函数解析式及奇偶性

一对一授课教案

学员姓名： 年级： 所授科目：

一、求函数解析式 3.1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴???=+=342b ab a ∴??????=-===321

2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 3.2配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式

解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x

x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 3.3换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

3.4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则?????=+'-=+'32

22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2

把???-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g

3.5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f

解 x x

f x f =-)1

(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成

x 1，得：x

x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x x x f 323)(--= 例设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又1

1)()(-=+x x g x f ① ，

用x -替换x 得：11)()(+-

=-+-x x g x f 即1

1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得 11)(2-=x x f ， x x x g -=21)( 3.6赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f

解 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f

再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f

3.7递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过

迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

分别令①式中的1,21x n =- 得：

(2)(1)2,

(3)(2)3,()(1),

f f f f f n f n n -=-=--=

将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，

2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2

121)(2

四、函数的单调性

一、主要方法：

1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，

函数的单调区间是定义域的子集；

○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）；○

4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）； ○

5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。 2.判断函数的单调性的方法有：

()1定义；()2已知函数的单调性；()3函数的导数；()4如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数；()5图像法；()6复合函数的单调性结论：“同增异减”； ()7奇函数在对称的单调区间内单调性相同，偶函数在对称的单调区间内单调性相反；()8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(9)在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数；()10函

数)0,0(>>+=b a x b ax y 在,??-∞+∞ ? ???

或上单调递增；在

0???? ?? ???

或上是单调递减。 3.证明函数单调性的方法：利用单调性定义

3.1、典型例题

例1、求下列函数的单调区间：

（1）y

例2、若函数()y f x =在R 上单调递增，2()()f m f m >-，求m 的取值范围

例3、函数()()2212-+-+=a x a x x f 在(]3,∞-上是减函数，求a 的取值范围。 例4、函数()()14322-+-+-=a x a x x f 在[)+∞,1上是减函数，求a 的取值范围。 例5、函数()b ax x x f +-=2在()1,∞-上是减函数,在()+∞,1上是增函数，求a 例6、函数()()1132++-=x m mx x f 在[-1,2]上是增函数,求m 的取值范围。

例7、已知函数2

1)(++=

x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，试求a 的取值范围

五、函数的奇偶性

5.1、主要知识及方法

（一）主要知识： 1．函数的奇偶性的定义；

2．奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；

（2）偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；

3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ?=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．

（二）主要方法：

1、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑()x f 与()x f -的关系。

2、牢记奇偶函数的图像特征，有助于判断函数的奇偶性；

3、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()

f x f x =±-． 4．设()f x ，()

g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇．

5.2、例题讲解

例1、已知函数()1,21

x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。

例4、判断下列各函数的奇偶性：

（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x x f x x x

x ?+?? 例5、设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．

（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．

例6、（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，

则()f x 的解析式为 ．

（2）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，

且12||||x x <，则（ ）

A .12()()f x f x ->-

B .12()()f x f x -<-

C .12()()f x f x ->-

D . 12()()f x f x -<- 例7、 已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈ 时，

2()2f x x x =-，

（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．

5.3函数的奇偶性

（1）、奇函数：1、定义域关于原点对称

2、f (x )+f (－x )=0

3、图像关于原点对称

（2）、常见的奇函数：

1、kx y =

2、x k y =

3、)(为奇数n kx y n =

4、x y sin =

5、x y tan =

6、x x a a y --=

（3）、偶函数：1、定义域关于原点对称

2、f (x )=f (－x )

3、图像关于y 轴对称

（4）、常见的偶函数：

1、)(为偶数n kx y n =

2、x y cos =

3、x x a a y -+=

4、x y ln =

5、一般为偶次幂、含有绝对值的函数（具体情况看题目）

（5）、奇偶函数的运算

奇+奇=奇 奇X 奇=偶

偶+偶=偶 偶X 偶=偶

奇+偶=非奇非偶函数 奇X 偶=奇

（6）、练习

1、已知函数2()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，且2)0(-=f ，

则=-)2(f .

六、抽象函数的对称性

性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)

七、函数的周期性

若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x ＋a)＝f(x －a) ②f(x ＋a)＝－f(x)

③f(x ＋a)＝1/f(x) ④f(x ＋a)＝－1/f(x)

作业：

1、已知3)(,12)(2

+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 2、已知：221)1(x

x x x f +=+，求)(x f 。 3、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。

4、已知：)0(,31)(2≠=???

??+x x x f x f ，求)(x f 。

5、已知1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f