北京丰华中学初一上学期数学 压轴题 期末复习试卷带答案
北京丰华中学初一上学期数学 压轴题 期末复习试卷带答案
一、压轴题
1.如图1,O 为直线AB 上一点,过点O 作射线OC ,∠AOC =30°,将一直角三角板(其中∠P =30°)的直角顶点放在点O 处,一边OQ 在射线OA 上,另一边OP 与OC 都在直线AB 的上方.将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. (1)如图2,经过t 秒后,OP 恰好平分∠BOC . ①求t 的值;
②此时OQ 是否平分∠AOC ?请说明理由;
(2)若在三角板转动的同时,射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC 平分∠POQ ?请说明理由;
(3)在(2)问的基础上,经过多少秒OC 平分∠POB ?(直接写出结果).
2.小刚运用本学期的知识,设计了一个数学探究活动.如图1,数轴上的点M ,N 所表示的数分别为0,12.将一枚棋子放置在点M 处,让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动(即棋子从点M 出发沿数轴向右运动,当运动到点N 处,随即沿数轴向左运动,当运动到点M 处,随即沿数轴向右运动,如此反复?).并且规定棋子按照如下的步骤运动:第1步,从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处;第2步,从点1Q 继续运动2t 单位长度至点
2Q 处;第3步,从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如:当3t =时,点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示.
解决如下问题:
(1)如果4t =,那么线段13Q Q =______;
(2)如果4t <,且点3Q 表示的数为3,那么t =______; (3)如果2t ≤,且线段242Q Q =,那么请你求出t 的值.
3.如图1,已知面积为12的长方形ABCD ,一边AB 在数轴上。点A 表示的数为—2,点B 表示的数为1,动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设
点P 运动时间为t (t>0)秒.
(1)长方形的边AD 长为 单位长度;
(2)当三角形ADP 面积为3时,求P 点在数轴上表示的数是多少;
(3)如图2,若动点Q 以每秒3个单位长度的速度,从点A 沿数轴向右匀速运动,与P 点出发时间相同。那么当三角形BDQ ,三角形BPC 两者面积之差为1
2
时,直接写出运动时间t 的值.
4.借助一副三角板,可以得到一些平面图形
(1)如图1,∠AOC = 度.由射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和是多少度?
(2)如图2,∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°,求∠2的度数;
(3)利用图3,反向延长射线OA 到M ,OE 平分∠BOM ,OF 平分∠COM ,请按题意补全图(3),并求出∠EOF 的度数.
5.东东在研究数学问题时遇到一个定义:将三个已经排好顺序数:x 1,x 2,x 3,称为数列x 1,x 2,x 3.计算|x 1|,
122
x x +,
123
3
x x x ++,将这三个数的最小值称为数列x 1,x 2,x 3的
最佳值.例如,对于数列2,-1,3,因为|2|=2,
()212
+-=
1
2,
()2133
+-+=43,所以数列2,-1,3的最佳值为
1
2
. 东东进一步发现:当改变这三个数的顺序时,所得到的数列都可以按照上述方法计算其相
应的最佳值.如数列-1,2,3的最佳值为
1
2
;数列3,-1,2的最佳值为1;….经过研究,东东发现,对于“2,-1,3”这三个数,按照不同的排列顺序得到的不同数列中,最佳
值的最小值为
1
2
.根据以上材料,回答下列问题: (1)数列
-4,-3,1的最佳值为
(2)将“-4,-3,2”这三个数按照不同的顺序排列,可得到若干个数列,这些数列的最佳值的最小值为 ,取得最佳值最小值的数列为 (写出一个即可);
(3)将2,-9,a (a >1)这三个数按照不同的顺序排列,可得到若干个数列.若这些数列的最佳值为1,求a 的值. 6.观察下列等式:111122=-?,1112323=-?,1113434
=-?,则以上三个等式两边分别相加得:
1111111131122334223344
++=-+-+-=???. ()1观察发现
()1n n 1=+______;()
1111122334n n 1+++?+=???+______.
()2拓展应用
有一个圆,第一次用一条直径将圆周分成两个半圆(如图1),在每个分点标上质数m ,记2个数的和为1a ;第二次再将两个半圆周都分成1
4
圆周(如图2),在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的
12,记4个数的和为2a ;第三次将四个14圆周分成1
8
圆周(如图3),在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的1
3,记8个数的和为3a ;第四次将八个
18圆周分成116圆周,在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的1
4,记16个数的和为4a ;??如此进行了n 次.
n a =①______(用含m 、n 的代数式表示); ②当n a 6188=时,求
123n
1111
a a a a +++??+的值.
7.结合数轴与绝对值的知识解决下列问题:
探究:数轴上表示4和1的两点之间的距离是____,表示-3和2两点之间的距离是____;
结论:一般地,数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于∣m-n ∣.
直接应用:表示数a 和2的两点之间的距离等于____,表示数a 和-4的两点之间的距离等于____; 灵活应用:
(1)如果∣a+1∣=3,那么a=____;
(2)若数轴上表示数a 的点位于-4与2之间,则∣a-2∣+∣a+4∣=_____; (3)若∣a-2∣+∣a+4∣=10,则a =______; 实际应用:
已知数轴上有A 、B 、C 三点,分别表示-24,-10,10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行,甲的速度为4个单位长度/秒,乙的速度为6个单位长度/秒.
(1)两只电子蚂蚁分别从A 、C 两点同时相向而行,求甲、乙数轴上相遇时的点表示的数。 (2)求运动几秒后甲到A 、B 、C 三点的距离和为40个单位长度?
8.如图,在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(2,8),点N 的坐标为(2,6),将线段MN 向右平移4个单位长度得到线段PQ (点P 和点Q 分别是点M 和点N 的对应点),连接MP 、NQ ,点K 是线段MP 的中点. (1)求点K 的坐标;
(2)若长方形PMNQ 以每秒1个单位长度的速度向正下方运动,(点A 、B 、C 、D 、E 分别是点M 、N 、Q 、P 、K 的对应点),当BC 与x 轴重合时停止运动,连接OA 、OE ,设运动时间为t 秒,请用含t 的式子表示三角形OAE 的面积S (不要求写出t 的取值范围); (3)在(2)的条件下,连接OB 、OD ,问是否存在某一时刻t ,使三角形OBD 的面积等于三角形OAE 的面积?若存在,请求出t 值;若不存在,请说明理由.
9.如图,数轴上有A , B 两点,分别表示的数为a ,b ,且()2
25350a b ++-=.点P
从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动,并持续在A ,B 两点间往返运动.在点P 出发的同时,点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动,当点Q 达到A 点时,点P ,Q 停止运动. (1)填空:a = ,b = ;
(2)求运动了多长时间后,点P ,Q 第一次相遇,以及相遇点所表示的数; (3)求当点P ,Q 停止运动时,点P 所在的位置表示的数;
(4)在整个运动过程中,点P和点Q一共相遇了几次.(直接写出答案)
10.我国著名数学家华罗庚曾经说过,“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图:
用含n的式子表示第n个图的钢管总数.
(分析思路)
图形规律中暗含数字规律,我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律.
如:要解决上面问题,我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)
(解决问题)
(1)如图,如果把每个图形按照它的行来分割观察,你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实,对同一个图形,我们的分析眼光可以是不同的.请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线,提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n的式子列式,并计算第n个图的钢管总数.
11.已知:A、O、B三点在同一条直线上,过O点作射线OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB 上,此时三角板旋转的角度为度;
(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中,当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时,时间t的值为(直接写结果).12.如图,数轴上有A、B两点,且AB=12,点P从B点出发沿数轴以3个单位长度/s的速度向左运动,到达A点后立即按原速折返,回到B点后点P停止运动,点M始终为线段BP的中点
(1)若AP=2时,PM=____;
(2)若点A表示的数是-5,点P运动3秒时,在数轴上有一点F满足FM=2PM,请求出点F 表示的数;
(3)若点P从B点出发时,点Q同时从A点出发沿数轴以2.5个单位长度/s的速度一直
..向右运动,当点Q的运动时间为多少时,满足QM=2PM.
13.问题一:如图1,已知A,C两点之间的距离为16 cm,甲,乙两点分别从相距3cm的A,B两点同时出发到C点,若甲的速度为8 cm/s,乙的速度为6 cm/s,设乙运动时间为
x(s),甲乙两点之间距离为y(cm).
(1)当甲追上乙时,x = .
(2)请用含x的代数式表示y.
当甲追上乙前,y= ;
当甲追上乙后,甲到达C之前,y= ;
当甲到达C之后,乙到达C之前,y= .
问题二:如图2,若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分,线段AB正好对应钟表上的弧AB(1小时的间隔),易知∠AOB=30°.
(1)分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm;时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm.
(2)若从4:00起计时,求几分钟后分针与时针第一次重合.
14.如图,在数轴上点A表示数a,点B表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a,b满足|a+2|+(b+3a)2=0.
(1)求A,B两点之间的距离;
(2)若在线段AB上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;
(3)若在原点O处放一个挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动,同时,另一个小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略小球的大小,可看做一个点)以原来的速度向相反的方向运动.
设运动时间为t秒.
①甲球到原点的距离为_____,乙球到原点的距离为_________;(用含t的代数式表示)
②求甲乙两小球到原点距离相等时经历的时间.
15.如图①,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=120°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置,使一边OM在∠BOC的内部,当OM平分∠BOC时,∠BO N= ;(直接写出结果)
(2)在(1)的条件下,作线段NO的延长线OP(如图③所示),试说明射线OP是
∠AOC的平分线;
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置,请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系.(直接写出结果,不须说明理由)
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一、压轴题
1.(1)①5;②OQ平分∠AOC,理由详见解析;(2)5秒或65秒时OC平分∠POQ;
(3)t=70
3
秒.
【解析】
【分析】
(1)①由∠AOC=30°得到∠BOC=150°,借助角平分线定义求出∠POC度数,根据角的和差关系求出∠COQ度数,再算出旋转角∠AOQ度数,最后除以旋转速度3即可求出t 值;②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可;
(2)根据旋转的速度和起始位置,可知∠AOQ=3t,∠AOC=30°+6t,根据角平分线定义可知∠COQ=45°,利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t;(3)先证明∠AOQ与∠POB互余,从而用t表示出∠POB=90°﹣3t,根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数;同时旋转后∠AOC=30°+6t,则根据互补关系表示出∠BOC度数,同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来.先后两个关于∠BOC的式子相等,构造方程求解.
【详解】
(1)①∵∠AOC=30°,
∴∠BOC=180°﹣30°=150°,
∵OP平分∠BOC,
∴∠COP=1
2
∠BOC=75°,
∴∠COQ=90°﹣75°=15°,
∴∠AOQ=∠AOC﹣∠COQ=30°﹣15°=15°, t=15÷3=5;
②是,理由如下:
∵∠COQ=15°,∠AOQ=15°,
∴OQ平分∠AOC;
(2)∵OC平分∠POQ,
∴∠COQ =
1
2
∠POQ =45°. 设∠AOQ =3t ,∠AOC =30°+6t ,
由∠AOC ﹣∠AOQ =45°,可得30+6t ﹣3t =45, 解得:t =5,
当30+6t ﹣3t =225,也符合条件, 解得:t =65,
∴5秒或65秒时,OC 平分∠POQ ; (3)设经过t 秒后OC 平分∠POB , ∵OC 平分∠POB , ∴∠BOC =
1
2
∠BOP , ∵∠AOQ +∠BOP =90°, ∴∠BOP =90°﹣3t ,
又∠BOC =180°﹣∠AOC =180°﹣30°﹣6t , ∴180﹣30﹣6t =
1
2
(90﹣3t ), 解得t =
703
. 【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用,根据角度的和差倍分关系,列出方程,是解题的关键. 2.(1)4;(2)12或72;(3)27或2213
或2 【解析】 【分析】
(1)根据题目得出棋子一共运动了t+2t+3t=6t 个单位长度,当t=4时,6t=24,为MN 长度的整的偶数倍,即棋子回到起点M 处,点3Q 与M 点重合,从而得出13Q Q 的长度.
(2)根据棋子的运动规律可得,到3Q 点时,棋子运动运动的总的单位长度为6t,,因为t<4,由(1)知道,棋子运动的总长度为3或12+9=21,从而得出t 的值.
(3)若t 2,≤则棋子运动的总长度10t 20≤,可知棋子或从M 点未运动到N 点或从N 点返回运动到2Q 的左边或从N 点返回运动到2Q 的右边三种情况可使242Q Q = 【详解】
解:(1)∵t+2t+3t=6t, ∴当t=4时,6t=24, ∵24122=?, ∴点3Q 与M 点重合, ∴134Q Q =
(2)由已知条件得出:6t=3或6t=21,
解得:1t 2=或7t 2
= (3)情况一:3t+4t=2,
解得:2t 7=
情况二:点4Q 在点2Q 右边时:3t+4t+2=2(12-3t) 解得:22t 13
=
情况三:点4Q 在点2Q 左边时:3t+4t-2=2(12-3t) 解得:t=2.
综上所述:t 的值为,2或27或2213
. 【点睛】
本题是一道探索动点的运动规律的题目,考查了学生数形结合的能力,探索规律的能力,用一元一次方程解决问题的能力.最后要注意分多种情况讨论. 3.(1)4;(2)-3.5或-0.5;(3)t 的值为1116、1316、138或118
. 【解析】 【分析】
(1)先求出AB 的长,由长方形ABCD 的面积为12,即可求出AD 的长;
(2)由三角形ADP 面积为3,求出AP 的长,然后分两种情况讨论:①点P 在点A 的左边;②点P 在点A 的右边.
(3) 分两种情况讨论:①若Q 在B 的左边,则BQ = 3-3t .由|S △BDQ -S △BPC |=1
2
,解方程即可;②若Q 在B 的右边,则BQ = 3t -3.由|S △BDQ -S △BPC |=1
2
,解方程即可. 【详解】
(1)AB =1-(-2)=3.
∵长方形ABCD 的面积为12,∴AB ×AD =12,∴AD =12÷3=4. 故答案为:4.
(2)三角形ADP 面积为:12AP ?AD =1
2
AP ×4=3, 解得:AP =1.5,
点P 在点A 的左边:-2-1.5=-3.5,P 点在数轴上表示-3.5; 点P 在点A 的右边:-2+1.5=-0.5,P 点在数轴上表示-0.5. 综上所述:P 点在数轴上表示-3.5或-0.5.
(3)分两种情况讨论:①若Q 在B 的左边,则BQ =AB -AQ =3-3t . S △BDQ =
12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -,S △BPC =12BP ?AD =1
42
t ?=2t ,
1(66)22
t t --=,680.5t -=±,解得:t =1316或11
16;
②若Q 在B 的右边,则BQ =AQ -AB =3t -3.
S △BDQ =12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -,S △BPC =12BP ?AD =1
42
t ?=2t ,
1(66)22
t t --=,460.5t -=±,解得:t =138或118.
综上所述:t 的值为1116、1316、138或11
8
.
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式. 4.(1)75°,150°;(2)15°;(3)15°. 【解析】 【分析】
(1)根据三角板的特殊性角的度数,求出∠AOC 即可,把∠AOC 、∠BOC 、∠AOB 相加即可求出射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和; (2)依题意设∠2=x ,列等式,解方程求出即可;
(3)依据题意求出∠BOM ,∠COM ,再根据角平分线的性质得出∠MOE ,∠MOF ,即可求出∠EOF . 【详解】
解:(1)∵∠BOC =30°,∠AOB =45°, ∴∠AOC =75°,
∴∠AOC +∠BOC +∠AOB =150°;
答:由射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和是150°; 故答案为:75;
(2)设∠2=x ,则∠1=3x +30°, ∵∠1+∠2=90°, ∴x +3x +30°=90°, ∴x =15°, ∴∠2=15°, 答:∠2的度数是15°;
(3)如图所示,∵∠BOM =180°﹣45°=135°,∠COM =180°﹣15°=165°, ∵OE 为∠BOM 的平分线,OF 为∠COM 的平分线,
∴∠MOF =
12∠COM =82.5°,∠MOE =1
2
∠MOB =67.5°, ∴∠EOF =∠MOF ﹣∠MOE =15°.
【点睛】
本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用,熟记概念是解题的关键.
5.(1)3;(2)1
2
;-3,2,-4或2,-3,-4.(3)a=11或4或10.
【解析】
【分析】
(1)根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可;
(2)按照三个数不同的顺序排列算出最佳值,由计算可以看出,要求得这些数列的最佳值的最小值;只有当前两个数的和的绝对值最小,最小只能为|?3+2|=1,由此得出答案即可;
(3)分情况算出对应的数值,建立方程求得a的数值即可.
【详解】
(1)因为|?4|=4,-4-3
2
=3.5,
-4-31
2
+
=3,
所以数列?4,?3,1的最佳值为3.故答案为:3;
(2)对于数列?4,?3,2,因为|?4|=4,
43
2
--
=
7
2
,
432
||
2
--+
=
5
2
,
所以数列?4,?3,2的最佳值为5
2
;
对于数列?4,2,?3,因为|?4|=4,||
4
2
2
-+
=1,
432
||
2
--+
=
5
2
,
所以数列?4,2,?3的最佳值为1;
对于数列2,?4,?3,因为|2|=2,2
2
4
-
=1,
432
||
2
--+
=
5
2
,
所以数列2,?4,?3的最佳值为1;
对于数列2,?3,?4,因为|2|=2,2
2
3
-
=
1
2
,
432
||
2
--+
=
5
2
,
所以数列2,?3,?4的最佳值为1 2
∴数列的最佳值的最小值为2
2
3
-
=
1
2
,
数列可以为:?3,2,?4或2,?3,?4. 故答案为:1
2
,?3,2,?4或2,?3,?4. (3)当
22
a +=1,则a =0或?4,不合题意;
当
92
a -+=1,则a =11或7;
当a =7时,数列为?9,7,2,因为|?9|=9,
972
-+=1,
972
2
-++=0,
所以数列2,?3,?4的最佳值为0,不符合题意; 当
972
a
-++=1,则a =4或10.
∴a =11或4或10. 【点睛】
此题考查数字的变化规律,理解新定义运算的方法是解决问题的关键. 6.(1)11n n 1-+,n n 1+(2)①()()n 1n 2m 3
++②75364 【解析】 【分析】
()1观察发现:先根据题中所给出的列子进行猜想,写出猜想结果即可;根据第一空中的
猜想计算出结果;
()2①由16a 2m m 3
==,212a 4m m 3
==,320a m 3
=,430a 10m m 3
==,找规律可
得结论;
②由
()()n 1n 2m 22713173
++=????知
()()m n 1n 22237131775152++=?????=??,据此可得m 7=,n 50=,再进一
步求解可得. 【详解】
()1观察发现:
()111n n 1n n 1
=-++;
()1111122334n n 1+++?+???+, 1111111122334n n 1
=-+-+-+?+-+,
1
1n 1
=-+, n 11
n 1
+-=
+, n
n 1
=
+; 故答案为
11n n 1-+,n n 1
+. ()2拓展应用
16a 2m m 3①==,212a 4m m 3==,320a m 3=,430
a 10m m 3==,
??
()()n n 1n 2a m 3
++∴=
,
故答案为
()()n 1n 2m.3++
()()n
n 1n 2a m 61883
②
++==,且m 为质数,
对6188分解质因数可知61882271317=????,
()()n 1n 2m 22713173
++∴=????,
()()m n 1n 22237131775152∴++=?????=??,
m 7∴=,n 50=,
()()n 7
a n 1n 23∴=++,
()()
n 131a 7n 1n 2=?++, 123n
1111a a a a ∴
+++?+ ()()3333
6m 12m 20m n 1n 2m =
+++?+++ ()()3111
72334n 1n 2??=++?+????++????
31131172n 27252????
=
-=- ? ?+????
75364
=
.
本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是掌握并熟练运用所得规律:
()111
n n 1n n 1
=-++.
7.探究:3;5;直接应用:∣a-2∣,∣a+4∣;灵活应用(1)2或-4;(2)6;(3)-6或4;实际应用:(1)甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是-10.4;(2)运动2秒或5秒后甲到A 、B 、C 三点的距离和为40个单位长度. 【解析】 【分析】
利用数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义、行程问题的基本数量关系,以及数轴直观解决问题即可. 【详解】
探究:4-1=3;2-(-3)=5. 直接应用:∣a -2∣,∣a +4∣; 灵活应用:
(1)a +1=±3,a =3-1=2或a =-3-1=-4,∴a =2或-4;
(2)∵数轴上表示数a 的点位于-4与2之间,∴a -2<0,a +4>0,∴原式=2-a +a +4=6; (3)由(2)可知,a <-4或a >2.分两种情况讨论: ①当a <-4时,方程变为:2-a -(a +4)=10,解得:a =-6; ②当a >2时,方程变为:a -2+(a +4)=10,解得:a =4; 综上所述:a 的值为-6或4. 实际应用:
(1)设x 秒后甲与乙相遇,则: 4x +6x =34
解得:x =3.4,4×3.4=13.6,﹣24+13.6=﹣10.4. 故甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是﹣10.4;
(2)设y 秒后甲到A ,B ,C 三点的距离之和为40个单位,B 点距A ,C 两点的距离为14+20=34<40,A 点距B 、C 两点的距离为14+34=48>40,C 点距A 、B 的距离为34+20=54>40,故甲应为于AB 或BC 之间.
①AB 之间时:4y +(14﹣4y )+(14﹣4y +20)=40 解得:y =2;
②BC 之间时:4y +(4y ﹣14)+(34﹣4y )=40 解得:y =5.
答:运动2秒或5秒后甲到A 、B 、C 三点的距离和为40个单位长度. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解. 8.(1)(4,8)(2)S △OAE =8﹣t (3)2秒或6秒 【解析】
(1)根据M和N的坐标和平移的性质可知:MN∥y轴∥PQ,根据K是PM的中点可得K 的坐标;
(2)根据三角形面积公式可得三角形OAE的面积S;
(3)存在两种情况:
①如图2,当点B在OD上方时
②如图3,当点B在OD上方时,
过点B作BG⊥x轴于G,过D作DH⊥x轴于H,分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论.
【详解】
(1)由题意得:PM=4,
∵K是PM的中点,
∴MK=2,
∵点M的坐标为(2,8),点N的坐标为(2,6),
∴MN∥y轴,
∴K(4,8);
(2)如图1所示,延长DA交y轴于F,
则OF⊥AE,F(0,8﹣t),
∴OF=8﹣t,
∴S△OAE=1
2
OF?AE=
1
2
(8﹣t)×2=8﹣t;
(3)存在,有两种情况:,
①如图2,当点B在OD上方时,
过点B作BG⊥x轴于G,过D作DH⊥x轴于H,则B(2,6﹣t),D(6,0),∴OG=2,GH=4,BG=6﹣t,DH=8﹣t,OH=6,
S△OBD=S△OBG+S四边形DBGH+S△ODH,
=1
2OG?BG+
1
2
(BG+DH)?GH﹣1
2
OH?DH,
=1
2×2(6-t)+
1
2
×4(6﹣t+8﹣t)﹣
1
2
×6(8﹣t),
=10﹣2t,
∵S△OBD=S△OAE,
∴10﹣2t=8﹣t,
t=2;
②如图3,当点B在OD上方时,
过点B作BG⊥x轴于G,过D作DH⊥x轴于H,
则B(2,6﹣t),D(6,8﹣t),
∴OG=2,GH=4,BG=6﹣t,DH=8﹣t,OH=6,S△OBD=S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG,
=1
2OH?DH﹣
1
2
(BG+DH)?GH﹣1
2
OG?BG,
=1
2×2(8-t)﹣
1
2
×4(6﹣t+8﹣t)﹣
1
2
×2(6﹣t),
=2t﹣10,
∵S△OBD=S△OAE,
∴2t﹣10=8﹣t,
t=6;
综上,t的值是2秒或6秒.
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识,解题关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
9.(1)25
,35(2)运动时间为4秒,相遇点表示的数字为27 ;(3)5;(4) 一共相遇了7次.
【解析】
【分析】
(1)根据0+0式的定义即可解题;(2)设运动时间为x 秒,表示出P ,Q 的运动路程,利用路程和等于AB 长即可解题;(3)根据点Q 达到A 点时,点P ,Q 停止运动求出运动时间即可解题;(4)根据第三问点P 运动了6个来回后,又运动了30个单位长度即可解题. 【详解】
解:(1)25- ,35 (2)设运动时间为x 秒
13x 2x 2535+=+ 解得 x 4=
352427-?=
答:运动时间为4秒,相遇点表示的数字为27
(3)运动总时间:60÷2=30(秒),13×30÷60=6…30即点P 运动了6个来回后,又运动了30个单位长度, ∵25305-+=,
∴点P 所在的位置表示的数为5 .
(4)由(3)得:点P 运动了6个来回后,又运动了30个单位长度, ∴点P 和点Q 一共相遇了6+1=7次. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.
10.(1)3456;45678S S =+++=++++ ;(2) 方法不唯一,见解析;(3)方法不唯一,见解析 【解析】 【分析】
先找出前几项的钢管数,在推出第n 项的钢管数. 【详解】
(1)3456;45678S S =+++=++++ (2)方法不唯一,例如:
12S =+ 1233S =+++ 123444S =+++++ 12345555S =+++++++ (3)方法不唯一,例如: ()()12.....2S n n n n =++++++
()()
()()
=.....12.. (1)
112n n n n n n n n +++++++
=+++ ()3
12
n n =
+ 【点睛】
此题主要考察代数式的规律探索及求和,需要仔细分析找到规律. 11.(1)90°;(2)30°;(3)12秒或48秒. 【解析】 【分析】
(1)依据图形可知旋转角=∠NOB ,从而可得到问题的答案; (2)先求得∠AOC 的度数,然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-∠AON ,∠AOM=90°-∠AON ,然后求得∠AOM 与∠NOC 的差即可;
(3)可分为当OM 为∠BOC 的平分线和当OM 的反向延长为∠BOC 的平分线两种情况,然后再求得旋转的角度,最后,依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可. 【详解】
(1)由旋转的定义可知:旋转角=∠NOB =90°. 故答案为:90°
(2)∠AOM ﹣∠NOC =30°.
理由:∵∠AOC :∠BOC =1:2,∠AOC +∠BOC =180°, ∴∠AOC =60°. ∴∠NOC =60°﹣∠AON . ∵∠NOM =90°, ∴∠AOM =90°﹣∠AON ,
∴∠AOM ﹣∠NOC =(90°﹣∠AON )﹣(60°﹣∠AON )=30°. (3)如图1所示:当OM 为∠BOC 的平分线时,
∵OM 为∠BOC 的平分线, ∴∠BOM =∠BOC =60°, ∴t =60°÷5°=12秒.
如图2所示:当OM 的反向延长为∠BOC 的平分线时,
∵ON 为为∠BOC 的平分线, ∴∠BON =60°.
∴旋转的角度=60°+180°=240°. ∴t =240°÷5°=48秒. 故答案为:12秒或48秒. 【点睛】
本题主要考查的是三角形的综合应用,解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算,求得三角板旋转的角度是解题的关键. 12.(1)5 ;(2)点F 表示的数是11.5或者-6.5;(3)12
7
t =或6t =. 【解析】 【分析】
(1)由AP=2可知PB=12-2=10,再由点M 是PB 中点可知PM 长度;
(2)点P 运动3秒是9个单位长度,M 为PB 的中点,则可求解出点M 表示的数是2.5,再由FM=2PM 可求解出FM=9,此时点F 可能在M 点左侧,也可能在其右侧;
(3)设Q 运动的时间为t 秒,由题可知t=4秒时,点P 到达点A ,再经过4秒点P 停止运动;则分04t ≤≤和48t <≤两种情况分别计算,由题可知即可QM=2PM=BP ,据此进行解答即可. 【详解】 (1)5 ;
(2)∵点A 表示的数是5- ∴点B 表示的数是7
∵点P 运动3秒是9个单位长度,M 为PB 的中点
∴PM=
1
2PB=4.5,即点M 表示的数是2.5 ∵FM=2PM ∴FM=9
∴点F 表示的数是11.5或者-6.5 (3)设Q 运动的时间为t 秒,
当04t ≤≤时,由题可知QM=2PM=BP ,故点Q 位于点P 左侧,
则AB=AQ+QP+PB ,而QP=QM-PM=2PM-PM=
12BP ,则可得12=2.5t+1
2
?3t+3t=7t ,解得