角平分线所形成的角与顶角关系
1A B D C ∠+∠∠+∠、如图，求与的数量关系
2BDC B A C ∠∠∠∠、如图，求与，，的数量关系
3ABC BP ABC CP ACB A P ?∠∠
∠∠、如图，已知，平分，
平分，试探究与之间的关系
4ABC AB D AC E DBC ECB P A P ?∠∠∠∠、如图，已知，分别延长到，到，和的角平分线交与
点，试探究与之间的关系
5ABC BC D BP ABC CP ACD A P ?∠∠∠∠、如图，已知，延长到，
平分，平分，试探
究与之间的关系
1DE ADC BE ABC A E C ∠∠∠∠∠例、如图,已知平分,平分,
试探究,,之间的关系
2 DC ADB EC AEB DAE DBE DCE αβ∠∠∠=∠=∠例、如图，已知平分，平分，设，，求的值
3 3075BCD BE DBC CD F BC G CE DCG EC DB A A DFE E ?∠∠∠=?∠=?∠例、如图，在中，平分交于，延长至，平分，且、的延长线交于点，若，，求的度数
4A y AC y AD y AE x F AB x G Rt AED A
α?例、把一幅学生用三角板如图(1)放置在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,直角边与轴重合,斜边与轴重合,直角边交轴于
,斜边交轴于,把绕点顺时针旋转度得图(2),
.
AHF AGH M EFH FOC N AED A N M ∠∠∠∠?∠+∠的平分线和的平分线交于点,的平分线和的平分线交于点,当绕点转动时,的值是否改变,若改变,请说明理由,若不改变,请求出其值
线速度、角速度与转速-速度和转速
线速度、角速度与转速 线速度V就是物体运动的速率。那么物理运动360度的路程为：2πR 这样可以求出它运动一周所需的时间，也就是圆周运动的周期： T=2πR/V 角速度ω就是物体在单位时间内转过的角度。那么由上可知，圆周运动的物体在T （周期）时间内运动的路程为2πR ,也就可以求出它的角速度： ω=2π / T =V / R 线速度与角速度是解决圆周运动的重要工具，解题时要灵活运用。 高一物理公式总结 匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf ω×r=V 3.向心加速度a=V2/R=ω2R＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ω r 7.角速度与转速的关系ω＝2 π n (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 转速、线速度与角速度： v = (2 π r)/T ω = 2 π/T v = 2 π r/60 ω = 2 πn/60 (T为周期，n为转速，即每分钟物体的转数)参考公式：D1＝√D2＋4TV／3.14 公式中：D1＝当前卷径；D＝前次卷径㎜；T＝料厚μm；V＝线速度m／min。
(完整版)平行线与相交线提高训练
平行线与相交线提高训练 1．如图，直线a∥b，那么∠x的度数是． 2．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝． 3．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC． 4．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB． 5．已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．
6．已知，如图，AE∥BD，∠1＝3∠2，∠2＝26°，求∠C． 7．直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，求∠1+∠2的度数（提示：要作辅助线哟！） 8．已知：射线OP∥AE （1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP＝58°，求∠A的度数． （2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数． （3）如图3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠B n﹣1OP的角平分线OB n，其中点B，B1，B2，…，B n﹣1，B n都在射线AE上，试求∠AB n O 的度数．
9．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠P AB、∠PCD的关系，并证明你的结论 推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想； ②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠B n﹣1、∠A n的关系 拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为 A.180°+α+β﹣γ B.180°﹣α﹣γ+βC．β+γ﹣αD．α+β+γ ②如图5，AB∥CD，且∠AFE＝40°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，请你根据上述 结论直接写出∠GHM的度数是． 10．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． （1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC 之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
人教版初二数学上册角平分线和平行线构成等腰三角形的探究
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究 -----李春蕊北京市育英学校 一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据. 学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。 二、教学目标： （1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律； （2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. （3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心. 教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题. 教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题. 突出重点方法:观察，思考，证明. 突出难点方法:自主探究 教学方法：启发与探究相结合 教学准备：PPT，课本，作图工具 三、教学设计： （一）复习等腰三角形相关知识 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） （二）探究过程 问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？ 解：是；EB=ED
初一数学角与角平分线练习题
初一数学角与角平分线 中考要求 例题精讲 一、角的定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始 边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 二、角的表示方法 ① 利用三个大写字母来表示，如图1.1． ∠AOB 图1.1 注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2． ∠A 图1.2 A 注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且 只有一个． ③ 用数字来表示角，如图2.1．
∠1图2.1 1 ③用希腊字母来表示角，如图2.2． ∠ α 图2.2 α 三、单位换算 1度＝60分(160 ?=') 1分=60秒(160 '=") 四、角的度量 （1）度量角的工具常用量角器 用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数） （2）角的度量单位及其换算 角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系 1周角=360?1平角＝180?1直角＝90? 1周角＝2平角1平角＝2直角 角的分类： 锐角α（090 α <
平行线及角平分线类相似
平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．
例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．
方法技巧训练三 几何中与角平分线有关的计算或证明
方法技巧训练三几何中与角平分线有关的计算或证明 [方法概述]1.与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质. (2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半。(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系. 2.与角平分线有关的图形或辅助线 (1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形. (3)过角平分线上的点作角两边的垂线. [方法训练] 1. (2017●滨州)如图,直线AC//BD,AO,B0分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么下列结论错误的是( )A.∠BAO与∠CA0相等 B.∠BAC与∠ABD互补 C.∠BAO与∠ABO互余 D.∠ABO与∠DBO不等 2. (2017●襄阳)如图，BD//AC, BE平分∠ABD,交AC于点E.若∠A=50°,则∠1的度数为( ) A:65° B.60° C.55° D.50 3.如图，在△ABC中,AB =AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE//BD交CB的延长线于点E,若∠E= 35°，则∠BAC的度数为( ) A.40° B.45° C.60° D.70° 4. (2017.无锡)如图，已知AB//CD,0A,0C分别平分∠BAC和∠ACD,OE⊥AC于点E，且OE=2,则AB,CD之间的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5. (2017 ●盐城)如图,0是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线的交点,0D//AB交BC于点D,OE//AC 交BC 于点E,若BC= 10 cm,则△ODE的周长是_cm. 6.如图,在△ABC中,AB=8 cm,AC=5 cm,AD平分∠BAC,且AD⊥CD,E为BC中点，则DE= cm 7.如图,已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D,∠A=40°,那么∠D=_ .度. 8.(2017，黄石)如图，00是△ABC的外接圆,BC为00的直径,点E为△ABC的内心，连接AE 并延长交00于D点,连接BD并延长至点F,使得BD=DF,连接CF,BE. (1)求证:DB =DE; (2)求证:直线CF为00的切线.
角的角平分线有关计算
角的角平分线有关计算
1、如图，∠AOB=38°，∠ BOC=96°，OD是∠AOC的 平分线，求∠BOD的度数？ 2、如图，已知OB平分∠AOC，且∠2：∠3：∠4=1：3：4，求∠1、∠ 3、∠4的度数． 3、如图，直线AB与直线CD 相交于点O，E是∠AOD内一 点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°， 则∠COE的度数是_____．
求∠EOB． 7、如图所示，∠AOB是平角，OC 是射线，OD、OE分别是∠AOC、 ∠BOC的角平分线，若∠ AOD=65°，求∠DOE和∠BOE的度数． 8、如图，∠AOB=90°，OC平分 ∠AOB，OE平分∠AOD．若∠ EOC=60°，求∠AOD的度数． 9、如图，点O为直线AB上的一点，OE，OF，
OC是射线，∠EOF是直角，若∠AOF=30°，且∠EOC：∠BOC=2：3，求∠EOC的度数． 10、如图所示，已知OB，OC是∠ AOD内部的两条射线，OM平分∠ AOB，ON平分∠COD，若∠ AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)． 11、如图，已知∠AOB= 0.5∠BOC， ∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和 ∠COD的度数．
12、如图：已知OD、OE、OF分别 为∠AOB、∠AOC、∠BOC的平分 线，则∠DOE和∠BOF有怎样的关 系？说明理由． 13、如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC， 若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数. 14、如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数． A E B D C
与角平分线有关的证明、计算(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：总结角平分线的相关定理： ①______________________________________________； ②_____________________________________________； ③在下图中成立的比例_________________． 问题2：总结角平分线常见的组合搭配： ①等腰三角形“三线合一”，___________重合，考虑角平分线； ②平行线+角平分线出现_______________________； ③___________（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+_____________，进而出现等腰结构． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：总结角平分线的相关定理： ① ； ② ； ③在下图中成立的比例．
答： 问题2：总结角平分线常见的组合搭配： ①等腰三角形“三线合一”，重合，考虑角平分线； ②平行线+角平分线出现； ③（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线 + ，进而出现等腰结构． 答： 与角平分线有关的证明、计算 一、单选题(共8道，每道11分) 1.如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )
A.150° B.168° C.135° D.160° 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质 2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )
角速度与线速度的关系
角速度与线速度的关系 A卷 一、填空题 1．如图所示，O1、O2两轮通过摩擦传动，传动时两轮间不打滑， 两轮的半径之比为r1：r2，A、B分别为O1、O2两轮边缘上的点， 则A、B两点的线速度大小之比为v A：v B＝，角速度之比为 ωA：ωB＝，周期之比为T A：T B＝，转速 之比为n A：n B＝。 二、选择题 2．时钟上时针、分针和秒针的角速度关系是（）。 （A）时针与分针的角速度之比为1∶60 （B）时针与分针的角速度之比为1∶12 （C）分针与秒针的角速度之比为1∶12 （D）分针与秒针的角速度之比为1∶60 3．在质点做匀速圆周运动的过程中，发生变化的物理量是（） （A）频率（B）周期 （C）角速度（D）线速度 根据铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为（）。 （A）15 km/h （B）18 km/h （C）20 km/h （D）25 km/h 5．一个质点沿半径为R的圆周做匀速圆周运动，周期为4s，在1s内质点位移的大小和路程分别是（）。 （A）R，πR/2 （B）πR/2，πR/2 （c） 2 R，πR/2 （D）πR/2， 2 R 6．质点A沿竖直平面内、半径为R的圆周从最高点开始顺时针做匀速圆周运动，质点B 在圆周最高点的正上方比最高点高2R的地方同时做自由落体，为使两质点能相遇，质点A 的速度v应满足什么条件？ B卷 一、填空题 1．某人在地球上北纬30°的某一点，则他随地球自转的线速度大小为m/s，角速度rad/s，他随地球绕太阳公转的线速度大小为m/s，角速度为rad/s。已知地球半径为R地＝6400 km，日地距离为r＝1.5×108km。 2．如图所示，一辆自行车上连接踏脚板的连杆长为R1，由踏脚板 带动半径为r1的大齿盘，通过链条与半径为r2的后轮齿盘连接，再 带动半径为R2的后轮转动。若将后轮架空，踩踏脚板使后轮匀速转 动，则踏脚板上一点和后轮边缘的一点的角速度之比为，线速
有关角平分线辅助线做法-含例题与分析
由角平分线想到的辅助线 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分 线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC B 图1-2 D B C
三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)
解三角形题目的思考 文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 常规解法及题根： （15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D C = 22求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C ∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论：角平分线性质： （1）平分角 （2）到角两边距离相等 （3）线段成比率 中点性质与结论： （1）平分线段； （2）向量结论； （3）两个小三角形面积相等。 题目解法搜集： 解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解； 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ，则7 因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC = ，所以BD=37，DC=7； 在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?，解得x= 933344。 若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。
小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算(选做)
小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算 模型1 两个内角平分线的夹角 方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点O ，则∠BOC＝90°＋1 2 ∠A. 1．如图，点O 是△ABC 的∠AB C 与∠ACB 两个角的平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A 的角度是________°. 2．如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线． (1)∠ABC＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由； (2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC 的度数； (3)若∠A＝n °，求∠BOC 的度数． 模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC、∠ACE，则∠BDC＝1 2∠A. 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝50°，则∠D＝________． 4．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动过程中，∠C 的度数是一个定值，这个定值为________． 5．(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的
人教版七年级数学上册必刷题《专题6_与角平分线有关的计算问题_》刷难关
初中必刷题第四章几何图形初步刷难关 《专题6 与角平分线有关的计算问题》 类型1 单角平分线问题 1.[2020广东珠海香洲区期末改编，中]如图，已知点O为直线AB上一点，将一个直角三角板COD的直角顶点放在点O处，并使OC边始终在直线AB的上方，OE平分∠BOC. （1）若∠DOE=70°，则∠AOC=______； （2）若∠DOE=α，求∠AOC的度数.（用含α的式子表示） 2.[20江苏南京栖霞区期末，难]【发现猜想】 如图（1），若∠AOB=70°，∠AOD=100°，OC为∠BOD的平分线，则∠AOC的度数为______；【探索归纳】 如图（1），∠AOB=m，∠AOD=n，OC为∠BOD的平分线.猜想∠AOC的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由. 【问题解决】 如图（2），已知∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°.若射线OB绕点O以每秒20°的速度逆时针转动，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针转动，射线OD绕点O以每秒30°的速度顺时针转动，三条射线同时转动，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
类型2 双角平分线问题 3.[2019湖北鄂州梁子湖区期中，较难]已知∠AOB=90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，求∠EOF的度数. 4.[2020江苏高邮期末，难]如图，已知∠AOB=150°，将一个直角三角形纸片（∠D=90°）的一个顶点放在点O处，现将三角形纸片绕点O任意转动，OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD. （1）将三角形纸片绕点O转动（三角形纸片始终保持在∠AOB的内部），若∠COD=30°，则∠MON=_______； （2）将三角形纸片绕点O转动（三角形纸片始终保持在∠AOB的内部），若射线OD恰好平分∠MON，且∠MON=8∠COD，求∠COD的度数； （3）将三角形纸片绕点O从OC与OA重合位置顺时针转动到OD与OA重合的位置，猜想在转动过程中∠COD和∠MON的数量关系，并说明理由.
线段与角的计算及解题方法归纳
线段与角的计算及解题方法 求线段长度的几种常用方法： 1.利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系 例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。 图1 分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。 解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11 所以 又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm 2.利用线段中点性质，进行线段长度变换 例2.如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长。 图2 分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。 解：因为N是PB的中点，NB＝14 所以PB＝2NB＝2×14＝28 又因为AP＝AB－PB，AB＝80 所以AP＝80－28＝52（cm） 说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。 3. 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解 例3. 如图3，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，，
求BC是AB的多少倍 图3 分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程，又C为AD的中点，即，观察图形可知，，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、BC。 解：因为C为AD的中点，所以 因为，即 又 由<1>、<2>可得： 即BC＝3AB 例4. 如图4，C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝21，求PQ的长。 图4 分析：根据比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则AB上每一条短线段都可以用x的代数式表示。观察图形，已知量MN＝MC＋CD＋DE＋EN，可转化成x的方程，先求出x，再求出PQ。 解：若设AC＝2x，则 于是有 那么 即 解得： 所以
第二节角平分线定理
第二节角平分线定理 【知识点拨】 1、三角形内角平分线的性质定理： 三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明） 2、三角形外角平分线性质定理： 三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。 3、常见问题 对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。 【赛题精选】 例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。 求CD的长。 例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。 求A D·DC的值。（2001年全国竞赛题）
【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。 对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。 例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。 求证：BC AC AB ID AI +=。 例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分 ∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。 试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀 请赛题） 【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2 211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。 本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。 例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。求证：AC ∥DF 。
角平分线定理
【知识点拨】 1、三角形内角平分线的性质定理： 三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明） 2、三角形外角平分线性质定理： 三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。 3、常见问题 对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。 【赛题精选】 例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。 求CD的长。 例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。 求AD·DC的值。（2001年全国竞赛题） 【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。 例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。 求证：BC AC AB ID AI +=。 例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且 EG ∥AB 交CB 于G 。 试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题） 【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2211n m n m =，从而得到2 1x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。 本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。 例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。求证：AC ∥DF 。 【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。 本题是由线段成比例证明两条直线平行的，这是证两条直线平行的新方法，对于题设
角速度与线速度、向心加速度与力的关系(含答案)
角速度与线速度 一、基础知识回顾 1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件. (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系 T r t s v π2==； T t π?ω2==； f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 二、例题精讲 【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( ) A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以v a =v c ，选项C 正确. b 、 c 、 d 绕同一轴转动，因此ωb =ωc =ωd . ωa =r v r v c a ==2ωc 选项B 错误. 22a c c b b v v r r v ====ωω 选项A 错误. r v r a a c a 220== r v r r r v a c d a d 2224)4(4=?==ω ∴a d = a a ∴正确答案为C 、D 【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB 为轴匀速转动，如图所示，则环上M 、N 两点的线速度的大小之比v Ｍ∶v N ＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN ＝ ；周期之比T Ｍ∶T N ＝ . 图2 图 3
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法 在复习三角形时，发现由三角形的角平分线构成的角与已知角之间存在一定的等量关系，现归纳如下，与大家探讨。 一、三角形两内角平分线的夹角 如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC 的度数。（人教版九年级上册100页练习1） 解：O是内心 即三角形三条内角平分线的交点 ∠CBO=∠ABC=25 ∠BCO=∠ACB=37.5 ∠CBO+∠BCO=62.5 △BOCxx ∠CBO+∠BCO+∠BOC=180 ∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-62.5=117.5 思考：把已知条件∠ABC=50，∠ACB=75变为∠A=55时，按上面思路，虽然不能确定∠ABC和∠ACB的大小，但这两角和是确定的，那么这两角和的一半也是确定的，从而问题可解。 进一步思考，当∠A=M时，求∠BOC的度数。 解：在△ABCxx ∵∠A=M ∴∠ABC+∠ACB=180-M 又∵O△ABC是内心
∴BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴∠CBO=∠ABC∠BCO=∠ACB ∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180-M）=90-M在 △BOC中 ∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-（90-M）=180-90+M=90+M即： ∠BOC=90+M 二、三角形内角与外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，∠A=M，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，求∠的度数。 解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD ∴∠ABC=2∠EBC∠ACD=2∠ECD ∠ACD=∠ABC+∠A ∠ECD=∠EBC+∠E ∴2∠ECD=2∠EBC+2∠E ∴∠A=2∠E 即：∠E=M 三、三角形两外角平分线的夹角 如图：在△ABC中，∠B=M,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，求∠E的度数。 解：∵AE平分∠DACCE平分∠ACF ∴∠EAC=∠DAC∠ECA=∠ACF ∠DAC=∠B+∠ACB∠ACF=∠B+∠BAC
初一数学角与角平分线含答案
角、角平分线 中考要求 例题精讲 一、角的定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义 2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始 边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2） 顶点是这两条边的交点； （3） 角的两条边是射线，是无限延伸的. （4） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 二、角的表示方法 ① 利用三个大写字母来表示，如图1.1． ∠AOB 图1.1 注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2． ∠A 图1.2 A 注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且 只有一个． ③ 用数字来表示角，如图2.1．
∠1图2.1 1 ③用希腊字母来表示角，如图2.2． ∠ α 图2.2 α 三、单位换算 1度＝60分(160 ?=') 1分=60秒(160 '=") 四、角的度量 （1）度量角的工具常用量角器 用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数） （2）角的度量单位及其换算 角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系 1周角=360?1平角＝180?1直角＝90? 1周角＝2平角1平角＝2直角 角的分类： 锐角α（090 α <
湘教版-数学-七年级上册-与角的平分线有关的典型例题
与角的平分线有关的典型例题 对于角平分线的认识，同学们要注意以下两点： （1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分． （2）要掌握角平分线的数学表达式． 下面重点介绍与角的平分线有关的计算问题 例1．如图1，O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．求∠DOE 的度数． 解：因为OD 、OE 分别是∠AOC 、∠COB 的平分线， 所以∠COD= 21∠AOC ，∠COE=2 1∠COB ， 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠AOC+2 1∠COB =21(∠AOC+∠COB)=21∠AOB=21×180°=90°． 例2．如图2，∠AOC 为直角,OC 是∠BOD 的平分线,且∠AOB=35°,求∠AOD 的度数． 分析：和图形有关的角度计算问题，需要从图形中找 到角与角之间的关系．本题要求∠AOD 的读数，则只要求 出∠COD 的度数即可． 解：因为∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-35°=55°, 又OC 平分∠BOD, 所以∠COD=∠BOC=55°, 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+55°=145° 【评注】解决与图形有关的角的计算问题关键将所求的角转化为已知角求解． 例3．如图3，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ． （1）求∠MON 的度数； （2）如果（1）中∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）如果（1）中∠AOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？ 图1 图2 图3
角速度与线速度的关系
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 课题：4B 角速度与线速度的关系 松江区教师进修学院附属立达中学陆美群 〖教学设计思路〗： 本节包括两部分内容，一是角速度与线速度的关系；二是周期、转速与角速度、线速度的关系。 设计的基本思路是：根据线速度和角速度的定义以及数学知识推导出线速度与角速度关系。然后根据周期、转速的含义导出它们与角速度、线速度的关系式。最后通过对自行车的探索研究，巩固所学知识，感悟物理学在生活、生产等方面的重要作用。 突出的重点是：角速度与线速度的关系。在导出角速度和线速度的关系式v＝ωr后，要注意结合实例——同轴转动和皮带、链及齿轮传动的讨论，引导学生认识角速度和线速度的区别与联系。 要突破的难点是：对自行车的探索研究，巩固所学知识。 完成本设计的内容约需2课时。 〖教学目标〗： 1．知识与技能 （1）理解线速度、角速度都是描述质点做圆周运动的快慢的物理量，找出两者的关系。 （2）理解引入周期、转速等概念的必要性。 （3）能自己推导周期、转速与角速度、线速度之间的关系。 2．过程与方法 （1）讨论同轴转动和皮带、链及齿轮传动的现象，感受观察、实验、分析、比较、归纳等科学方法。 （2）运用角速度和线速度关系的知识解决实际问题，感受具体问题具体分析的方法。 3．情感、态度与价值观 （1）分析生活实例，探究自行车的问题，感悟物理源于生活，提高学习物理的兴趣。 （2）感受学习过程中的讨论、交流的乐趣，激发与他人合作、交流的愿望。 〖教学的重点和难点〗： 重点：掌握描述圆周运动的角速度、线速度、周期、转速的意义及相互间的关系。 难点：生活实例分析。 〖教学资源〗： 电脑、投影仪、多媒体课件、自行车等。 〖教学流程〗：