沈阳师范大学数学分析2012年考研真题

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2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

代码： 854 科目名称： 数学分析 适用专业名称：基础数学/运筹学与控制论/应用数学 考生注意：请将答案写在答题纸上，写在本题签及草纸上无效。考试后本题签同答题纸一并交回。

一、（15分）求下列极限

1．2020lim sin 2x t x x e dt x x →-? 2

．1

lim 1cos n n →∞

++ 二、（15分）证明：1. 函数()f x =[0,)+∞上一致连续； 2. 函数2()sin()g x x =在

),(∞+-∞上不一致连续。

三、（15分）设函数()f x 在[0,1]上连续。证明：

1

11200

1()()[()]2!x dx f x f y dy f t dt =???。 四、（15分）给定幂级数 21

021

n n x n ++∞=+∑，

1 求该幂级数的收敛区间与和函数()S x ；

2. 求数项级数01(2

1)4n n n +∞

=+∑的和。 五、（15分）设函数2222221,0(,)0,0x y x y f x y x y +≠+=?+=?

，证明：

1. 函数),(y x f 在点()0,0连续；

2. 函数),(y x f 在点()0,0可微。

六、（15分）计算曲线积分

224L ydx xdy I x y -=

+?， 其中22{(,)1}L x y x y =+=，方向取正向。

七、（15分）计算曲面积分

222223(1)S

I x dydz y dzdx z dxdy =+--?? 其中S 是曲面221(0)z

x y z =--≥（方向为上侧）。