专题九解析几何第二十九讲曲线与方程

3.

专题九解析几何

第二十九讲曲线与方程

解答题

(2018江苏)如图，在平面直角坐标系

xOy 中，椭圆C 过点G /3,-)，焦点

匸(—J3,o), F 2

(J3,O )，圆 0 的直径为 F 1F 2.

(1)求椭圆C 及圆0的方程;

⑵设直线I 与圆0相切于第一象限内的点 P .

①若直线I 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标;

②直线I 与椭圆C 交于A,B 两点.若△ OAB 的面积为空6

，求直线I 的方程.

7

2

■y

(2017新课标n)设O 为坐标原点，动点 M 在椭圆C : — +y

2

=1上，过M 做x 轴的 2

垂线，垂足为N ，点P 满足 = 72N M .

(1)求点P 的轨迹方程;

(2)设点Q 在直线x = -3上，且OP ”PQ =1 .证明：过点P 且垂直于0Q 的直线I 过

C 的左焦点F .

X 2 V 2

73

xOy 中，椭圆C ：右+勺=1(a>b >0)的离心率是 ——

a b

2

(I)求椭圆C 的方程;

且位于第一象限，E 在点P 处的切线I 与C 交与不同的两点

1

. 2. (2016年山东)平面直角坐标系 2

抛物线E : x =2y 的焦点 F 是C 的一个顶点.

(n)设P 是E 上的动点,

A, B,线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M . 4.

6. (i )求证：点M 在定直线上;

(ii )直线I 与y 轴交于点G ,记△PFG 的面积为S 1, △ PDM 的面积为S 2,

求色的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.

S 2

(I)求椭圆的方程; I 与椭圆交于点 B ( B 不在x 轴上)，垂直于I 的直线与I 交于

点M ，与y 轴交于点H ，若BF 丄HF ，且N MOAMAO ，求直线I 的斜 率的取值范围.

2 2

(2016年全国II)已知椭圆E :―+^=1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为

t 3

k(kAO)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA 丄NA .

(I)当 t =4,1 AM 1=1 AN | 时，求 MMN 的面积; (n)当2 AM = AN 时，求k 的取值范围. (2015湖北)一种作图工具如图

1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆 ON 可绕O 转动,

长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN =ON =1 ,

MN =3 ?当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动 N 绕O 转动一周(D 不动时，N

也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为 C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如 图2所示的平面直角坐标系. (I)求曲线C 的方程

;

4. 2 x (2016年天津)设椭圆 P a 2

+ — = 1 (a > J 3)的右焦点为F ，右顶点为 A ，已知

3

1 丄 1 3e

--- T ----- = ----- |OF| |OA| |FA|

其中0为原点，e 为椭圆的离心率.

(n)设过点A 的直线

(n)设动直线I 与两定直线l i ：x-2y=0和l 2：x+2y=0分别交于P, Q 两点.若直线I

总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△ OPQ 的面积是否存在最小值？若

率为吃，且右焦点F 到左准线I 的距离为3.

2

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过F 的直线与椭圆交于 A, B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 I 和AB 于

点P,C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.

2

2

匚

x y V 2

& (2015四川)如图，椭圆 E :飞+勺=1(a Ab >0)的离心率是 ——，过点P (0,1)的动

a b 2

直线I 与椭圆相交于 A,B 两点，当直线I 平行与x 轴时，直线I 被椭圆E 截得的线段长

(1)求椭圆E 的方程;

7. (2015江苏)如图，在平面直角坐标系

xoy 中, 已知椭圆 2 2

x y

弋+ p = 1(a>b>0 )的离心

(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点Q ，使得

Q A

_ I P A

QB

PB

成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

9. ( 2015北京)已知椭圆C :冷+b 2=1(a 》b 》0 )的离心率为 普，

点P (0,1 )和点

A (m , n )(m 丰0 )都在椭圆C

上，直线PA 交x 轴于点M .

理由.

x

2

2

1

(2015浙江)已知椭圆 一 + y =1上两个不同的点 A,B 关于直线y=mx+—对称.

2

(I)求实数m 的取值范围;

(n)求 MOB 面积的最大值(O 为坐标原点).

的轨迹方程.

2 2

，双曲线0:^7-占=1过点P 且离心率为73.

a b

(1)求C 1的方程;

(I)求椭圆C 的方程，并求点 M 的坐标(用m , n 表示);

(n)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线

PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是

否存在点Q ，使得N OQM =N ONQ ?若存在, 求点Q 的坐标；若不存在，说明

10

. 11. （2014广东）

2 2

已知椭圆C :笃+每=1(a Ab >0)的一个焦点为(J 5,0),离心率为

a b

(I)求椭圆 C 的标准方程;

(n)若动点

P(x o ,y o )为椭圆外一点, 且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点

12. (2014辽宁)圆x

2

+y2=4的切线与

x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该

三角形面积最小时， 切点为P (如图)

14. (2012湖南)在直角坐标系xoy 中，曲线G 的点均在C 2 : (x-5)2

+ y 2

=9 外,且对G

上任意一点M , M 至?线x=-2的距离等于该点与圆 C 2上点的距离的最小值. (I)求曲线G 的方程;

(n)设P(x o ,y o ) ( y H±3)为圆C ?外一点，过P 作圆C ?的两条切线，分别与曲线

C i 相交于点A , B 和C , D.证明：当P 在直线X = —4上运动时，四点A , B , C ,

D 的纵坐标之积为定值.

15. (2011天津)在平面直角坐标系 xOy 中，点P(a,b) (a>0)为动点，分别为

2 2

椭圆字+計1

的左右焦点.已知△ F 1PF

2为等腰三角形.

(I)求椭圆的离心率 e ；

(n)设直线PF 2与椭圆相交于 A,B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM 占M = -2 ,

求点M 的轨迹方程.

(2)椭圆C 2过点P 且与C i 有相同的焦点，直线I 过C 2的右焦点且与C 2交于A , B 两

点，若以线段 AB 为直径的圆心过点 P ,求I 的方程

.

2

x 13.( 2013四川)已知椭圆C :

V a

b 2

= 1(a Ab >0)的两个焦点分别为 Fd —1,0)，F 2(1,0),

4 1 且椭圆C 经过点P(4

，)

3 3

(n)设过点A (0,2)的直线

I 与椭圆C 交于M , N 两点，点Q 是MN 上的点，且

2

2

AQ

AM AN

2

，求点Q 的轨迹方程.

2