2020年中考数学压轴题：几何变换(10题)
2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：几何变换（10
题）
一、解答题（共10小题）
1．（2018?金水区校级四模）如图乙，ABC ?和ADE ?是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=?，点P 为射线BD ，CE 的交点．
（1）如图甲，将ADE ?绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，则下列给出的四个结论中，其中正确的是 ．
①BD CE =②BD CE ⊥③45ACE DBC ∠+∠=?④2222()BE AD AB =+ （2）若4AB =，2AD =，把ADE ?绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=?时，求PB 的长； ②求旋转过程中线段PB 长的最大值．
2．（2016?天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A ，点(0,3)B ，把ABO ?绕点B 逆时针旋转，得△A BO ''，点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '，记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，若90α=?，求AA '的长； （Ⅱ）如图②，若120α=?，求点O '的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后的对应点为P '，当O P BP '+'取得最小值时，求点P '的坐标（直接写出结果即可）
3．（2019?沈丘县一模）观察猜想
（1）如图①，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，3AB AC ==，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90?得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是 ，BE BF += ； 探究证明
（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使1AD =，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE BF +的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸
（3）如图③，在ABC ?中，AB AC =，BAC α∠=，点D 在边BA 的延长线上，BD n =，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角EDF α∠=，连接BF ，则BE BF +的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．
4．（2016?湖州）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120?的平行四边形
(120)ABCD BAD ∠=?进行探究：将一块含60?的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60?角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的
两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）． （1）初步尝试
如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ???，②AE AF AC +=； （2）类比发现
如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =；
（3）深入探究
如图3，若3AD AB =，探究得：
3AE AF
AC
+的值为常数t ，则t = ．
5．（2015?南通）如图，Rt ABC ?中，90C ∠=?，15AB =，9BC =，点P ，Q 分别在BC ，
AC 上，3CP x =，4(03)CQ x x =<<．把PCQ ?绕点P 旋转，得到PDE ?，点D 落在线
段PQ 上．
（1）求证：//PQ AB ；
（2）若点D 在BAC ∠的平分线上，求CP 的长；
（3）若PDE ?与ABC ?重叠部分图形的周长为T ，且1216T 剟，求x 的取值范围．
6．（2017?天桥区三模）如图1，已知线段2BC =，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED BD =，连接DE ，BE ． （1）依题意补全图1，并证明：BDE ?为等边三角形；
（2）若45ACB ∠=?，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB ．将CDE ?绕点D 顺时针旋转α度(0360)α?<
①如图2，当30α=?时，连接BC '．证明：EF BC ='；
②如图3，点M为DC中点，点P为线段C E''上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，
线段PM长度的取值范围？
7．（2018?东莞市）已知Rt OAB
ABO
OB=，将Rt OAB
?
∠=?，斜边4
?，90
OAB
∠=?，30
绕点O顺时针旋转60?，如图1，连接BC．
（1）填空：OBC
∠=?；
（2）如图1，连接AC，作OP AC
⊥，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB
→→路径匀速
?边上运动，M沿O C B
运动，N沿O B C
→→路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，OMN
?的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
8．（2015?烟台）【问题提出】
如图①，已知ABC
=，?是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED EC
将BCE
?连接EF
?绕点C顺时针旋转60?至ACF
试证明：AB DB AF
=+
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，
并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
9．（2015?潜江）已知135
MAN
∠=?，正方形ABCD绕点A旋转．
（1）当正方形ABCD旋转到MAN
∠的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD 的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．
①如图1，若BM DN
=，则线段MN与BM DN
+之间的数量关系是；
②如图2，若BM DN
≠，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，当正方形ABCD旋转到MAN
∠的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．
10．（2015?济南）如图1，在ABC
?中，90
ACB
∠=?，AC BC
=，90
EAC
∠=?，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90?得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出NDE
∠的度数；
（2）如图2、图3，当EAC
∠为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若15
EAC
∠=?，60
ACM
∠=?，直线CM与AB交于G，
62
BD
+
=，其
他条件不变，求线段AM的长．
2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：几何变换（10
题）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题）
1．（2018?金水区校级四模）如图乙，ABC ?和ADE ?是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=?，点P 为射线BD ，CE 的交点．
（1）如图甲，将ADE ?绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，则下列给出的四个结论中，其中正确的是 ①②③ ．
①BD CE =②BD CE ⊥③45ACE DBC ∠+∠=?④2222()BE AD AB =+ （2）若4AB =，2AD =，把ADE ?绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=?时，求PB 的长； ②求旋转过程中线段PB 长的最大值．
【考点】RB ：几何变换综合题
【分析】（1）①由条件证明ABD ACE ???，就可以得到结论②由ABD ACE ???就可以得出ABD ACE ∠=∠，就可以得出90BDC ∠=?，进而得出结论；③由条件知45ABC ABD DBC ∠=∠+∠=?，由ABD ACE ∠=∠就可以得出结论；④BDE ?为直角三角形
就可以得出222BE BD DE =+，由DAE ?和BAC ?是等腰直角三角形就有222DE AD =，222BC AB =，就有2222BC BD CD BD =+≠就可以得出结论；
（2）①分两种情形a 、如图乙1-中，当点E 在AB 上时，2BE AB AE =-=．由PEB AEC ??∽，得
PB BE
AC CE
=
，由此即可解决问题．b 、如图乙2-中，当点E 在BA 延长线上时，6BE =．解法类似；
②如图乙3-中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A e 上方与A e 相切时，PB 的值最大．分别求出PB 即可； 【解答】（1）解：如图甲：
①90BAC DAE ∠=∠=?Q ，
BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，
即BAD CAE ∠=∠． 在ABD ?和ACE ?中， AD AE BAD CAE AB AC =??
∠=∠??=?
， ()ABD ACE SAS ∴???， BD CE ∴=，∴①正确；
②ABD ACE ???Q ， ABD ACE ∴∠=∠． 90CAB ∠=?Q ， 90ABD AFB ∴∠+∠=?， 90ACE AFB ∴∠+∠=?． DFC AFB ∠=∠Q ， 90ACE DFC ∴∠+∠=?， 90FDC ∴∠=?． BD CE ∴⊥，∴②正确；
③90BAC ∠=?Q ，AB AC =，
45ABC ∴∠=?， 45ABD DBC ∴∠+∠=?．
45ACE DBC ∴∠+∠=?，∴③正确；
④BD CE ⊥Q ，
222BE BD DE ∴=+，
90BAC DAE ∠=∠=?Q ，AB AC =，AD AE =，
222DE AD ∴=，222BC AB =，
2222BC BD CD BD =+≠Q ， 22222AB BD CD BD ∴=+≠，
2222()BE AD AB ∴≠+，∴④错误． 故答案为：①②③．
（2）①解：a 、如图乙1-中，当点E 在AB 上时，2BE AB AE =-=．
90EAC ∠=?Q ，
2225CE AE AC ∴=+= 同（1）可证ADB AEC ???． DBA ECA ∴∠=∠． PEB AEC ∠=∠Q ， PEB AEC ∴??∽． ∴
PB BE
AC CE =
， ∴425
PB =
45
PB ∴．
b 、如图乙2-中，当点E 在BA 延长线上时，6BE =．
90EAC ∠=?Q ，
2225CE AE AC ∴=+=， 同（1）可证ADB AEC ???． DBA ECA ∴∠=∠． BEP CEA ∠=∠Q ， PEB AEC ∴??∽， ∴
PB BE
AC CE =
， ∴425
PB =
， 125
PB ∴=
综上，45PB =
或125
．
②解：如图乙3-中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A e 上方与A e 相切时，PB 的值最大．
理由：此时BCE ∠最大，因此PB 最大，(PBC ?是直角三角形，斜边BC 为定值，BCE ∠最大，因此PB 最大） AE EC ⊥Q ，
2223EC AC AE ∴=-=， 由（1）可知，ABD ACE ???，
90ADB AEC ∴∠=∠=?，23BD CE ==，
90ADP DAE AEP ∴∠=∠=∠=?，
∴四边形AEPD 是矩形，
2PD AE ∴==，
232PB BD PD ∴=+=+．
综上所述，PB 长的最大值是232+．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
2．（2016?天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A ，点(0,3)B ，把ABO ?绕点B 逆时针旋转，得△A BO ''，点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '，记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，若90α=?，求AA '的长； （Ⅱ）如图②，若120α=?，求点O '的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后的对应点为P '，当O P BP '+'取得最小值时，求点P '的坐标（直接写出结果即可）
【考点】RB ：几何变换综合题 【专题】15：综合题
【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出5AB =，再根据旋转的性质得BA BA ='，90ABA ∠'=?，则可判定ABA ?'为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA '的长；
（2）作O H y '⊥轴于H ，如图②，利用旋转的性质得3BO BO ='=，120OBO ∠'=?，则60HBO ∠'=?，再在Rt BHO ?'中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH 和O H '的长，然后利用坐标的表示方法写出O '点的坐标；
（3）由旋转的性质得BP BP ='，则O P BP O P BP '+'='+，作B 点关于x 轴的对称点C ，连接O C '交x 轴于P 点，如图②，易得O P BP O C '+='，利用两点之间线段最短可判断此
时O P BP '+的值最小，接着利用待定系数法求出直线O C '的解析式为3y =-，从
而得到P 0)，则O P OP ''==，作P D O H '⊥'于D ，然后确定30DP O ∠''=?后
利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P D '和DO '的长，从而可得到P '点的坐标．
【解答】解：（1）如图①， Q 点(4,0)A ，点(0,3)B ，
4OA ∴=，3OB =，
5AB ∴=，
ABO ?Q 绕点B 逆时针旋转90?，得△A BO ''，
BA BA ∴='，90ABA ∠'=?， ABA ∴?'为等腰直角三角形，
AA ∴'==
（2）作O H y '⊥轴于H ，如图②，
ABO ?Q 绕点B 逆时针旋转120?，得△A BO ''， 3BO BO ∴='=，120OBO ∠'=?， 60HBO ∴∠'=?，
在Rt BHO ?'中，9030BO H HBO ∠'=?-∠'=?Q ，
13
22
BH BO ∴='=，O H '==， 39
322OH OB BH ∴=+=+=，
O ∴'点的坐标为9
)2
； （3）ABO ?Q 绕点B 逆时针旋转120?，得△A BO ''，点P 的对应点为P '，
BP BP ∴='，
O P BP O P BP
∴'+'='+，
作B点关于x轴的对称点C，连接O C'交x轴于P点，如图②，则O P BP O P PC O C
'+='+='，此时O P BP
'+的值最小，
Q点C与点B关于x轴对称，
(0,3)
C
∴-，
设直线O C'的解析式为y kx b
=+，
把
33
(
O'，
9
)
2
，(0,3)
C-
代入得
339
2
3
k b
b
?
+=
?
?=-
?
，解得
53
3
k
b
?
=
?
?
?=-
?
，
∴直线O C'的解析式为
53
3
y x
=-，
当0
y=时，
53
30
x-=，解得
33
x=，则
33
(P，0)，
33
OP
∴=，
33
O P OP
∴''==，
作P D O H
'⊥'于D，
90
BO A BOA
∠''=∠=?
Q，30
BO H
∠'=?，
30
DP O
∴∠''=?，
133
2
O D O P
∴'=''=，
9
3
10
P D O D
'='=，
333363
DH O H O D
∴='-'=-=，
P
∴'点的坐标为
63
(，
27
)
5
．
【点评】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．3．（2019?沈丘县一模）观察猜想
（1）如图①，在Rt ABC
AB AC
∠=?，3
==，点D与点A重合，点E在边BC
BAC
?中，90
上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90?得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是BF BE
⊥，BE BF
+=；
探究证明
（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使1
AD=，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF的位置关系，并求BE BF
+的值，请写出你的理由或计算过程；
拓展延伸
（3）如图③，在ABC
=，
∠=，点D在边BA的延长线上，BD n ?中，AB AC
=，BACα
连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角EDFα
+的
∠=，连接BF，则BE BF
值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论．
【考点】RB：几何变换综合题
【专题】15：综合题
【分析】（1）只要证明BAF CAE
???，即可解决问题；
（2）如图②中，作//
DH AC交BC于H．利用（1）中结论即可解决问题；
（3）如图③中，作//
⊥于M．只要证明
DH AC交BC的延长线于H，作DM BC
???，可证BF BE BH
BDF HDE
+=，即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①中，
∠=∠=?
Q，
90
EAF BAC
∴∠=∠，
BAF CAE
Q，AB AC
=
AF AE
=，
ABF C ∴∠=∠，BF CE =， AB AC =Q ，90BAC ∠=?， 45ABC C ∴∠=∠=?，
90FBE ABF ABC ∴∠=∠+∠=?，BC BE EC BE BF =+=+，
故答案为：BF BE ⊥，BC ．
（2）如图②中，作//DH AC 交BC 于H ．
//DH AC Q ，
90BDH A ∴∠=∠=?，DBH ?是等腰直角三角形，
由（1）可知，BF BE ⊥，BF BE BH +=， 3AB AC ==Q ，1AD =，
2BD DH ∴==，
22BH ∴=，
22BF BE BH ∴+==；
（3）如图③中，作//DH AC 交BC 的延长线于H ，作DM BC ⊥于M ．
//AC DH Q ，
ACB H ∴∠=∠，BDH BAC α∠=∠=， AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠
DB DH ∴=，
EDF BDH α∠=∠=Q ，
BDF HDE ∴∠=∠， DF DE =Q ，DB DH =，
BDF HDE ∴???， BF EH ∴=，
BF BE EH BE BH ∴+=+=， DB DH =Q ，DM BH ⊥， BM M H ∴=，BDM HDM ∠=∠，
sin
2
BM MH BD α
∴==g ．
2sin
2
BF BE BH n α
∴+==g ．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（2016?湖州）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120?的平行四边形
(120)ABCD BAD ∠=?进行探究：将一块含60?的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60?角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的
两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）． （1）初步尝试
如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ???，②AE AF AC +=； （2）类比发现
如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =； （3）深入探究
如图3，若3AD AB =，探究得：
3AE AF
AC
+的值为常数t ，则t
【考点】RB ：几何变换综合题
【分析】（1）①先证明ABC ?，ACD ?都是等边三角形，再证明BCE ACF ∠=∠即可解决问题．②根据①的结论得到BE AF =，由此即可证明．
（2）设DH x =，由题意，2CD x =，3CH x =，由ACE HCF ??∽，得AE AC
FH CH
=
由此即可证明．
（3）如图3中，作CN AD ⊥于N ，CM BA ⊥于M ，CM 与AD 交于点H ．先证明CFN CEM ??∽，得
CN FN
CM EM
=
，由AB CM AD CN =g g ，3AD AB =，推出3CM CN =，所以
1
3
CN FN CM EM ==，设CN a =，FN b =，则3CM a =，3EM b =，想办法求出AC ，3AE AF +即可解决问题．
【解答】解；（1）①Q 四边形ABCD 是平行四边形，120BAD ∠=?， 60D B ∴∠=∠=?，
AD AB =Q ，
ABC ∴?，ACD ?都是等边三角形，
60B CAD ∴∠=∠=?，60ACB ∠=?，BC AC =， 60ECF ∠=?Q ，
60BCE ACE ACF ACE ∴∠+∠=∠+∠=?， BCE ACF ∴∠=∠，
在BCE ?和ACF ?中，
B CAF B
C AC
BCE ACF ∠=∠??
=??∠=∠?
BCE ACF ∴???．
②BCE ACF ???Q ，
BE AF ∴=，
AE AF AE BE AB AC ∴+=+==．
（2）设DH x =，由题意，2CD x =
，CH =， 24AD AB x ∴==， 3AH AD DH x ∴=-=， CH AD ⊥Q ，
AC ∴， 222AC CD AD ∴+=， 90ACD ∴∠=?， 90BAC ACD ∴∠=∠=?， 30CAD ∴∠=?， 60ACH ∴∠=?， 60ECF ∠=?Q ， HCF ACE ∴∠=∠， ACE HCF ∴??∽，
∴
2AE AC
FH CH
==， 2AE FH ∴=．
（3）如图3中，作CN AD ⊥于N ，CM BA ⊥于M ，CM 与AD 交于点H ． 180ECF EAF ∠+∠=?Q ， 180AEC AFC ∴∠+∠=?， 180AFC CFN ∠+∠=?Q ，
CFN AEC ∴∠=∠，90M CNF ∠=∠=?Q ， CFN CEM ∴??∽，
∴
CN FN
CM EM
=
， AB CM AD CN =Q g
g ，3AD AB =， 3CM CN ∴=，
∴
1
3
CN FN CM EM ==，设CN a =，FN b =，则3CM a =，3EM b =， 60MAH ∠=?Q ，90M ∠=?， 30AHM CHN ∴∠=∠=?，
2HC a ∴=，HM a =，3HN a =，
3AM a ∴=
，23
AH a =， 22221
AC AM CM a ∴=+=
， 143
3()3()33333AE AF EM AM AH HN FN EM AM AH HN FN AH HN AM a +=-++-=-++-=+-=
，
∴143
337221
a
AE AF AC a +==． 故答案为7．
【点评】本题考查几何变换综合题．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
5．（2015?南通）如图，Rt ABC ?中，90C ∠=?，15AB =，9BC =，点P ，Q 分别在BC ，
AC 上，3CP x =，4(03)CQ x x =<<．把PCQ ?绕点P 旋转，得到PDE ?，点D 落在线
段PQ 上．
（1）求证：//PQ AB ；
（2）若点D 在BAC ∠的平分线上，求CP 的长；
（3）若PDE ?与ABC ?重叠部分图形的周长为T ，且1216T 剟
，求x 的取值范围．