考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α
,α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( )
(A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2
11
211x x ~)cos (-是α2阶无穷小,由题意可知?????>>121
α
α
所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是
(A )x x y sin += (B )x x y sin +=2
(C )x
x y 1sin
+= (D )x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=,可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y =
应该选(C )
3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( )
(A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹
的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当0≥'')(x f 时,曲线是凹的,从而010==≤)()()(F F x F ,即0≤-=)()()(x g x f x F ,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )
4.曲线???++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是( )
(A)
5010(B)100
10 (C)1010 (D)105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3
21)'("y y K +=
,曲率半径K
R 1
=
. 本题中422+==t dt dy t dt dx ,,所以t t t dx dy 21242+=+=,3222
122t
t t dx y d -=-
=,
对应于1=t 的点处13-==",'y y ,所以10
10113
2=
+=)'("y y K ,曲率半径10101
==
K
R . 应该选(C )
5.设函数x x f arctan )(=,若)(')(ξxf x f =,则=→2
2
x x ξlim
( )
(A)1 (B)
32 (C)21 (D)3
1 【详解】注意(1)2
11x
x f +=
)(',(2))(arctan ,33
310x o x x x x +-=→时. 由于)(')(ξxf x f =.所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ,2
2
)(arctan arctan x x x -=ξ,
31313
33
20
2
2
=+-
-=-=→→→x x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim
)(arctan tan lim
lim
ξ
. 6.设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足
02≠???y x u
及0222
2=??+??y
u
x u ,则( ). (A )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上; (B )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部;
(C )),(y x u 的最大值点在区域D 的内部,最小值点在区域D 的边界上;
(D )),(y x u 的最小值点在区域D 的内部,最大值点在区域D 的边界上.
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值.并且如果在
内部存在驻点),(00y x ,也就是0=??=??y u
x u ,在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ???=???=??=??=222222,,,由条件,显然02
<-B AC ,显然),(y x u 不是极值点,当然也不是最值点,所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上.
所以应该选(A ).
7.行列式
d
c d c b
a b a
00
00000等于 (A )2
)(bc ad - (B )2
)(bc ad -- (C )2222c b d a - (D )2
222c b d a +-
【详解】
200000000
00000000)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d
b a a d
c d c b
a b a --=+-=+-=
应该选(B ).
8.设321ααα,, 是三维向量,则对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
(A )必要而非充分条件 (B )充分而非必要条件 (C )充分必要条件 (D ) 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关,则
(31ααk +,32ααl +)K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???
?
? ??=,对任意的常数l k ,,矩阵K 的秩都等
于2,所以向量31ααk +,32ααl +一定线性无关.
而当???
?
?
??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时,对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关,但
321ααα,,线性相关;故选择(A ).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
9.
?
∞
-=++12
5
21
dx x x . 【详解】
?
?∞
-∞-∞-=??? ??--=+=++=++11122832421212
141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x . 10.设)(x f 为周期为4的可导奇函数,且[]2012,),()('∈-=x x x f ,则=)(7f . 【详解】当[]20,∈x 时,C x x dx x x f +-=-=
?
2122)()(,由00=)(f 可知0=C ,即
x x x f 22-=)(;)(x f 为周期为4奇函数,故1117==-=)()()(f f f .
11.设),(y x z z =是由方程47
22=
+++z y x e
yz
确定的函数,则=??
? ??2121,|dz .
【详解】设4722-+++=z y x e
z y x F yz
),,(,1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,,
当2
1
==y x 时,0=z ,
21-=-=??z x F F x z ,21
-=-=??z y F F y z ,所以=??
? ??2121,|dz dy dx 2121--.
12.曲线L 的极坐标方程为θ=r ,则L 在点???
?
?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 . 【详解】先把曲线方程化为参数方程??
?====θ
θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ,于是在2πθ=处,20π
==y x ,,
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ,则L 在点??
?
??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ,即
.2
2
π
π
+
-
=x y
13.一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上,若其线密度122
++-=x x x )(ρ,则该细棒的质心坐标
=x .
【详解】质心坐标20
1135
1211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ. 14.设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1,则a 的取值范围
是 .
【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1,故必须要求042
≥-a ,所以a 的取值范围是[]22,-.
三、解答题
15.(本题满分10分)
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--?+∞
→.
【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限. 【详解】
21
12111111122212
1
1
22
1
1
2
=??? ??-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→??x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16.(本题满分10分)
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
,且02=)(y ,求)(x y 的极大值和极小值. 【详解】
解:把方程化为标准形式得到2211x dx
dy
y -=+)
(,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分可得方程通解为:
C x x y y +-=+333131,由02=)(y 得3
2=C , 即
3
2
313133+-=+x x y y . 令01122=+-=y x dx dy ,得1±=x ,且可知3
22
2222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=; 当1=x 时,可解得1=y ,01<-="y ,函数取得极大值1=y ; 当1-=x 时,可解得0=y ,02>="y ,函数取得极小值0=y . 17.(本题满分10分)
设平面区域{
}
00412
2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(.计算??
++D
dxdy y
x y x x )
sin(22π
【详解】由对称性可得
4
3
211212121202
2
2
22222-
==+=+++=++=++??????
????D D
D D
dr r r d dxd y x dxdy
y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()
sin()()sin()sin(
18.(本题满分10分)
设函数)(u f 具有二阶连续导数,)cos (y e f z x
=满足x
x e y e z y
z x z 22
2224)cos (+=??+??.若0000==)(',)(f f ,求)(u f 的表达式.
【详解】
设y e u x
cos =,则)cos ()(y e f u f z x
==,
y e u f y e u f x
z e u f x
z
x
x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222
2; y e u f y e u f y
z y e u f y z x
x x cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222; x x x e y e f e u f y
z
x z 22222
2)cos (")("==??+?? 由条件x x e y e z y
z
x z 22
2224)cos (+=??+??, 可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.
对应齐次方程的通解为:
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数.
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-
=*. 故非齐次方程通解为u e C e
C u f u u
4
1
2221-+=-)(.
将初始条件0000==)(',)(f f 代入,可得16
116121-==
C C ,.
所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(. 19.(本题满分10分)
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续,且)(x f 单调增加,10≤≤)(x g ,证明: (1) []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤?
0;
(2)
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(.
【详解】
(1)证明:因为10≤≤)(x g ,所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤???
10.
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
?
0.
(2)令?
?
?-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(,
则可知0=)(a F ,且??
? ?
?+-=?
x
a
dt t g a f x g x g x f x F )()()()()(',
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
?
0且)(x f 单调增加,
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a =-+≤??
? ??+?.从而
0=-≥??
? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a , []
b a x ,∈ 也是)(x F 在[]b a ,单调增加,则0=≥)()(a F b F ,即得到
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(.
20.(本题满分11分) 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ,定义函数列 )()(x f x f =1,))(()(x f f x f 12=,ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =,直线01==y x ,所围图形的面积.求极限n n nS ∞
→lim .
【详解】
x x
x
x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(,Λ,)(x x x f 313+=, 利用数学归纳法可得.)(nx
x
x f n +=
1
))
ln(()()(n
n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==??
?11111111101
01
,
111=??
?
??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim . 21.(本题满分11分) 已知函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
,且y y y y y f ln )()(),(--+=212,求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积. 【详解】
由于函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
,所以)(),(x C y y y x f ++=22,其中)(x C 为待定的连续函数. 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212
,从而可知y y y C ln )()(--=21, 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=21222
2
.
令0=),(y x f ,可得x x y ln )()(-=+212
.且当1-=y 时,2121==x x ,. 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为
πππ)ln (ln )()(4
5
222121212-=-=+=??dx x x dx y V
22.(本题满分11分)
设???
?
? ??---=3021111
04321A ,E 为三阶单位矩阵. (1) 求方程组0=AX 的一个基础解系; (2) 求满足E AB =的所有矩阵.
【详解】(1)对系数矩阵A 进行初等行变换如下:
????
? ??--→????? ??----→????? ??----→????? ??---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ,
得到方程组0=AX 同解方程组
???
??==-=43
424
132x
x x x x x
得到0=AX 的一个基础解系????
??? ??-=13211ξ.
(2)显然B 矩阵是一个34?矩阵,设????
??
?
??=44
4
333222
111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下:
???
?
?
??-------→????? ??------→???
?
?
??-----→????? ??---=14131
001312010162100114131000101110001
43211011
3
4
001011
1
0001
432
1100302101011100014321)(AE
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
??????? ??-+?
?????
? ??--=??????? ??1321011214321c x x x x ,??????? ??-+??????? ??--=??????? ??1321043624321c y y y y ,??
??
???
??-+??????? ??-=??????? ??1321011134321c z z z z , 即满足E AB =的所有矩阵为
????
??
?
?
?++-+-++-+-----=32
132
1321321
313431212321162c c c
c c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数. 23.(本题满分11分)
证明n 阶矩阵???????
??111111111ΛM M M Λ
Λ
与??
??
?
??
??n 00
200100ΛM M M ΛΛ
相似. 【详解】证明:设=A ???????
?
?111111111ΛM M M Λ
Λ
,=B ??
??
?
?
?
?
?n 00200100ΛM M M ΛΛ
. 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:
11
1
1
111111
--=---------=
-n n A E λλλλλλ)(Λ
M M M ΛΛ,
所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,;
而且A 是实对称矩阵,所以一定可以对角化.且??????
?
?
?00Λ
λ~A ; 10020
10--=---=
-n n n
B E λλλλλ
λ)(Λ
M M M ΛΛ
所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,;
对于1-n 重特征值0=λ,由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1,所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关,进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量,即矩阵B 一定可以对
角化,且???????
?
?00Λ
λ~B 从而可知n 阶矩阵???????
?
?111111111ΛM M M Λ
Λ
与??
??
?
?
?
??n 00
200100
ΛM M M ΛΛ
相似.