误差理论与数据处理费业泰习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)
习题及参考答案
第一章 绪论
1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o
00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：
绝对误差等于： 相对误差等于：
1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%
108.66 %
1002.31
1020 100%
max
max 4-6
-?=??=?=
测得值
绝对误差相对误差
1-10检定级（即引用误差为%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？
%5.22%100%100
2
100%
<=?=
?=
测量范围上限
某量程最大示值误差
最大引用误差
该电压表合格
1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差
L 1:50mm 0.008%100%5050
004.501=?-=
I
L 2:80mm 0.0075%100%80
80
006.802=?-=I
21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：
多级火箭的相对误差为：
射手的相对误差为：
多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为
m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差
0.01%110111±=±
=mm m
I μ
0.0082%11092±=±
=mm m
I μ %008.0150123±=±
=mm
m
I μ
123I I I <<第三种方法的测量精度最高
第二章 误差的基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为，，，，。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
168.41168.54168.59168.40168.50
5
x ++++=
168.488()mA =
)(082.01
55
1
2
mA v i i
=-=
∑=σ
0.037()x mA σ=
=
= 或然误差：0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==?= 平均误差：0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==?=
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为，，，，。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
20.001520.001620.001820.001520.0011
5
x ++++=
20.0015()mm =
0.00025σ=
=
正态分布 p=99%时，t 2.58= lim x x t δσ=±
2.58=± 0.0003()mm =±
测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±
2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差
mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为
99%时，试求必要的测量次数。
正态分布 p=99%时，t 2.58=
lim x t
δ=±
2.580.004
2.064
0.005
4.265
n n ?=
===取
2－9 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝，若要求测量的允许极限误差为±，而置信概率P 为时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有
0015.0≤±=±n
t
t x σ
σ
根据题目给定得已知条件，有
5.1001
.00015
.0=≤
n
t
查教材附录表3有
若n ＝5，v ＝4，α＝，有t ＝，
24.1236
.278
.25
78.2==
=
n
t 若n ＝4，v ＝3，α＝，有t ＝，
59.12
18
.34
18.3==
=
n
t 即要达题意要求，必须至少测量5次。
2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为，，，，，，，，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
)(34.1020288
1
8
1
Pa p
x
p x i i
i i
i ==
∑∑==
)(95.86)18(81
8
1
2
Pa p v p i i
i xi
i x ≈-=
∑∑==σ
2-13测量某角度共两次，测得值为6331241'''=ο
α，''24'13242ο=α，其
标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。
961:190441
:
1
:2
2
2
1
21==
σσp p
''35'1324961
19044'
'4961''1619044''20'1324οο
=+?+?+
=x
''0.3961
1904419044
''1.32
1
≈+?
==∑=i i
i
x
x p
p i
σσ
2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下：
;
5127,0227,5327,037,0227:'''''''''''''''οοοοο甲α
;5427,0527,0227,5227,5227:'''''''''''''''οοοοο乙α
试求其测量结果。 甲：20"60"35"20"15"
72'72'30"5
x ++++=+
=o
o 甲
σ甲
18.4"=
x 8.23"σ=
=
=甲 乙：25"25"20"50"45"
72'72'33"5
x ++++=+
=o
o 乙
σ=
=
乙13.5"=
x 6.04"σ==
=乙 22
22
x x
1
1
11
::
:3648:67738.23 6.04p p σσ=
=
=乙
乙甲甲
364830"677333"72'36486773
p x p x x p p +?+?=
=+++o
甲乙乙甲乙甲72'32"=o
78.46773
36483648
32.8''=+?
''=+=乙
甲甲甲
p p p x x σσ
''15''32'273±=±=οx x X σ
2-16重力加速度的20次测量具有平均值为2
/811.9s m 、标准差为
2/014.0s m 。另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ，标准差为2/022.0s m 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均
值和标准差。 147:24230022.01:
20014.011
:
1
:2
2
22212
2
21
=??
? ????
? ??=
=
x
x p p σσ
)/(9.808147
2429.802
1479.8112242s m x ≈+?+?=
）
（2m/s 0.0025147242242
20
014.0≈+?=
x σ
2-19对某量进行10次测量，测得数据为，，，，，，，，，，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14=x
按贝塞尔公式 2633.01=σ
按别捷尔斯法0.2642)
110(10253.110
1
i 2≈-?
=∑=i
v
σ
由
u +=112σσ 得 0034.011
2=-=σσ
u 67.01
2
=-<
n u 所以测量列中无系差存在。
2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： ，，，； ，，，，，。
试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法：
排序：
T=+7+9+10= 查表 14=-T 30=+T +>T T 所以两组间存在系差
2－21 对某量进行两组测量，测得数据如下：
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解：
按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
现n x ＝14，n y ＝14，取x i 的数据计算T ，得T ＝154。由
203)2)1((
211=++=n n n a ；474)12
)
1((2121=++=n n n n σ求出：
1.0-=-=
σ
a
T t
现取概率295.0)(=t φ，即475.0)(=t φ，查教材附表1有96.1=αt 。由于αt t ≤，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章 误差的合成与分配
3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合
而成，它们的基本尺寸为mm l 401=，mm l 122=，mm l 25.13=，
mm l 005.14=。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为
m l μ7.01-=?,m l μ5.02+=?,m l μ3.03-=?,
,
20.0,25.0,35.0,1.03lim 2lim 1lim 4m l m l m l m l μδμδμδμ±=±=±=+=?m l μδ20.04lim ±=。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量
带来的测量误差。
修正值=)(4321l l l l ?+?+?+?- =)1.03.05.07.0(+-+-- =)(m μ 测量误差: l δ=4
3
2
1
lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±
=2
222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，
mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=?，mm b 8.0-=?，mm c 5.0=?，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，
mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。
abc V = ),,(c b a f V =
2.115.446.1610??==abc V
)(44.805413
mm =
体积V 系统误差V ?为：
c ab b ac a bc V ?+?+?=?
)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=
立方体体积实际大小为：)(70.777953
0mm V V V =?-=
2
22222lim )()()(
c b a V c
f b f a f δδδδ??+??+??±= 2
22
22
2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±=
测量体积最后结果表示为:
V V V V lim 0δ+?-=3)11.372970.77795(mm ±=
3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分
别为mA I 5.0=σ，V U
1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。
UI P =5.226.12?=)(5.283mw =
),(I U f P =I U 、Θ成线性关系 1=∴UI ρ
I u I U P I
f U f I f U f σσσσσ))((2)()(
2
222????+??+??=
I U I U U I I
f
U f σσσσ+=??+??=
5.06.121.05.22?+?= )(55.8mw =
3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
3222.25120214.3cm h r V =??=??=π
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
%1=V
σ
即51.2%12.251%1=?=?=V σ 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：
cm hr r V r 007.021
41.151.2/12
==??=
πσ
σ
测定h 的误差应为：
cm r
h V h 142.01
41.151.2/122
=?=??=
πσ
σ
3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为，，，。已知测量的已定系统误差,6.2g -=?测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。
4
=
x
)(8.428)(775.428g g ≈=
最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=?-=
∑∑==??+??±=31222
2
5
1)(41)(
i i i i i i
x x f e x f δδ )(9.4g ±≈
测量结果表示为:x x x δ+?-=g )9.44.431(±=
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球的半径为r ，若重复10次测量得r ±σr =±cm ，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。 解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为：r D ?=π2 其
标
准不确定度应为：
()222
22
2
005.014159.342??==
??
? ????=r r r D u σπσ
＝
确定包含因子。查t 分布表（9）＝，及K ＝ 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：
U ＝Ku ＝×＝
②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：33
4
r V ??=
π 其标准不确定度应为：
()616
.0005.0132.314159.316424222
22
2
=???=??=
??
? ????=r
r r r V u σ
πσ
确定包含因子。查t 分布表（9）＝，及K ＝ 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U ＝Ku ＝×＝
4-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R 在20C ο
时为
Ω±Ωμ129000742.10（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。
Q 由校准证书说明给定
∴属于B 类评定的不确定度
Q R 在[ΩμΩ，Ω+129μΩ]范围内概率为99%，不为100% ∴不属于均匀分布，属于正态分布 129a =当p=99%时， 2.58p K = ∴129
50()2.58
R p a U K μ===Ω
4-5在光学计上用52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：
140l mm
=，
210l mm
=，
3 2.5l mm
=，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过
0.45m μ±、0.30m μ±、0.25m μ±（取置信概率P=%的正态分布），求该量
块组引起的测量不确定度。 52.5L mm = 140l mm = 210l mm =
3 2.5l mm =
123L l l l ∴=++ 99.73%p =Q 3p K ∴= 10.450.15()3l p a U m k μ=
== 20.30
0.10()3l p a U m k μ=== 30.250.08()3
l p a U m k μ=
==
321l l l L U U U U ++= = 0.20()m μ=
第五章 线性参数的最小二乘法处理
5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=??
-=??-=?
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。
误差方程为123
2.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+??
=--??=--?
列正规方程11121111
212221
11n
n n
i i i i i i i i i n n n
i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======?+=????+=??∑∑∑∑∑∑代入数据得
14513.4
514 4.6x y x y -=??-+=-?解得 ??
?==015
.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式123
2.9(30.9620.015)0.001
0.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-?+=-??
=--?=-??=-?-?=?
测量数据的标准差为0.038σ=
=
=
求解不定乘数 111221
22d d d d ???
???111211122122212214515140
1450
5141
d d d d d d d d -=??
-+=?-=??
-+=? 解得 082.02211==d d
x 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ
5-7不等精度测量的方程组如下：1233 5.6,148.1,220.5,3
x y p x y p x y p -=-=??
+==??-==?
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。
列误差方程11223
35.6(3),1
8.1(4),20.5(2),3
v x y p v x y p v x y p =---=??
=-+=??=--=?
正规方程为3
33
11121111
333
212221
11i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======?+=????+=??∑∑∑∑∑∑
代入数据得
4562.2
1431.5x y x y -=??-+=?解得 ?
?
?==352.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得???
??-===016.0012.0022
.03
21v v v
则测量数据单位权标准差为039.02
33
1
2
=-=
∑=i i
i v p σ
求解不定乘数 111221
22d d d d ???
???1112111221222122451140
450
141
d d d d d d d d -=??
-+=?-=??
-+=? 解得 ???==072.0022.022
11d d
x 、y 的精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y σσ
误差理论与大数据处理作业
第一章绪论 １-1、研究误差的意义就是什么?简述误差理论的主要内容。 答: 研究误差的意义为: (1)正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,以消除或减小误差; (2)正确处理测量与实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据; (3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器与测量方法,以便在最经济条件下,得到理想 的结果。 误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2、试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点就是什么？ 答:测量误差就就是测的值与被测量的真值之间的差;按照误差的特点与性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号保持恒定,或遵循一定的规律变化(大小与符号都按一定规律变化); 随机误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号以不可预定方式变化; 粗大误差的特点就是可取性。 1-3、试述误差的绝对值与绝对误差有何异同,并举例说明。 答:(1)误差的绝对值都就是正数,只就是说实际尺寸与标准尺寸差别的大小数量,不反映就是“大了”还就是“小了”,只就是差别量; 绝对误差即可能就是正值也可能就是负值,指的就是实际尺寸与标准尺寸的差值。＋多少表明大了多少,－多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者就是指系统的误差未定但标准值确定的,后者就是指系统本身标准值未定。1-6.在万能测长仪上,测量某一被测件的长度为50ｍｍ,已知其最大绝对误差为 1μm,试问该被测件的真实长度为多少? 已知:L=5０,△L=1μm＝0.001mm, 解: 绝对误差=测得值－真值,即: △L=L-L =L-△Ｌ＝50-0.０01=4９、999(mｍ) 测件的真实长度Ｌ １-7、用二等标准活塞压力计测量某压力得100、2Ｐa,该压力用更准确的办法测得为100、５Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解:在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值-实际值, 即: 100.2－100、5＝-０、3( Pa)
误差理论与数据处理 实验报告
《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月
实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);
p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1 《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于 真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下， 得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00 648002066018021802≈=''''''??''=''＝o 修正值=)(4321l l l l ?+?+?+?- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4 3 2 1 lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++± =2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ± 3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=， mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=?，mm b 8.0-=?，mm c 5.0=?，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ， mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。 abc V = ),,(c b a f V = 2.115.446.1610??==abc V )(44.805413 mm = 体积V 系统误差V ?为： c ab b ac a bc V ?+?+?=? )(74.2745)(744.274533mm mm ≈= 立方体体积实际大小为：)(70.777953 0mm V V V =?-= 2 22222lim )()()( c b a V c f b f a f δδδδ??+??+??±= 2 22 22 2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±= 测量体积最后结果表示为: V V V V lim 0δ+?-=3)11.372970.77795(mm ±= 3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。 解： 长方体的体积计算公式为：321a a a V ??= 体积的标准差应为：2 323 22222121)()()( σσσσa V a V a V V ??+??+??= 现可求出： 321a a a V ?=??；312a a a V ?=??；213 a a a V ?=?? 若：σσσσ===321 则 有 ： 23 2221232322222121)()()()()()( a V a V a V a V a V a V V ??+??+??=??+??+??=σσσσσ221231232)()()(a a a a a a ++=σ 若：321σσσ≠≠ 则有：2 32212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++= 3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ， V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。UI P =5.226.12?=)(5.283mw = ),(I U f P =I U 、 成线性关系 1=∴UI ρ I u I U P I f U f I f U f σσσσσ))((2)()( 2 222????+??+??= I U I U U I I f U f σσσσ+=??+??= 5.06.121.05.22?+?= )(55.8mw = 3-6 已知x 与y 的相关系数1xy ρ=-，试求2 u x ay =+的方差2u σ。 【解】属于函数随机误差合成问题。 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 《误差理论与数据处理》(第七版) 习题及参考答案 第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 误差分析和数据处理 误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 误差分析与数据处理 一.填空题 1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为 ______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态) 测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的 _________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。 23. 超出在规定条件下预期的误差称为_____(粗大)误差。 24. +=_____（） 25. ++=_____（） 26. （） 28. pH=的有效数字是____(2)位。 29. 保留三位有效数字，结果为____。 30. 为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子称为______（修正因子）。 一、检定一只5mA、级电流表的误差。按规定，要求所使用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器允许误差的1/3。现有下列3 只标准电流表，问选用哪一只最为合适，为什么? （本题10 分） （1）15mA级（2）10mA级（3）15mA级 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 1.1 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测 量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 1.2 误差及误差的表现形式 1．误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量 《误差理论与数据处理》练习题 第一章 绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的 绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。 相对误差=0.3 100%0.3%100.5-?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230 ±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。 由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+ 22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为： 第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）12.001±0.000 625 （cm ） 改:12.0010±0.0007（cm ） （2）0.576 361±0.000 5（mm ） 改: 0.576 4±0.000 5（mm ） （3）9.75±0.062 6 （mA ） 改: 9.75±0.07 （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: 96.5±0.5 （kg ） （5）22±0.5（℃） 改: 22.0±0.5（℃） 4.用级别为0.5，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： ②计算测量列的标准差I σ： ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显着水平a ＝0.01，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 由此得6I ＝9.40为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果 重列数据如表1-3-3。 计算得 9 1 1 9.564 ()9i i I I mA == =∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝2.042±0.003（cm ），高h ＝4.126±0.004（cm ），质量m ＝36.488±0.006（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得 《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试 问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、 、、。 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为，问该砝码的实际质量是________。 5g 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和_________来表示。 标准差极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为Ω,标准偏差为Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 sqrt(15),3*sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝ V ，标准差σ（U ）＝ ，按99%（置信因子 k = ）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 V* 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ ，则两 电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150 )(16.0) 100150(100)(2 2 2212 1 22 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R= 264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R 14. 用两种方法测量长度为50mm 的被测件，分别测得50.005mm ；50.003mm 。则 _______________测量精度高。 第二种方法 15. 用某电压表测量电压，电压表的示值为226V ，查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附近的误差为5V ，则被测电压的修正值为_______________ ，修正后的测量结果 _______________为。 －5V ，226+(－5V )=221V 16. 检定一只级、量程为100V 的电压表，发现在50V 处误差最大，其值为2V ，而其他刻度处的误差均小于2V ，问这只电压表是否合格_______________。 合格 17. 电工仪表的准确度等级按_____分级，计算公式为 ___ 答案：引用误差，引用误差=最大绝对误差/量程 18.二等活塞压力计测量压力值为，该测量点用高一等级的压力计测得值为 Pa ，则此二等活塞压力计在该测量点的测量误差为________。 答案： 桥梁模型试验与量测技术 1钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究2006ZB01 2自预应力钢管混凝土开发应用试验研究2006ZB02 3 GPS长距离高精度高程传递关键技术研究2006ZB03 4公路隧道松弛荷载预测理论与预警系统及设计方法研究 2006ZB04 5大跨径预应力混凝土桥梁主梁下挠原因分析及对策研究 2006ZB05 6 FRP在混凝土桥梁预应力体系和构件中的应用技术研究 2006ZB06 7钢筋砼肋拱桥现状评价与加固技术研究2006ZB07 8斜拉—悬索协作体系桥梁的研究 2006ZB08 9公路隧道建设中数字化技术应用研究2006ZB09 10混凝土桥梁耐久性设计方法和设计参数研究2006ZB10 11桥梁结构表面防护耐久性材料的研究2006ZB11 12跨江海大型桥梁结构混凝土裂化性能与耐久性对策措施的研究 2006ZB12 13高性能预拌式冷铺沥青混合料的研制和应用技术研究 2006ZB13 14沥青路面热反射与热阻技术应用研究2006ZB14 15基于弹粘性的沥青混合料设计分析体系研究2006ZB15 16 沿海港口深水航道选线及设计主要参数研究2006ZB16 课程内容： 《桥梁模型试验与量测技术》课教学实施计划表 课程特点：内容多、涉及面宽、比较难学。 学习方法：认真笔记、完成思考题 第一章误差分析与实验数据处理 研究误差的意义 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制得愈来愈小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。研究误差的意义为： ①正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 ②正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的效据。 ③正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 第一节误差的基本概念 一、真值、实验值、平均值、理论值、误差 真值：是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是可知的。 理论真值：例如：三角形三个内角之和为180o；一个整圆周角为360o。 规定真值：例如：1982年，国际计量局召开会议提出“米”的新定义为：1等于光在真空中1/299792458秒时间间隔内所经过的路径长度。 相对真值：为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测的量的实际值来代替真值，而实际值的定义是满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。例如在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为真值。 实验值：通过实验方法得到某个物理量的数值。 算术平均值：有限次观测值的平均值。 n x x n i ∑=1 理论值：通过理论公式计算得到某个物理量的数值。 误差及数据处理基础理论知识综述 2009-12-1 13:45:43 误差及数据处理基础理论知识综述 前言 由于各行各业有各自的误差理论及数据处理理论，但基础理论都是一致的，大同小异。现就在检验（测量）领域的误差理论及数据处理基础知识进行理论文字上的综述，尝试作一次理论上的探讨，与各位同仁共同学习和提高，如有不妥及错误之处请各位批评指正。 一、误差基础知识 在各种测量领域，我们经常使用一些术语，例如测量误差、测量准确度和测量不确定度等来表示测量结果质量的好坏。现我们从上述三个术语的定义出发，给出这些术语的基本概念，并指出它们之间的差别，以利于正确使用这些术语。 （一）测量结果 测量结果的定义是“由测量所得到的赋予被测量的值”，因此测量结果是通过测量得到的被测量的最佳估计值。由于任何测量都存在缺陷，因而通常测量结果并不等于真值。完整表述测量结果时，必须给出其测量不确定度，必要时还应说明测量所处条件，或影响量的取值范围。以便使用者可以正确地利用该测量结果。 测量结果可能是单次测量的结果，也可能是由多次测量所得。对于前者，测得值就是测量结果；若为多次测量所得，则测得值的算术平均值才是测量结果。因此在给出测量结果时，通常说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，同时还应表明它是否为几个值的平均。 测得值，有时也称为观测值，是指从一次观测中由测量仪器或量具的显示装置中所得到的单一值。一般地说，它并不是测量结果。测量结果是指对测得值经过恰当的处理（如按一定的规则确定并剔除测得值中的离群值）、修正（指必须加上由各种原因引起的必要的修正值或乘以必要的修正因子）或经过必要的计算而得到的最后提供给用户的量值。因此测得值或观测值是测量中得到的原始数据，是测量过程的一个中间环节。对于间接测量而言，测得值或观测值往往具有和被测量不同的量纲。而测量结果则是整个测量的最 一.填空题 1. ______(3S 或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。 23. 超出在规定条件下预期的误差称为_____(粗大)误差。 24. 0.1082+1648.0=_____（1648.1） 25. 1.7689+0.023568+300.12589=_____（301.9184） 26. 0.6893-0.023500+10.12=______（10.78 ） 27. 5.38、6.30、6.46.7.52的平均值是____(6.415) 28. pH=12.05的有效数字是____(2)位。 29. 1.327465保留三位有效数字，结果为____(1.327)。 30. 为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子称为______（修正因子）。 一、检定一只5mA 、3.0 级电流表的误差。按规定，要求所使用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器允许误差的1/3。现有下列3 只标准电流表，问选用哪一只最为合适，为什么? （本题10 分） （1）15mA 0.5 级（2）10mA 1.0 级（3）15mA 0.2 级 二、测量闸门时间T 与计数的脉冲数N ，则频率可按式T N f =求得，若已知N 、T 的相对误差T N ββ,，请给出频率f 的相对误差。（10分）误差理论与数据处理答案
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