时间序列的指数平滑预测技术

时间序列的指数平滑预测

技术

Prepared on 22 November 2020

第五章 时间序列的指数平滑预测技术

本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。

常用模型的指数平滑法

5.1.1基本公式与预测方程

利用时间序列前t 期的观察值x 1 , x 2 ,…, x t 预测第t ＋1期的值x t ＋1时，设赋予第i 期的权重为w t ＋1－I (i=1,2…t), w 1>w 2 >… >w t ,计算诸观察值的加权平均：

并取第t+1期预测值为 这就是所谓加权平均法。加权平均法的缺点：

(1)权重不易确定

(2)要记忆的数据太多

(3)计算较繁权重不易确定

自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，即第t 期，第t-1期…的权重依次为

由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于1。我们使这一条件当t 趋近∞时成立，即使得

各期权重依次为

上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据多和计算繁两个缺点。为此，我们考虑t 充分大时的情形，这时得到:

将滞后一期拿出：

得到即:

上式称为指数平滑法的基本公式，这个公式是用递推公式给出的，α叫做平滑常数，0 <α<1，其值可由预测者任意指定。T t 称为T 的(实际上也是t

...t ...t t t x x x W ωωωωωω+++++-+=

211

121t

t W x ?=+1)

10,0,...(,,2<<>βααβαβα1

2=+++...αβαβα +-+-+=--221)1()1(t t t t x x x T ααααα...

t t t t x )(x )(x T +-+-+=----32

21111αααααt

t

t x T T αα=---1

)1(1

)1(--+=t t t T x T αα

x 的)第t 期的指数平滑值。指数平滑法的预测方程是：即把第t 期的指数平

滑值作为第t+1期的预测值。指数平滑法的基本做法用公式的形式表述出来

就是：

新的估计值=平滑常数×利用当前期资料的估计值+(1－平滑常数) ×只利用历史资料的估

计值

指数平滑法优点：既继承加权平均法重视近期数据的思想，又能克服

以上三个缺点。

例5-1 某经济变量前5期的观察值是5，6，4，6，3 取,2.0=α T 1=5进行预测。

利用公式（5-5）和（5-6）逐期计算： 解题过程：

把计算结果列入下表中：

5.1.2平滑常数对预测结果的影响

α越小，对数据的平滑能力越强，但对数据变化的敏感性越差，α

越大，对数据的平滑能力越差，但对数据变化的敏感性越强。

例5-2 时间序列前10期的观察值由表中t

x 列给出，试分别以905010.,.,.=α为平滑常数进行预测，取初值T 1=5。

经计算，把各预测值都列入表中。

αt

t t x ?)(x x ?αα-+=+11t

t T x ?=+196

4 964258042012

5 2558062015

54233312221.x ?....T )(x T .x ?...T )(x T x ?T ==?+?=-+===?+?=-+===αααα

5.1.3基本公式的显式形式

反复利用公式(5-5),可以得到

5.1.4初值对预测值的影响及其选择

初值只是对前若干期的预测值产生较大影响，随着t的增大，它对预测值的影响越来越小。

例5-3时间序列前12期的观察值如表中t x列所示。取,2.0

α试分别用

=

初值T1=2, T1=7进行预测。

我们对初值的选取提出以下建议：

(1)如果只有一期数据，没有任何其它任何信息，不妨取T1=x1。

(2)如果已有若干期数据了，可以取T 1为前几期数据的平均值。如果数据很多，可以用前一半数据的平均值取初值，用后一半数据平滑。

(3)如果在应用指数平滑法预测之前，已用其它方法作过预测，可把用其它方法得到的第1期的预测值作为指数平滑法的初值。

(4)对初值的选取，也可以采用专家估计的办法。(5)用逆平滑法取初值。所谓逆平滑法就是：先选定一个初值T 1，用指数平滑法逐期平滑，直到数据的最后一期；然后再用所得预测值作为初值，由后向前逐期平滑，直到第1期。用这时所得的预测值作为真正预测时正式的初值。

(5)如果数据不多，对α的选取信心不足，可以采取观望态度，也就是说，前几期预测结果暂时不要用于决策，等看到预测值可以相信的迹象时再用。

(6)如对初值的选取把握不大，开始时可选取较大的α 以减轻预测值对初值的依赖；过一段时间后，再把α的值降下来。 5.1.5基本公式的误差校正形式

下面公式称为指数平滑法的误差校正式。

或写成:

习题：

1. 下列时间序列中，哪些适合于用简单指数平滑法预测

(1) 100 110 105 103 95 97 98 100 103 105; (2) 15 16 18 23 22 28 29 35 33 38;

(3) 100 95 80 93 75 60 59 62 55 54;(4) 100 150 100 150 100 150 100 150 100 150.

2. 用简单指数平滑法对下面的时间序列进行预测，取α=，T 1=x 1，并计算MSE

3.

t

t

t

t t t t t t e T T e T T e x T ααααα+=-++=-++=----1

11

1

)1()( )1()?(

4.对第1题(1)中的时间序列，取初值T 1=100，分别用=和 作简单指数平滑预测，并在同一直角坐标系中把实际观察值和两种预测值都画出来，分别以折线连结。这两条预测线中，哪一个波动较小，哪一个对数据变化更加敏感本节需要注意的问题：本节讲的指数平滑法只适合常数模型，为了和以后要讲的其它模型的指数平滑法相区别，本节讲的常数模型的指数平滑法为简单指数平滑法。

线性模型的指数平滑法

本节所要研究的是线性模型，即

这里，t 表示当前期，T t 表示第t 期(当前期)的趋势值。

b=T t －T t-1称为趋势增量，它表示每过一个时期趋势值的增加量。5.2.1霍尔特指数平滑法

(1)基本公式与方程

预测方程:

其中各符号的意义: ：

t 当前期 ：τ预测超前期数(或称预测步长) ：

， 1 -t t T T 利用第t 期或前1-t 期数据对第t 期或第1-t 期趋势的估计。 ：

，1-t t b b 利用前t 期或前1-t 期数据对趋势增量b 的估计 ：t x 第t 期的实际观察值 ：

τ+t x ?利用前t 期数据对τ+t 期的预测值 ：

，βα平滑常数10<<βα， 利用公式(5-14)和(5-15)计算时,除两个平滑常数外需先指定两个初值1T 和。

1b 例5-4 时间序列前4期的观察值为2，4，3，6取α=，β=,T 1=2, b 1=7，用霍尔特方法对第2期-第4期作步长τ=1的追溯预测，并对第5期至第7期分别作步长的预测。

反复利用公式(5-14)-(5-16),得

)( )( )( 乘法模式或加法模式T t t t T t t t R b T x R b T x +++++=++=ττττ

15)-(5 )1()( 14)-(5 )()1(1111-----+-=+-+=t t t t t t t t b T T b b T x T ββαα0.02

00.95 2)-(2.40501)( 2.4

0)(20.840.2)(12

02 0 21122112211211=?+?=-+-==+?+?=+-+==+=+===.b )(T T b b T )(x T b T x ?b T ββαα

详细结果列于表中，为了对第5期—第7期作预测，

例5-5 我国1978-1987年间各年的棉布产量如表5-5中t x 所示(单位:亿米),试预测1988年的产量。

画出散点图（图5-4）。从图中看出，这些点大致分布在一条直线的附近。取α=，β=。

(3)误差校正式

上式是由公式(5-16)得出下一步预测误差。

公式(5-19)(5-20)便是霍尔特法的误差校正式。5.2.2布朗二次指数平滑法

1、基本公式与预测方程

20)

-(5 )(1)(15)-(5 19)-(5 )

)((1)( 14)-(5 ? 1

1

1

1

1

11111111

1

1

1

1

1

1

1

t t

t

t

t t

t t t t t t

t t t t t t t

t

t t

t

t t

t t t t

t t t t t e b b T e b T b e b T b T b T e b T b T e b T T e b T x b T x x x e αββαβαααααααα+=-+-++=++=--++++=+-+++=++=--=-=--------------------中此式代入公式再将中，

将此式代入故

布朗二次指数平滑法就是为了弥补这种缺陷的一种方法.所谓二次指数平滑法,就是对一次指数平滑后的序列再作一次指数平滑,使序列反映出线性趋势,建立线性方程进行预测的方法。 2、误差校正式

5.2.3布朗适应性平滑法

例5-7

对2，4，3，6四个数据，用布朗适应性平滑法，取r=,T 1=2,b 1=0.

利用公式逐期计算

详细结果见表。

5.2.4各种方法间的关系

1、 应性平滑法与二次指数平滑法的等价性

2、应性平滑法与二次指数平滑法都是霍尔特指数平滑法的特殊情形

比例模型的指数平滑法

5.3.1缪尔指数平滑法

例5-8时间序列前5期的观察值为：,,,,

试用缪尔指数平滑法预测第6期和第7期的值。取α=，β=,T 1=, r 1=1。利用公式逐期计算：

6

04242020382 20.0220100e 2.3820.1902e 2

02 0 23332t )1122)111211211322..x ?x e ...b T x ?.b b b T T b T x ?b T r (r (=-+-==+=+=?+=+==?++=+==+=+====--+

2422000912420000119502

224

2050 2.24

12.20.82.42012

2122 1 2222r )11

2

11221

21131

2

1

...r T x ?......r )(x T ..T x ?r .T (r r =?==?+?

=+==??+?=-+==?=====-βT T β

T αα

详细结果见表。

这里,1β=较小，数据个数又太少。 5.3.2线性化

目前，缪尔指数平滑法应用还不十分普遍，因为比例模型（乘法模式）可以通过简单的变换转化为线性模型，然后利用线性模型的预测方法预测。

例5-10利用例5-9中的数据，采用比例模型，再线性化，预测我国1988年客运总量。

首先把10个原始数据分别取对数，得出t t Inx x ='的10个观察值。用霍尔特方法。取α=，β=。初值用与上例类似的办法选取（即用公式（5-18），k=5）:

详细计算见表。,.x ?

75121311=故1988年我国客运总量预测值为93772175121311==.e x ?（万人）。

MSE=×109 MAPE=%