测量平差复习题及答案

一、综合题

1．已知两段距离的长度及中误差分别为cm m 5.4465.300±及cm m 5.4894.660±，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？

答：它们的真误差不一定相等；相对精度不相等，后者高于前者。

2．已知观测值向量

???? ??=2121

L L L 的权阵为?

???

????=32313132

LL P ，现有函数21L L X +=，

13L Y =,求观测值的权

L P ，

L P ，观测值的协因数阵XY Q 。

答：12/3L P =；22/3L P =；3XY Q =

3．在下图所示三角网中，A ．B 为已知点，41~P P 为待定点，已知32P

P 边的边长和方位角

分别为

S 和

α，今测得角度1421,,,L L L 和边长21,S S ，若按条件平差法对该网进行平差：

（1）共有多少个条件方程？各类条件方程各有多少个？

（2）试列出除图形条件和方位角条件外的其它条件方程（非线性条件方程不要求线性化）

答：（1）14216,6,10n t r =+===，所以图形条件：4个；极条件：2个；边长条件：2个；基线条件：1个；方位角条件：1个（2）四边形14ABPP 的极条件（以1P 为极）

： 34131

241314????sin()sin sin 1????sin sin sin()

L L L L L L L L +??=+ 四边形1234PP P P 的极条件（以4P 为极）

： 101168

91167????sin()sin sin 1????sin sin sin()

L L L L L L L L +??=+

边长条件（1?AB S S -）：1

2343

4??????sin()sin()

AB S S L L L L L =

+++ 边长条件（12??S S -）：

112

1314867???sin ?????sin()sin sin()

S L S L L L L L ?=

++ 基线条件（0AB S S -）：

101191011?????sin()sin()

S S L L L L L =+++

4．A ．B ．C 三点在同一直线上，测出了AB ．BC 及AC 的距离，得到4个独立观测值，

m L 010.2001=，m L 050.3002=，m L 070.3003=，m L 090.5004=，若令100米量距的权为单位权，试按条件平差法确定A ．C 之间各段距离的平差值L

?。

答：?[200.0147,300.0635,300.0635,500.0782]T L

5．在某航测像片上，有一块矩形稻田。为了确定该稻田的面积，现用卡规量测了该矩形的

长为cm L 501=,方差为22136.0cm =σ，宽为cm L 302=,方差为22236.0cm =σ，又用求

积仪量测了该矩形的面积

31535cm L =，方差为

2336cm =σ，若设该矩形的长为参数

1?X ，

宽为参数2?

X ，按间接平差法平差：

（1）试求出该长方形的面积平差值；（2）面积平差值的中误差。

答：（1）令0111?X X x =+，0222

?X X x =+，011X L =，022X L =，误差方程式为： 1122312??305035

v x

v v v ===+-

令：10013050B ????=??

????

，0035L ??

??=??????，单位权方差为2036σ=，则法方程为：T T

B PBX B PL =，

可得：120.30.5x X x ????==?

?????

??，则0111?50.3X X x =+=，0222

?30.5X X x =+= 所以面积平差值为2312

???50.3*30.51534L X X cm ===

（2）220

0.35T V PV

cm r

σ== (

)

121122

12?????????dX

dS X dX X dX X X dX ??=+= ? ???

，所以??98.94SS Q = 则2

???0 3.4814S SS Q cm σσ==±

6．如图水准网中，A 为已知点，高程为

10.000A H m

=，观测高差及路线长度为：

m h 563.21=，km S 11=；m h 326.12-=，km S 12=；m h 885.33-=，km S 23=；m h 883.34-=，km S 24=；若设参数1

4???????T

X X X X H h h ????==????

，定权时

C= 2 km ，试列出：（1）、误差方程和限制条件；（2）、法方程式。

答：（1）误差方程为：

1122

312

43????4?v x

v x v x x v x

=??=??

=++??=? 限制条件为：13??20x

x --= （2）法方程为：

1234?3

1004?130140?00110?0

1102x x x

-????????????-??????-=??????-??????-?????? 7．设对某量进行了两组观测，得到观测值的真误差如下：

第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1 试回答如下问题：

（1）两组值的平均误差1?θ、2?θ和中误差1?σ、2?σ

（2）这两组观测值的精度，哪一组精度高，为什么？答：（1）

1?θ=2.4cm ，2?θ=2.4cm ；1?σ=2.7cm ，2?σ=3.6cm

（2）两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应敏感，故通常采用中误差作为衡量精度的指标，本题中

1?σ<2?σ，故第一组观测值精度高。

8．设对丈量10km 的距离同精度丈量10次，令其平均值的权为5，现以同样等级的精度丈量2.5km 的距离。问丈量此2.5km 距离一次的权是多少？。（问答题，10分）答：一次观测值的权倒数10

N C P ===，所以每次丈量10km 距离的权为：100.5P = 长度为i S 距离的权为：1i i C P S =，则11

2.510,2.510

C C P P ==，所以15C = 故1

2.522.5

C P =

= 9．下列各式中的()

1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求下列函数的中

误差：

(1)

()1231

2X L L L =

++；

(2)

321L L L Y =

答：（1

）3

x σ=（2

）3

x σ=

10．在图一所示测角网中，A 、B 、C 为待定点，同精度观测了1L 、2L 、

L 和4L 共四个角

度观测值。设平差后BAC ∠为参数X

?。（1）试指出采用何种平差模型；

（2）写出函数模型和法方程。

答：采用附有参数的条件平差模型；

平差方程为：123

???1800L L L ++-= 34??3600L L +-= 1

??0L X -= 则条件方程为：

1231342130

?0v v v w v v w v x w +++=??

++=??-+=?，其中闭合差方程为1123234031w L L L w L L w L X ?=++?=+??=-?，建立法方程为： 1122333110120001011?0

0100k w k w k w x

????

?? ? ?

? ? ?

?+= ? ?

?- ? ? ?-??????

11.有水准网如下图，网中A ．B 为已知水准点，高程m H A 013.12+=．m H B 013.10+=可视为无误差，C ．D 为待定点，共观测了四个高差，高差观测值及相应水准路线的距离为：

km S 21=，m h 004.11-=，km S 12=，m h 516.12+=，km S 23=，m h 512.23+=，km S 5.14=，m h 520.14+=。试用条件平差法求C 和D 两点高程的平差值

。

答：4,2n t ==，所以2r =，条件方程如下：

12324???0??0

A B

h h h H H h h ?+-+-=??

-=??

以?i i i

h h v =+代入上式，可得上述方程的最终形式为： 123411100001014v v v v ??

-???? ?-= ? ? ?-????

? ???，以1km 观测高差为单位权观测，则法方程为： 121250

2.540

k k k k +=??

+-=?，解得120.35, 1.74k k =-= 进而求得()0.74 1.4

0.7 2.6T

V mm =--

观测值的平差值为：1234

????1.0047, 1.5174, 2.5127, 1.5174L m L m L m L m =-=== 则C 、D 两点的平差高程为：11.0083,12.5257C D H m H m ==

12.设在三角形ABC 中，观测三角321,,L

L L ，将闭合差平均分配后得到的各角之值为

014489?,025050?,030140?321'''='''='''= L L L ，如下图。它们的协方差阵为

?????

??------=633363336LL

D ，已知边长m S 000.15000=（无误差），试求b a S S ,的长度和它们

的协方差

D 。

答：013023

????sin /sin 967.679,sin /sin 1150.573a b S S L L m S S L L m ==== 对函数式取自然对数，并微分得：

33121323

1323

????cos cos cos cos ????,????sin sin sin sin a b a b dS L dS L L L dL dL dL dL S S L L L L ==== 即11

32233???0???0

?a a a b b b dL

dS S ctgL S ctgL dS dL dS S ctgL S ctgL dL ?? ???-??== ? ? ? ?- ????? ???

则23263311460114604 1.860.7713630962096250.77 1.32(20610)33645SS D cm --????

--???? ???

=--?= ? ? ???

--?????

???----????