一元二次方程思维导图+资料

1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2

≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义

3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。

重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程

难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2

= n （n ≥0）形式 二、知识准备

1、 请说出完全平方公式。

（a ＋b ）2 = （a -b ）2

=

2、 用直接开平方法解下例方程：

（1） （2）134)5(2

=+-x （1）16442

=+-x x （2）

13425102=++-x x

三、学习过程

问题1、请你思考方程5)3(2

=+x 与0462

=++x x 有什么关系，如何解方程

0462=++x x 呢？

问题2、能否将方程0462

=++x x 转化为（n m x =+2

)的形式呢？

由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2

= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

（1）2

x －4x ＋3＝0. （2）x 2

＋3x －1 = 0

四、知识梳理

问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

达标检测一

1、填空：

（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2； (5)x 2+px+ =(x+ )2；

2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；

3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。

1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57

2、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=4

6

的形式，则q 的值为（ ） A.46

B.425

C. 419

D. -4

19 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）

A.9

B.7

C.2

D.-2 4、、用配方法解下列方程：

（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；

5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-

23的值不小于-4

15。

1、用配方法解下列方程：

(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； 2、请你思考方程x 2-2

5

x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？

三、学习内容

问题1、如何解方程2x 2-5x+2=0？ 01832

=++x x -01432

=++x x

四、知识梳理

问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？ 问题2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程 1、填空：

(1)x 2-3

1

x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2. 2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。 3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .

4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）

A.2x 2-4x+4=3+4

B. 2x 2-4x+4=-3+4

C.x 2-2x+1=

23+1 D. x 2-2x+1=-2

3+1 5、用配方法解下列方程：

（1）04722

=--t t ； （2）x x 6132

=-

1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）

A.x 2+2x-99=0化为(x+1)2=100

B.t 2-7t-4=0化为(t-

27)2=465 C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x 2-4x-2=0化为(x-32)2=9

10

2、a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2

2、用配方法解下列方程：

(1)2x 2+1=3x ； (2)3y 2-y-2=0； 3、试用配方法证明：2x 2-x+3的值不小于

8

23

. 4、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.

一、知识目标

1、 会用公式法解一元二次方程

2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0

3、在公式的推导过程中培养学生的符号感

重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误

二、知识准备

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、 用配方法解下例方程

（1）02722=--x x （2）05422

=+-x x

三、学习内容

问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c = 0（a ≠0）？

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 2

0b c

x x a a +

+= 移项，得 2

b c x x a a

+=-

配方，得 222

)2()2(22a

b a

c a b x a b x +-=+??+ 即 222

4()24b b ac x a a -+=

问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b 2－4ac ≥0？

当2

40b ac -≥，且0a ≠时，22

44b ac

a -大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以2

40a >，

从而22

404b ac

a

-≥ 到此，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当2

40b ac -≥时，一般形式的一元二次方程

2

0(0)ax bx c a ++=≠的根为22b x a a +=±，即2b x a

-±=。 由以上研究的结果，得到了一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：

2b x a

-= （2

40b ac -≥）

这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

例 6 解下列方程：

⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4

四、知识梳理 引导学生总结：

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。

3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况。

五、达标检测

达标检测一

1、把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b 2-4ac= .

2、方程x 2+x-1=0的根是 。

3、用公式法解方程2x 2+43x=22,其中求的b 2-4ac 的值是（ ） A.16 B. ±4 C.

32 D.64

4、用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac= ，方程的根是 .。

5、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x 1.2=

21214412-± B. x 1.2=212

14412-±-

C. x 1.2=

21214412+± D. x 1.2=6

48

14412-±

达标检测二

1、把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .

2、方程042

=-x x 的解为 ．

3、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ） A. x 1=1,x 2=3

B.x=2±23

C.x=2±3

D.x=-2±23

4、已知y=x 2

-2x-3，当x= 时，y 的值是-3 5、用公式法解下列方程：

（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0；

（3）2x 2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.

4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程2

10240x x -+=的一个根，求这个三角形的

周长。

一、学习目标

1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用

2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况

3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 重点：一元二次方程根与系数的关系

难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值

一、知识准备

1、 一元二次方程ax 2

＋bx ＋c = 0（a ≠0）当2

40b ac -≥时，X 1,2 =

2、 解下例方程：

（1）x 2 -4x+4=0 （2）2x 2 -3x -4=0 (3) x 2+3x+5=0

三、学习内容 1、情境创设

1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

⑴ x 2＋2x －8 = 0 ⑵ x 2 = 4x －4 ⑶ x 2

－3x = －3 2、探索活动

1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

例 解下列方程：

⑴ x 2

＋x －1 = 0 ⑵ x 2

－23x ＋3 = 0 ⑶ 2x 2

－2x ＋1 = 0

分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b 2

－4ac 的值可以发现它的符号决定着方程的解。

3、 你能得出什么结论？

由此可以发现一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的情况可由b 2

－4ac 来判定：

当b 2

－4ac ＞0时，方程有

当b 2

－4ac = 0时，方程有

当b 2

－4ac ＜ 0时，方程

我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2

＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式。 4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？

当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b 2

－4ac

当一元二次方程有两个相等的实数根时， b 2

－4ac

当一元二次方程没有实数根时，b 2

－4ac

例题教学

不解方程，判断下列方程根的情况：

1、2

260x x +-=； 2、2

42x x +=； 3、x x 3142-=+

四、知识梳理

请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系

五、达标检测

达标检测一

1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .

2、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）

A.有两个不等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

3下列方程中，没有实数根的方程式（ ）

A.x 2=9

B.4x 2=3(4x-1)

C.x(x+1)=1

D.2y 2+6y+7=0

4、方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b 2-4ac ＞0 B. b 2-4ac ＜0 C. b 2-4ac≤0 D. b 2-4ac≥0

5、如果方程9x 2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .

达标检测二

1、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.无实数根

D.不能确定 2、关于x 的一元二次方程 的根的情况是( )

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定 3、关于x 的方程x 2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )

A.k ＞-1

B.k≥-1

C.k ＞1

D.k≥0

4、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .

5、若方程2

610kx x -+=有实数根，则k 的范围是_____________________。

6、若关于x 的一元二次方程2

210mx x -+=有两个相等的实数根，则m =___________。 7、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1） 3x 2－x ＋1 = 3x （2）5（x 2＋1）= 7x （3）3x 2－43x =－4

8、当k 为何值时，关于x 的方程k x 2－（2k ＋1）x ＋k ＋3 = 0有两个不相等的实数根？