甘肃省学业水平测试题

.

永昌县第一高级中学数学学业水平测试卷

一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-

, 则A

B 等于（ ）

A .{}1

B. {}1,0,2-

C. {}1

,0,1,2- D. ?

2. cos120?

的值是（ ） A . -

B. 12-

C. 1

2

D. 3. 不等式2

230x x --<的解集是（ ） A . ()3,1- B.

()1,3- C. ()

(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞

4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为（ ）

A . 8 B. 2 C. 1

2

- D. 2-

5. 函数sin 2y x =是（ ）

A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 9

7. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤??

--≤??+-≥?

则2x y +的最大值为（ ）

A . 1 B. 5

3

C. 2

D. 3

8. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图

是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为（ ）

A .

B.

C.

D. 9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列结论中正确的是 （ ） A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D. ()+⊥a b b 10. 已知函数()1f x =

, 则对任意实数12x x 、

,且1202x x <<<, 都有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分）

11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .

12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公

司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0x

y a

a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则

12

m n

+的最小值为 . 15．已知α，β∈????3π4，π，sin(α＋β)＝－3

5

，sin ????β－π4＝1213，则cos ????α＋π4＝_______. 三、解答题：

16. （6分）编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录

如下:

()()1221x f x x f x <()()1122

x f x x f x >()()-⊥+a b a b ()()

1221x f x x f x >()

100mx ny mn +-=>正视图 侧视图

俯视图

()()1122x f x x f x

<

.

（1）完成如下的频率分布表:

（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求

这2人得分之和大于25的概率.

17．（8分）在△ABC 中，角A 、B 、

C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1

3,2,cos 3

a b A ===． （1）求sin B 的值；（2）求c 的值.

18．（8分）如图2，在三棱锥

P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ． （1

）在线段AB 上是否存在点E , 使得//DE 平面PAC ？ 若存在, 指出点E 的位置, 并加以证明；若不存在, （2）求证：PA BC ⊥.

19. （8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12

111n n T S S S =+++

，求证：34

n T <.

20. （10分）已知

1

13

a ≤≤, 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,

令()()()g a M a N a =-.

（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.

.

附加题（10分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2. （1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求 的取值范围.

高中数学学业水平测试复习题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1,2??

+∞

???

12. ()1,2,3-- 13. 72 14.

3+三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:

………4分 (2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,

{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分

“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,

{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分

所以()8

0.810

P B =

=. 答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分

16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．

（1）解：∵0A π<<，1

cos 3

A =

，

∴sin A == ………2分 由正弦定理得：

sin sin a b

A B

=

， ………4分

∴2sin 3sin 39

b A

B a

?

=

==. ………6分 （2）解：∵13,2,cos 3

a b A ===

， ∴222123

b c a bc +-=. ………8分

12

1

d d -

.

∴

222231

223

c c +-=?， 解得3c =. ………12分

17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力

和运算求解能力．满分14分．

（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//DE 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//DE 平面PAC :

取线段AB 的中点E , 连接DE ， (3)

∵点D 是线段PB 的中点，

∴DE 是△PAB 的中位线. ………4 ∴//DE PA . ………6 ∵PA ?平面PAC ，DE ?平面PAC ，

∴//DE 平面PAC . (8)

（2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,

∴2

2

2

AB BC AC =+.

∴AC BC ⊥. ………10分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，BC ?平面ABC ，

∴BC ⊥平面PAC . ………12分

∵PA ?平面PAC ，

∴PA BC ⊥. ………14分

18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论

证能力．满分14分．

（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵ 1310a a +=, 424S =,

∴112210,

43

424.2

a d a d +=??

??+=?? ………2分 解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+?-=+. ………6分 （2）证明：由（1）得()()

()1321222n n n a a n n S n n +++=

==+， ………8分 ∴ 12

111

n n

T S S S =

+++ ()

1111

132435

2n n =

++++

???+

=

1111111

1111232435112n n n n ????????????-+-+-++-+- ? ? ? ? ???-++????????????

………10分 111112212n n ??=

+-- ?++??

=

31114212n n ??-+ ?++??

………12分 3

4

<

. ………14分 19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．

(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l 的距离d =

=.

………2分

.

∵ MN =2,

∴

2=. ………3分 ∴

2=. ………4分

解得r = ………5分 ∴ 所求的圆C 的方程为()()2

2

123x y -+-=. ………6分 (2) 解:∵圆C ：()()2

2123x y -+-=的圆心()1,2C

,半径r =

∴1d AB

==

=

=

………8分 又点(

),0A t 到直线l 的距离2

d =

=

. ………9分

∴12

1

d d -

()

2

11

t t -+=

=

-.

………10分

m =，则1t -= ………11分

∵1t ≠，∴1m >.

∴

12

1

d d -2

21

m =-11m m -=+2

11

m =-+. ………12分 ∵1m >, ∴12m +>.

∴2

011

m <<+. ∴2

0111

m <-

<+. ………13分 ∴0<

2

211

m -

+< ∴

12

1

d d -的取值范围是(. ………14分 20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论

的数学思想方法．满分14分．

(1) 解: ()2

2f x ax x =-2

11a x a a ?

?=-- ??

?. ………1分

∵

1

13a ≤≤, ∴1

13a ≤≤.

① 当112a ≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()f x 取得最大值; 1

x a

=时, 函数

()f x 取得最小值.

∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ??==-

???

. ∴ ()()()g a M a N a =-=1

96a a

+

-. ………3分 ② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1

x a

=时, 函数

()f x 取得最小值.

∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ??==- ?

??

. ∴ ()()()g a M a N a =-=1

2a a

+

-. ………5分 综上，得()g a =1112,,32

1196, 1.2a a a a a a ?+-≤

………6分

.

（2）解：任取1211,,32a a ??∈????

，且12a a <，

()()12121211

22g a g a a a a a ????-=+

--+- ? ?????

()()121212

1a a a a a a --=. ………7分

∵1211,,32a a ??

∈????

，且12a a <， ∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<. ∴

()()

121212

10a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.

∴()()12g a g a >. ∴函数()g a 在11,

32??

????

上单调递减. ………8分 任取341,,12a a ??

∈????，且34a a <， ()()34343411

9696g a g a a a a a ????-=+

--+- ? ??

??? ()()

343434

91a a a a a a --=

. ………9分

∵341,,12a a ??

∈????，且34a a <，

∴3434340,0,910a a a a a a -<>->. ∴

()()

343434

910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.

∴()()34g a g a <.

∴函数()g a 在1,12??????

上单调递增. ………10分

当12a =

时,()g a 取得最小值,其值为12g ??= ???1

2

, ………11分 又13g ??=

???

4

3

, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为1,42?????

?

. ………12分

∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，

∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分 ∴实数t 的取值范围为1,42

??????

. ………14分