，dR1/2+e=1,e=2 （5 ）迭代前为初始单纯形表，价值系数为初始表检验数 所以，R2价值系数为-1，R3价值系数为2， R4价值系数为0 则，-7=-1-（ 2a-0Ri ），所以 a=3 j=2- （-a ） =5； k=0-（ 1/2Ra+1/2R0）=-3/2 即，a=3， b=2， c=4， d=-2， e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=5,k=-3/2,l=0 2?已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯 形表如下表 2所示。求表中括号中未知数的值 旷 3 2 2 0 0 0 C B 基 b R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R D 0 R 4 (b ) 1 1 1 1 0 0 0 R 5 15 (a ) 1 2 0 1 0 0 R 6 20 2 (c ) 1 0 0 1 c j -Z j 3 2 2 0 0 0 0 R 4 5/4 0 0 (d) (l ) -1/4 -1/4 3 R 1 25/ 4 1 0 (e) 0 3/4 (i ) 2 R 2 5/2 0 1 (f) 0 (h ) 1/2 c j -Z j (k ) (g ) -5/4 (j ) B 在最终表中，R 4是基变量，所以1=1 所以，b=10，i=-1/4， _ 1 ⑵ P 1 =B“P 1 = 0 1，试求括号中未 I (1) B = 0 _ l b '= B ?=0 '0 ■b l _ 5/4 1 15 =25/4 h 1 2 _i 〕20 一 「5/2 一 h=-1/2