最经典总结-二次函数与幂函数

二次函数与幂函数

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[知识梳理]

1．幂函数

(1)幂函数的定义

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)五种幂函数的图象

(3)五种幂函数的性质

2．二次函数

(1)二次函数的图象和性质

(2)二次函数表达式的三种形式 ①一般式： y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) .

②顶点式： y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))．

③两根式：y ＝ a (x －x 1)(x －x 2) (其中a ≠0，x 1、x 2是二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标)．

[知识感悟]

1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

3．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2

2

对称．

(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

4．与二次函数有关的不等式恒成立的两个条件

(1)ax 2＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是????

?

a ＞0，

b 2－4a

c ＜0.

(2)ax 2

＋bx ＋c ＜0，a ≠0恒成立的充要条件是?

????

a ＜0，

b 2－4a

c ＜0.

5．会用两种数学思想

(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．

(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．

[知识自测]

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 1

2

是幂函数．( )

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当n ＜0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是

4ac －b 2

4a

.( ) (5)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立的充要条件是

?

????

a ＞0，

b 2－4a

c ＜0.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×

2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )

[解析] 由a ＋b ＋c ＝0和a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，

由c ＜0，排除A ，B ，又a ＞0，排除C. [答案] D

3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为 ________ .

[解析] 由????

?

m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0

，解得m ＝1或2.

经检验m ＝1或2都适合． [答案] 1或2

题型一 幂函数的图象与性质(基础保分题，自主练透)

(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则

幂函数y ＝f (x )的图象是( )

(2)(2018·江西临川模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝ ________ .

(3)(2018·安庆三模)若(a ＋1)－13＜(3－2a )－1

3，则实数a 的取值范围是 ________ .

[解析] (1)∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，∴f (x )＝x 1

2

.

(2)由题意知：m 2－2m －3＜0，∴(m －3)(m ＋1)＜0，∴－1＜m ＜3，∵m ∈N *，m ＝1时不符题意，∴m ＝0,2.

(3)不等式(a ＋1)－13＜(3－2a )－1

3等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0

＜3－2a .

解得a ＜－1或23＜a ＜3

2

.

[答案] (1)C (2)0,2 (3)(－∞，－1)∪????

23，32

方法感悟

幂函数y ＝x α的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查： 1．α的正负：α＞0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α＜0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”；

2．曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时曲线下凹，0＜α＜1时曲线上凸，α＜0时曲线下凹；

3．函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．

【针对补偿】

1．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )

A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －

1

B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －

1

C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －

1

D ．①y ＝x 13，②y ＝x 13

，③y ＝x 2，④y ＝x －

1

[解析] 图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D ，图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.

[答案] B

2．(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝251

3，则( )

A ．b ＜a ＜c

B ．a ＜b ＜c

C ．b ＜c ＜a

D ．c ＜a ＜b

[解析] 因为a ＝243＝423＞425＝b ，c ＝2513＝523＞42

3＝a ，所以b ＜a ＜c ，故选A.

[答案] A

3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )

A ．－3

B ．1

C ．2

D ．1或2

[解析] 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.

[答案] B

题型二 求二次函数的解析式(重点保分题，共同探讨)

已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－

1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

[解] 法一：(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由题意得???

??

4a ＋2b ＋c ＝－1，

a －

b ＋

c ＝－1，

4ac －b 2

4a ＝8，

解得????

?

a ＝－4，

b ＝4，

c ＝7.

∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)：

设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝1

2.

∴m ＝1

2.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.

∴y ＝f (x )＝a ????x －1

22＋8. ∵f (2)＝－1，

∴a ????2－1

22＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4????x －1

22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)：

由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.

又函数有最大值y max ＝8， 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.

解得a ＝－4或a ＝0(舍)．

∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

方法感悟

求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：

【针对补偿】

4．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．

[解] 因为二次函数图象的对称轴为x ＝－2， 所以可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . 因为二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， 所以f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，

所以?????

4a ＋b ＝0，

2a ＋b ＝－1，解得??

???

a ＝1

2，b ＝－2.

所以f (x )＝12(x ＋2)2－2＝1

2

x 2＋2x －1.

题型三 二次函数的图象与性质(高频考点题，多角突破) 考向一 二次函数的图象与识别

1．(2018·黄岛月考)两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )

[解析] 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－

b

2a 与－a

2b

同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足．

[答案] D

考向二 二次函数的单调性问题

2．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ________ . [解析] ∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，

∴f (x )＝?

????

x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.

又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴???

－a

2

≤2，a

2≤0，

解得－4≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－4,0]．

[答案] [－4,0]

考向三 二次函数的最值

3．已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.

(2)当a ＞0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上 且对称轴为x ＝1

a

.

①当0＜1

a ≤1，即a ≥1时，

f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]内，

∴f (x )在????0，1a 上单调递减，在????1

a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝f ????1a ＝1a －2a ＝－1

a

. ②当1

a ＞1，即0＜a ＜1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]的右侧，

∴f (x )在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.

(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下 且对称轴x ＝1

a ＜0，在y 轴的左侧，

∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.

综上所述，f (x )min ＝????

?

a －2，a ＜1，－1a ，a ≥1.

考向四 二次函数中恒成立问题

4．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ________ .

[解析] f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，

要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1,1]上恒成立，

只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1＞0，得m ＜－1. [答案] m <－1

考向五 二次函数的零点问题

5．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；

(2)若12＜t ＜3

4，求证：函数f (x )在区间(－1,0)及????0，12上各有一个零点． [证明] (1)∵f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ， ∴f (x )＝1?(x ＋2t )(x －1)＝0，(*)

∴x ＝1是方程(*)的根，即f (1)＝1.

因此x ＝1是f (x )＝1的实根，即f (x )＝1必有实根． (2)当12＜t ＜3

4时，f (－1)＝3－4t ＞0，

f (0)＝1－2t ＝2????12－t ＜0，

f ????12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t ＞0. 又函数f (x )的图象连续不间断．

因此f (x )在区间(－1,0)及???

?0，1

2上各有一个零点． 方法感悟

1．识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．

2．而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．

3．当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况．

求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 【针对补偿】

5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )

[解析] (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.

∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b

2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)

＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－

b

2a

＜0，B 错误．

[答案] D

6．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是 ________ .

[解析] 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有

????? f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即?????

m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，

解得－2

2＜m ＜0.

[答案] ???

?－2

2，0

7．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．

[解] 2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；

当x ≠0时，a ＜32????1x －132－16，因为1

x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜1

2

.综上，实数a 的取值范围是????－∞，12. ◆牛刀小试·成功靠岸◆

课堂达标(九)

[A 基础巩固练]

1．(2018·吉林东北二模)已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( )

A ．f (－2)＞f (1)

B ．f (－2)＜f (1)

C ．f (2)＝f (1)

D ．f (－2)＞f (－1)

[解析] 由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，

即f (x )＝x －

2，则有f (－2)＝f (2)＝14

，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)＜f (1)．

[答案] B

2．幂函数y ＝xm 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[解析] ∵y ＝xm 2－4m (m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m ＜0，即0＜m ＜4， 又∵函数的图象关于y 轴对称，且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2. [答案] C

3．设函数f (x )＝x 2－23x ＋60，g (x )＝f (x )＋|f (x )|，则g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝( ) A ．56 B ．112 C ．0

D ．38

[解析] 由二次函数图象的性质得，当3≤x ≤20时，f (x )＋|f (x )|＝0，∴g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝g (1)＋g (2)＝112.

[答案] B

4．已知函数f (x )＝x 1

2，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式中正确的是( )

A ．f (a )＜f (b )＜f ????1a ＜f ????

1b B ．f ????1a ＜f ????1b ＜f (b )＜f (a ) C ．f (a )＜f (b )＜f ????1b ＜f ????1a D ．f ????1a ＜f (a )＜f ???

?1b ＜f (b )

[解析] 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0＜a ＜b ＜1b ＜1

a ，故f (a )＜f (

b )＜

f ????1b ＜f ????

1a .

[答案] C

5．(2018·吉林松原调研)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)＞0

D ．f (m ＋1)＜0

[解析] ∵f (x )的对称轴为x ＝－1

2，f (0)＝a ＞0，

∴f (x )的大致图象如图所示． 由f (m )＜0，得－1＜m ＜0， ∴m ＋1＞0， ∴f (m ＋1)＞f (0)＞0. [答案] C

6．(2018·安徽皖北片高三第一次联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( )

A ．2

B ．－1或－3

C ．2或－3

D ．－1或2

[解析] 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 的对称轴为x ＝a ，图象开口向下， ①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]是减函数， ∴f max (x )＝f (0)＝1－a ， 由1－a ＝2，得a ＝－1，

②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]是增函数，在[a,1]上是减函

数，

∴f max (x )＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1， 由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－5

2，

∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足；

③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]是增函数， ∴f max (x )＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.故选：D. [答案] D

7．当0＜x ＜1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2

的大小关系是 ________ .

[解析] 如图所示为函数f (x )，g (x )，

h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )＞g (x )＞f (x )． [答案] h (x )＞g (x )＞f (x )

8．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是 ________ .

[解析] 由题意可得?

????

5－a ＞0，

36－4(5－a )(a ＋5)＜0，

解得－4＜a ＜4. [答案] (－4,4)

9．(2018·长沙模拟)若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为????－25

4，－4，则m 的取值范围是______．

[解析] 函数f (x )图象的对称轴为x ＝32，且f ????32＝－25

4

，f (3)＝f (0)＝－4，由二次函数的

图象知m 的取值范围为????

32，3.

[答案] ????

32，3

10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；

(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数，

故????? f (3)＝5，f (2)＝2?????? 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2??????

a ＝1

b ＝0.

当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数，

故?????

f (3)＝2，f (2)＝5??????

9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5??????

a ＝－1，

b ＝3.

(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.

∴m ≤2或m ≥6.

故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．

[B 能力提升练]

1．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝?

??

??

g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )＜g (x )，则F (x )的最值情况为

( )

A ．最大值为3，最小值为－1

B ．最大值为7－27，无最小值

C ．最大值为3，无最小值

D ．既无最大值，又无最小值 [解析] 作出F (x )的图象

，如图实线部分．由图象知F (x )有最大值无最小值，且最大值不是3. [答案] B

2．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )

A ．－3＜m ＜0

B ．0＜m ＜3

C ．m ＜－3或m ＞0

D ．m ＜0或m ＞3

[解析] 由题意知

???

Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)＞0， ①

x 1

＋x 2＝4m m ＋3

＜0， ②

x 1

·x 2

＝2m

－1

m ＋3<0，③

由①②③得－3＜m ＜0，故选A. [答案] A

3．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ________ .

[解析] f (x )＝?

????

x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)，

x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝????x －a 22＋a －a 2

4

，x ∈(－∞，1)时，

f (x )＝x 2＋ax －a ＝

????x ＋a 22－a －a 2

4

.

①当a

2＞1，即a ＞2时，f (x )在????1，a 2上单调递减， 在????a 2，＋∞上单调递增，不合题意；

②当0≤a

2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；

③当a

2＜0，即a ＜0时，不符合题意，

综上，a 的取值范围是[0,2]． [答案] [0,2]

4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ________ .

[解析] 由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同

的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈????－94，－2，故当m ∈????－9

4，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．

[答案] ????－9

4，－2 5．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性．

(2)若1

3≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，

求g (a )的表达式．

(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥1

2.

[解] (1)当a ＝0时，

函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；

当a ＞0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，

对称轴为x ＝1

a ，所以函数f (x )在????－∞，1a 上为减函数，在????1a ，＋∞上为增函数； 当a ＜0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1

a ，所以函数f (x )在????－∞，1a 上为增函数，在???

?1

a ，＋∞上为减函数． (2)因为f (x )＝a ????x －1a 2＋1－1a ， 由13≤a ≤1得1≤1

a ≤3， 所以N (a )＝f ????1a ＝1－1a . 当1≤1a ＜2，即1

2＜a ≤1时，

M (a )＝f (3)＝9a －5， 故g (a )＝9a ＋1

a

－6；

当2≤1a ≤3，即13≤a ≤1

2时，M (a )＝f (1)＝a －1，

故g (a )＝a ＋1a

－2.

所以g (a )＝???

a ＋1

a

－2，a ∈????13，12，9a ＋1a －6，a ∈???

?12，1.

(3)证明：当a ∈????13，12时g ′(a )＝1－1

a 2<0， 所以函数g (x )在????

13，12上为减函数； 当a ∈????12，1时，g ′(a )＝9－1

a 2＞0， 所以函数g (a )在????

12，1上为增函数， 所以当a ＝1

2时，g (a )取最小值，

g (a )min ＝g ????12＝12.故g (a )≥1

2.

[C 尖子生专练]

(2018·浙江瑞安四校联考)已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|. (1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；