九年级数学上册二次函数知识点汇总
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结:
2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结:
3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k
总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
二次函数知识点大全
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3 二次函数知识点整理: 1.二次函数的图象特征与a ,b ,c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 (1)字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小;决定二次函数有最大值或最小值. a >0时开口向上,函数有最小值; a <0时开口向下,函数有最大值; a 相同,抛物线形状相同,可通过平移、对称相互得到; a 越大,开口越小. (2)字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 (a ≠0,b=0), 对称轴为y 轴; ab >0(a 与b 同号),对称轴在y 轴左侧; ab <0(a 与b 异号),对称轴在y 轴右侧. (3)字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0, 抛物线经过原点; c >0,抛物线与y 轴正半轴相交; c <0,抛物线与y 轴负半轴相交. (4)ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0,抛物线与x 轴有唯一交点(顶点); ac b 42->0抛物线与x 轴有两个不同的交点; ac b 42-<0抛物线与x 轴无交点. 2.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到,具体平移方法如 下: 【注意】 二次函数图象间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. 3.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件,根据不同条件选不同的设法 (1)设一般式:c bx ax y ++=2 (a ,b ,c 为常数、a ≠0) 若已知条件是图象上的三点,将已知条件代入所设一般式,求出a,b,c 的值 (2)设顶点式:()k h x a y +-=2 (a,h,k 为常数,a ≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),将已知条件代入所设顶点式,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式. (3)设两点式:()()21x x x x a y --=(a ≠0,a 、1x 、2x 为常数) 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ,将第三点(m,n ) 的坐标(其中m ,n 为已知数)或其他已知条件代入所设交点式,求出待定系数a ,最后将解析式化为一般形式. 4. 二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 (1)二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)中,当y=0时,就变成了一元二次方程02=++c bx ax (2)一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. (3)二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. (4)在它俩的关系中,判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△>0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△<0 5.二次函数应用 包括两方面 (1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系; (2)用二次函数解决最大化问题即最值问题. 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点一:二次函数的定义 1.二次函数的定义: 一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数.2y ax bx c =++a b c ,,0a ≠其中是二次项系数,是一次项系数,是常数项. a b c 知识点二:二次函数的图象与性质抛物线的三要素:开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+(1)二次函数基本形式的图象与性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 2y ax = (2)的图象与性质:上加下减 2y ax c =+ (3)的图象与性质:左加右减 ()2 y a x h =- (4)二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 (1)当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为. 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值 .y 2 44ac b a - (2)当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为. 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值 .y 2 44ac b a - 4. 二次函数常见方法指导 (1)二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线) 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,与y 轴的交点,顶点.(2)二次函数图象的平移平移步骤: ①将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;()2 y a x h k =-+()h k ,② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下: 2 ax 【【【(h <0)【【【 【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 平移规律:概括成八个字“左加右减,上加下减”.(3)用待定系数法求二次函数的解析式①一般式:.已知图象上三点或三对、 的值,通常选择一般式. ②顶点式:.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. ③交点式: .已知图象与轴的交点坐标 、 ,通常选择交点式. (4)求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法:,∴顶点是,对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=),(a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h ),对称轴是直线. k h x = 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是 ][ A.6 m B.8m C. 10 m m.12 D 2,若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下,滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s):4s,则此人下降的高度为坡底的时间为][ A.72 m 36 .m BC.36 m m.18D2 +50x-500,则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装,若这种童装每天获利y(元获得最大利润,销售单价为][ A.25元 B.20元 C.30元 元40D.7.中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好从2.4米高(球门距横梁底侧高)入2 +bx+c所示,则下列结论正确的是网.若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a00;④③;;①a<② 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:(上加下减) 3. ()2 y a x h =-的性质:(左加右减) 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0初三数学二次函数知识点总结
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