线性代数第三章习题解
线性代数第三章习题解
1. 计算下列行列式: 1)
4
321;
2) 2
2b
b a a ; 3)
7
04
0-
解: 1)
26432414
321-=-=?-?=;
2) )(222
2a b ab b a ab b
b a a -=-=; 3)
0)4(0707
40=-?-?=-.
2. 计算下列三阶行列式:
1) 241130
4
21--; 2) 320001753-; 3) b
a c a c
b c
b a 解: 1) 将行列式按第一列展开 2) 将行列式按第二行展开 3)
3. 计算下列行列式:
1) 0
00
0000005
5
4433
2222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2) x
y
y x y x y x D n 0
0000
000
00
=;
3)
f
e d c
b a
00000000
解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得
3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得 4. 利用行列式的性质计算下列行列式
1)
2
60
5
232112131412
-;
2) ef
cf
bf
de cd bd
ae ac ab
---; 3) 2
2
2
2
2222
2
2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
解: 下面都将所求行列式的值设为D .
1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得 3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得
再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得 5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值
1)
1
5
2
3
21353140422
-----; 2)
2
1
6
4
72954
1732152-----
解: 1) 2)
6. 计算下列n 阶行列式
1) 12125
4
3
1432321-n n n
2)
a
b
b
b
a b a
解: 1) 设此行列式的值为D , 将第2,3,…,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为
)1(2
1
321+=
++++n n n , 将此公因式提出, 因此有 再令第n 行减去第n -1行, 第n -1行减去第n -2行, …, 第2行减去第1行, 可得 2) 此题和第3题的2)一样, 因此有n n n
b a D 1
)1(+-+=
7. 证明下列行列式
1) ))()((1
11
a c c
b b a ab
ca bc c b
a
---=