(完整版)分布列概念

1. 分布列定义：

设离散型随机变量

所有可能取得的值为

x i ,x 2,…3X …x 若

取每一个值x i (i=1,2, , -n)

的概率为P( x i ) P i ，则称表

为随机变量

的概率分布，简称 的分布列 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性

质：

(1) P i > 0,i=1,2 …，n ; (2) P i +P 2+n+P n =1

要点四、两类特殊的分布列

1. 两点分布

随机变量X 的分布列是

像上面这样的分布列称为两点分布列.

要点诠释：

(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1)为成功率. (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)

两点分布列的应用十分广泛 ，如抽取的彩票是否中奖；

买回的一

件产品是否为正品；

新生

婴儿的性别；

投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究

2. 超几何分布

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，则则事件{X=k }

n N,M N,n, M,N N ?

称分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列， 则称随机变量 X 服 从超几何分布

1. 定义

设A 、B 为两个事件，且P(A) 0，在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概 率叫做条件概率。用符号 P(B | A) 表示。

发生的概率为P(X

k)

k n k

C M C N M

C N

,k 0,1,2,L ,m ,其中

min{ M , n},且

P(B| A)读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释

在条件概率的定义中，事件A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加

条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的. 而这里所说的条

件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.

2 . P ( A | B)、P (AB)、P (B)的区别

P (A | B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P (AB)是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P ( B)是事件B发生的概率，无附加条件.

它们的联系是：P(A| B) P(AB).

P(B)

要点诠释

一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Q为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Q的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B 发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A='取得蓝球” B='取得玻璃球”。基本

事件空间Q包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故P(A) 11。

16

如果已知取得玻璃球的条件下取得蓝球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条

件概率，那么在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为玻璃球的总数”即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B发生的条件下事件A包含的样本点数为蓝玻璃球数，

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故P(A| B)

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要点二、条件概率的公式

1 ?计算事件B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率，常有以下两种方式:

① 利用定义计算.

先分别计算概率P(AB )及 P ( B ),然后借助于条件概率公式P(A |B)需求解.

② 利用缩小样本空间的观点计算.

在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件 B,原来的事件A 缩小为事件AB ，

典概型中的条件概率求解. 要点诠释

概率P(B|A)与P(AB)的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。 区别：

① 在P(B|A)中，事件A, B 发生有时间上的差异，事件A 先发生事件B 后发生；在P(AB) 中，事件A ，B 同时发生；

② 基本事件空间不同在

P(B|A)中，事件A 成为基本事件空间；在 P(AB)中，基本

事件空

间仍为原基本事件空间。

2 ?条件概率公式的变形.

公式P(A|B) P(AB)揭示了 P ( B )、P (A | B )、P (AB )的关系，常常用于知二求 P(B) 一，即要熟练应用它的变形公式如，若 P ( B )> 0,贝U P (AB ) =P ( B ) P (A | B )，该式

称为概率的乘法公式. 要点诠释

条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质?如： ① 任何事件的条件概率取值在

0到1之间；

② 必然事件的条件概率为 1，不可能事件的条件概率为 0 ; ③ 条件概率也有加法公式：

P ( B U C | A ) =P ( B | A ) +P (C | A ),

其中B 和C 是两个互斥事件. 要点三、相互独立事件

1. 定义：

事件A (或B )是否发生对事件 B (或A )发生的概率没有影响，即P(B | A) P(B), 这样的两个事件叫做相互独立事件。

若A 与B 是相互独立事件，则 A 与B , A 与B , A 与B 也相互独立。

从而P(A| B)

AB 包含的基本事件数 B 包含的基本事件数

，即:P(B| A)

n ^AB)

，此法常应用于古

n(A)

2 .相互独立事件同时发生的概率公式：

对于事件A和事件B，用A B表示事件A、B同时发生。

(1 )若A与B是相互独立事件，则P(A B) P(A) P(B)；

(2)若事件A,, A2丄,A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，

即: P(A A2 L A n) P(A) P(A2)L P(A n)。

要点诠释

(1)P( AB)=P( A)P( B)使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积.

(2)两个事件A、B相互独立事件的充要条件是P(A B) P( A) P(B)。

3 .相互独立事件与互斥事件的比较

互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一

个事件发生的概率没有影响。

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发

生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的。

4.几种事件的概率公式的比较

已知两个事件A, B，它们发生的概率为P (A), P ( B),将A, B中至少有一个发生记为事

件A+B ,都发生记为事件A B,都不发生记为事件A B，恰有一个发生记为事件A B A B , 至多有一个发生记为事件A B A B A B，则它们的概率间的关系如下表所示：

1. 定义

如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中，事件A恰好发

生k 次的概率为：

P n(k) C；k p k(1 p)n k(k=0, 1, 2，…，n).

令k 0得，在n 次独立重复试验中，事件A 没．有．发．生．的．概．率．为．

0 0 n n

P n (0) C n0p0(1 p)n (1 p)n

令k n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P n(n) C n n p n(1 p)0 p n。

要点诠释：

1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在

n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n, p, k的意义，才能正确地

运用公式

2. 独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便

要点三、n 次独立重复试验常见实例：

1. 反复抛掷一枚均匀硬币

2. 已知产品率的抽样

3. 有放回的抽样

4. 射手射击目标命中率已知的若干次射击

要点诠释：

抽样问题中的独立重复试验模型：

①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；

②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；

③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小,相当于是独立事件,所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。

要点四、离散型随机变量的二项分布

1. 定义：

在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量?如果在一次试验中事件A发生的概率是p，则此事

件不发生的概率为q 1 p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是

k k nk

P n( k) P n(k) C n k p k q n k,( k 0,1 ,2,..., n )