第四章正弦交流电路习题参考答案

第四章正弦交流电路

[ 练习与思考 ]

4-1-1在某电路中，i 220 2 sin 314 t 60A

⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。

⑵如果 i 的参考方向选的相反，写出它的三角函数式，画出波形图，并问⑴中各项有无改变？解：⑴ 幅值I m 2202 A

有效值I 220A

频率f31450Hz

2

2

周期

1

0.02 s T

f

角频率314rad / s

题解图 4.01初相位rad / s

3

波形图如题解图4.01 所示

(2)如果 i 的参考方向选的相反,则

i 220 2 sin 314 t 2

A，初相位改变了，3

2

rad / s 其他项不变。波形图如题解图3

4.02 所示。

i / A

220 2 A

t

2

3

题解图 4.02

4-1-2 已知i110sin( 314t 120) A ， i220sin(314t30 )A

⑴它们的相位差等于多少？

i /A

20 A

i1

⑵画出 i1和 i 2的波形。并在相位上比较i1和 i 2谁10 A

i2

超前，谁滞后。

t

解：⑴ 二者频率相同，它们的相位差

6

120 301502

i 1i 23

(2) 在相位上i2超前，i1滞后。波形图如题解图 4.03 所示。题解图 4.03

4-2-1写出下列正弦电压的相量

u1220sin ( t 45 )V ， u2100sin (314t 45 )V

解：U1 110245V U2 50 2 45V

4-2-2 已知正弦电流i18sin ( t60 )A 和 i2 6 sin ( t 30 )A ，试用复数计算电流

i i1i2，并画出相量图。

解：由题目得到

I m I m1I m28 60630+

j

(8 cos60j 8sin 60 )(6 cos30 6 sin30 )

(4j 6.93)(5.2j 3)9.2j 3.93

1023.1 A

所以正弦电流为I m 1

I m 60

23 .1

30

+1 I m 2

i110sin ( t 23.1 )A

题解图 4.04相量图如题解图 4.04 所示。

4-2-3指出下列各式的错误。

I10 30A,U100sin (t45 )V

I10e j 30 A ，I10sin ( 314t20 )A

解： I10 30A应改为I10 30A

U100sin (t 45 )V应该为u100sin (t 45 )V

I10e j 30 A应该为I10e j 30A

I10 sin ( 314t20)A应该为i10sin ( 314t 20 ) A

4-3-1已知 L 1H 的电感接在400Hz/100V 的正弦电源上，u 的初相位为200，求电流并画出电流、电压的相量图。

解：已知 U 100 20 V

U10020

70 A

I0.04

+j jX L j 2400 1

电流、电压的相量图如题解图4.05所示。

U 4-3-2指出下列各式哪些是对的，哪些是错的？

u X L，U

j L ，

U

X L， I j

U

i I I L

di U U I

u L

dt，I X

C，I C ， U j C

u X

L此式错U

X L

解：应改为I i

U

j L此式错应改为U

j L

I

I

U

X L此式错应改为U

jX L

I I

I j U

此式正确L

u L di

此式正确

dt

U

X C此式正确I

U

C U1

I此式错应改为I C

U I此式错应改为U

j

I

j C C

20

+1 70

I

题解图 4.05

4-3-3试列表比较RLC三元件在正弦电源激励下各自表现的特性及其关系。

解：

电路一般关系式相位关系大小关系复数式

R

u Ri ui 0U

U

I

R I

R

L u di

L

dt ui

90

U U

I I

X L jX L

C

u

1

idt

C

ui

90

U U

I

I

X C

jX C

4-4-1 假设 R 、 L 、 C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？

解：不能。还跟电路的频率有关。

4-4-2 RLC 串联电路的

cos 是否一定小于 1？

解：还可能等于 1。

4-4-3 RLC 串联电路中是否会出现 U R

U

，

U L

U ，U C

U 的情况？

解：会出现 U L

U 和U C

U 的情况，不会出现

U R

U 的情况。

4-4-4 在 RLC 串联电路中，当 L

C 时， u 超前 i ，当 L C 时， u 滞后 i ，这样分析对吗？

解：在 RLC 串联电路中，当

X L

X C ，电路呈感性， u 超前 i ；当 X L

X C 时，电路呈容

性， u 滞后 i 。所以上面的分析是不正确的。

4-4-5 有一 RLC 串联的交流电路， 已知 R X L X C

10 ， I

1A ，试求其两端的电压 U 。

解：此电路为纯阻性，所以

U IR 1 10 10V

4-4-6 有一 RC 串联电路，已知 R 4 ， X C

3 ，电源电压 U 100

0 V ，试求电流 i 。

I

U

100 0

100 0

3

解：

R

jX C

4 j 3

5 arctan

4

100 0 20 36.9 A

5

36.9

4-5-1 图 4-20 所示的四个电路， 每个电路图下的电压、

电流和电路阻抗模的答案对不对？各

图中给定的电路电压、阻抗是否正确？

Z 7 U

14VZ

14 U

70VZ

2 I 8A

Z2I8A

(a)

(b)

(c) (d)

解：（ a）Z 5U 10V

(b)两个元件性质相同，容抗和电压可以直接相加。图中给定的电路电压、阻抗是正确。（c) 图中给定的电路电压、阻抗是正确。

（d) 两个元件性质不同，图中给定的电路电压、阻抗是不正确。

4-5-3两个阻抗串联时，在什么情况下Z Z1Z2成立？

两个阻抗并联时，在什么情况下111

成立？Z Z1Z2

解：当两个阻抗的阻抗角相等的时候，上面 2 个式子成立。

4-5-4图4-21所示电路中，已知X L X C R 2，

电流表 A 1的读数为3A ，试问：

⑴A2和 A3的读数为多少 ?

⑵并联等效阻抗Z为多少 ?

图 4-18 练习与思考4-5-4 图解：⑴此题为RLC 并联电路，X L X C R 2，所有各元件中电流

的大小是相等的，即 I L I C I R，相量图如题解图

I

C

I 2

4.06 所示。由相量

45

图知，电流表 A1所测量的的总电流 I1就是电阻电流 I R，所以U

I R

I L I C I R 3 A ，所以电流表A3的读数为3A。电流表 A2测量的是 I R I L

和 I C的总和。由相量图可知A2的读数为 4.24A。题解图 4.06

⑵ 1

1111111

Z R jX L jX C 2 2 j 2 j2

则并联等效阻抗Z2

4-6-1对于感性负载，能否采取串联电容器的方式提高功率因数？

解：电容电感串联能够提高电路总的功率因数，但是会改变感性负载的工作状态。

4-6-2试用相量图说明，并联电容量过大，功率因数反而下降的原因。

解：从题解图 4.07 相量图上可知，当并联合适的电容时，总电压和总电流的夹角减小，使

反而下降。

I C

I C I C I

U U U

I

I

I1(I)I1(I)I1(I)

( a )( b)( c)

题解图 4.07

4-6-3提高功率因数时，如将电容器并联在电源端（输电线始端），是否能取得预期效果？

解：电容并联在输电线始端，只能减少电源的无功电流，提高了电源的功率因数，但是连接

负载的的输电线路（可能很长）电流并无改变，仍然存在原来的功率损耗，因此达不到提高功率

因数的预期效果。

4-6-4功率因数提高后，线路电流减小了，瓦时计会走的慢些（省电）吗？

解：不会。因为瓦时计测量的是有功功率，提高功率因数后，电路的有功功率不变。

4-7-1电路基本定律的相量形式是什么？

解： KCL 定理：

I 0

KVL 定理：

U 0

欧姆定律：U

Z I

4-7-2 分析正弦交流电路一般采用什么方法？

解：1．根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变 )

R R 、L jX

L 、

C

jX C

u U 、 i I 、 e E

2．根据电路基本定律的相量形式，列出相量方程式或画相量图

3．用相量法或相量图求解

4．将结果变换成要求的形式

4-7-3分析复杂正弦交流电路采用什么方法？

解：同第 2 章计算复杂直流电路一样，支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁定理等

方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感和电容及组成

的电路用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。

4-7-4能否用直流电路中学过的弥尔曼定理和支路电流法分析正弦交流电路？如果能用，使

用时应注意什么问题？

解：可以。注意：电压和电流用相量表示，电阻、电感和电容及组成的电路用阻抗或导纳来

表示，采用相量法计算。

4-8-1串联谐振时，电路对外呈电阻性，无功功率为零，能否认为电感和电容的无功功率

也为零？

解：不能。电路总的无功功率为零，电感和电容的无功功率大小相等，方向相反。

4-8-2 试说明当频率低于或高于谐振频率时，RLC 串联电路是电容性还是电感性的？

解：当 f f 0时， X L X C，电路呈容性；

当 f f0时， X L X C，电路发生谐振；

当 f f0时， X L X C，电路呈感性。

4-8-3 有一 2000PF 的电容和一个10Ω的电阻及0.2mH 的线圈，将它们接成并联谐振电路，求谐振时的阻抗和谐振频率。

解：ω01

0.21 1.58107 rad / s

LC200010 15

Z 0

L0.210 3

10KΩ

RC102000 10-12

习题

4-1 已知某正弦电压当其相位角为时，其值为5V ，该电压的有效值是多少？

6

若此电压的周期为10ms，且在 t=0 时正处于由正值过渡到负值时的零值，写出电压的瞬时值表达式。

解：设正弦电压的瞬时值表达式为u U m sin( t)V

由题目知 5 U m sin，所以U m10V ,有效值U7.07V

6

2 f 21628rad / s

10 3

10

由 t=0 时正处于由正值过渡到负值时的零值得：

得到电压的瞬时值表达式：

u 10 sin( 628t)V

4-2 已知某负载的电流和电压的有效值和初相位分别是6A、 -30o；48V、45o，频率均为 50Hz。(1)写出它们的瞬时值表达式；(2)画出它们的波形图；(3)指出它们的幅值、角频率以及两者之间的相位差。u / V , i / A 解： (1) 2 f250 314rad / s482V

u482 sin(314t45 )V 62 A

t

i 6 2 sin(314t30 )A

6

(2)波形图如题解图 4.08 所示。

4

(3)幅值 U m482V ， I m 6 2A，题解图 4.08

角频率均为 314rad / s ，相位差u i 75

4-3 已知正弦量U220e j 60 V ，试分别用三角函数式、正弦波形及相量图表示它们。如 U220e j 60V，则又如何？

解：正弦量

U 220 j 60 V 三角函数式u220 2 sin( t 60 )V e

正弦波形和相量图如题解图 4.09 所示。

u/V

2202V

+j

U

t60

+1 3

题解图 4.09

当 U220e j 60 V 时，三角函数式u 2 2 0 2 si nt( 1 2V，0正)弦波形和相量图如题解图 4.10 所示

题解图 4.10

4-4 已知工频电源 U 220V ，设在电压的瞬时值为156V 时开始作用于电路，试写出

该电压的瞬时值表达式，并画出波形图。

解：设该电压的瞬时值表达式u U m sin(t)V

u/V

工频电源 f 50Hz ，所以2f250314rad / s

2202V

U 220V ，则 U m220 2V

由题得 156 220 2 sin(314t) | t0 ，所以30

t 电压的瞬时值表达式：

u220 2 sin(314t30 )V

6

题解图 4.11

波形图如题解图 4.11 所示。

4-5 一个线圈接在 U120V 的直流电源上， I20 A ；若接在f50 Hz，U 220 V

的交流电源上，则 I28.2 A 。试求线圈的电阻 R 和电感 L。

解：接在直流电源上线圈的电感相当于短路，所以线圈的电阻为：

U120 R

206

I

当线圈接在 50Hz 的交流电上时，相当于RL 串联电路，所以线圈阻抗模为：

| Z |R 2X L2R 2( 2 fL ) 2U2207.8

I28.2

解得L 15.88mH 。

4-6 日光灯管与镇流器串联接到交流电压上，可看作为RL 串联电路。如果已知某灯管的等效电阻 R1，镇流器的电阻和电感分别为2Ω和，电源电压

U220 V ，试求电路中的电流和灯管两端与镇流器上的电压。这两个电压加起来是否等于 220V? 已知电源频率为 50Hz。

解：灯管与镇流器串联电路的总阻抗：

Z (R1 R2)j L(260 40) j 314 1.65 300 j 518 599 59.92

电路中的电流I

U220

0.367 A | Z |599

灯管两端电压U 1IR10.367 26095.42V

整流器两端电压U 2 I R22( L)2190.3V

注意：U U1U 2，但是 U U1 U2

4-7 图 4-38 所示，电源电压为 u ，电阻和电容

上的电压分别为 u R和u C，已知电路阻抗模为

1000 ，频率为 1000Hz，设 u 与 u C之间的相

位差为 30o，求 R 和 C，并说明在相位上 u 比 u C图 4-38 习题 4-7、4-8图

超前还是滞后。

解：设电压 u 为参考量，U U 00 V ，电路中电压和电流相量图题解图 4.12 所示由相量图可知：I

U R U sin 30U R

U C U cos3060

U 30

两边同除以电流 I，可得：U C R| Z | sin 3010000.5 500题解图 4.12

X C| Z | cos30 1 0000.8668 6 6

C110.18 F

X C 21000866

u 超前u C30。

4-8 图 4-38 是一移相电路。如果C=0.01μF，输入电压u 2 sin 6280t V，今欲使输出电压 u R在相位上前移600，问应配多大的电阻R？此时输出电压的有效值U R等于多少？

解：由上题的相量图可知：

U R R

tan30

U C X C

则R tan 30X C tan 30

1

9.19K 62800.01106

U R U 1cos600.5V

4-9 在RLC串联电路中，已知端口电压为10V，电流为 4A，U R8V ，U L12 V，10rad / s ，求电容电压及R、 C。

解：U R82

R

4

I

X L U L12

I43

| Z |R 2( X L X C)2U 10 2.5

I4

求得X C 1.5

则C

1

=

1

U C IX C 4 1.5 6V X C10

0.067F

1.5

4-10 图4-39所示的各电路图中，除 A 0和 V 0外，其余电流表和电压表的读数在图上都已标出。试求电流表 A 0或电压表 V 0的读数。

(a)(b)

图 4-39 习题 4-10 图

解：6RI，8X C I

U Z I R2X C2I 10V

所以，图（ a）电压表 V 0的读数为 10V

由图（ b）画出相量模型。

jX C10 A

A1

I 0I1I 1

A0j10100V U 1

V1I 0

U C

I

45

U 1 5j 5

U 0U C I

U 0 V0

题解图 4.13

设 U 1为参考相量， I 1超前 U 1900，I0超前 U C900，画出相量图，可得：

U 1100

102 A

I

5252

Z 2

A0I 0I 2I 12(10 2)210210 A

U C X C I0100 A

V0U 010*********.4V

4-11 电路如图 4-40 所示。已知U200 V , R X L，开关闭合前 I I 210 A ，开关闭合后 u，i 同相，求： I、R、X L和 X C。

图 4-40 习题 4-11 图图4-41习题4-12图

解： (1)利用相量图题解图 4.14 计算开关闭合前后I2的值不变。

I 2

U200200

Z2R2X L210 A

2R

∴ R X L

200

10 2Ω102

由相量图可求得：题解图 4.14 I I 2 cos4552A

I1I 2 sin 4510 sin 45 5 2 A

X C U200

20 2 Ω

I 152

(2)用相量计算

设:U 2000V

∵R X L，∴ I21045 A

Z2U/I 2( 2000/ 1045)Ω 2045 Ω

∴ R X L Z 2cos45102 Ω

∵开关闭合后 u，i 同相∴I I0 A

∵ I I 1I 2∴ I 0I1 901045

由实部相等可得I I 2 cos455 2 A

由虚部相等可得I 1I 2 sin 4510sin 45 5 2 A

X C U200

20 2 Ω

I 152

4-12 图 4-41 所示电路中， u 220 2 sin 314t V ，i122sin ( 314t 45 ) A ，i11 2 sin ( 314t 90 ) A 。试求：各表读数及参数R、 L 和 C。

图 4-43习题4-15图解： (1) 求各表读数

∵U 220 V ∴V的读数为220V

∵ I

22

15.6 A I 211 A 1

2

∴ I I 1I 215.6451190A11 A

即 A 的读数为

11A

也可以根据题解图 4.15 相量图求得：

I15.62112 A11 A题解图 4.15 (2)求参数R、L、C

方法 1：

Z1U2200Ω141 45Ω10

j 10Ω

I 115.645.

∴RX L10 ΩL

X L

0.0318H 2 πf

Z2U2200Ω 2090 Ω

I 211 90

∴ C11159 μF题解图 4.16

314

2 πf X C20

方法 2：利用题解图 4.16 阻抗三角形

Z1U

Ω

14.1

I 1

∴ R Z cos45 10 ΩX Z sin 45 10 Ω

L

X L

0.0318 H 2πf

U

Ω

∵Z 220C

即: X =20Ω

I 2

∴ C

11

μF 2 πf X C

159

314 20

4-13 在RLC

串联电路中，

R 50

, L=150mH ，

C50μF

，电源电压

u 220 2 sin( t 20 )V ，电源频率 f 50

Hz。

（1）求 X L、X C、 Z；

（2）求电流 I 并写出瞬时值 i 的表达式；

（3）求各部分电压有效值并写出其瞬时值表达式；

U L （ 4）画出相量图；

（ 5）求有功功率 P 和无功功率 Q 108 .4

IU R

解：（1）X L L 2fL25015010 347.171 .6

111

63.7

X C

2 fC2505010 6

C U

C Z R j ( X L X C )50j16.6题解图 4.17（2）电源电压有效值U220V

U220 20

4.18arctan 0.332 4.18 38.4 A

I

50j16.6

Z

则： I 4.18A

i 5.9 sin(314t38.4 ) A

（3）U R IR 4.1850209V

U L IX L 4.1847.1197V

U C IX C 4.1863.7266V

u 209 2 sin(314t18.4 )V

u L1972 sin(314t108.4 )V

u C2662 sin(314t71.6 )V

（4）相量图如题解图 4.17 所示。

（5）有功功率P I2R 4.18250873.6W

无功功率 Q I2X L I 2X C 4.18 4.18( 16.6)290Var

4-14 在图4-42的电路中，欲使电感和电容器上的电压有效值相等，试求R 值及各部分电流。

图 4-42 习题 4-14 图

解：依题意电感和电容器上的电压有效值相等，则有电容的阻抗模与并联之路的阻抗模相等，即

j 2.4

j 4R R j 4

解得：R3

设电感上电压为 U L，并联部分电压为 U //

j 2.4

10 0j 2.4

V

则 U L10 0 11.4 118

j 4R j12 j 2.4

3j 2.4

R j 4j 4同理 U // 11.465 A

U

//11.465

I C 2.85 25 A

j 4j 4

U // 11.465

I R 3.8 65 A

33

U L11.4 118

I 2.4 28 A

j 2.4j 2.4

4-15 在图 4-43 的电路中，已知 U 220 0 V ，试求：

（ 1）各元件上的功率；

（2）电路的总功率因数、有功功率、无功功率及视在功率。

I Z1

3j4

I 3

解：题解图如图 4.18 所示I

2

U Z2Z3

电路总阻抗Z j553j 4 5.5j1.55j5

5j 5

（1）I

U22002200

38.615.3A题解图 4.18

Z 5.5j1.5 5.715.3

I 2I

j 5

27.3120A

5j 5

I 3I

5

27.360A

5j 5

P Z I 2338.6234470W Q Z I 2438.624 5 9 6V0a r 11

P Z I 22527.3253726W Q

Z 20V a r

2

P

Z 30W Q

Z 3I 325 3 2 7V6a r

（2）电路的总功率因数cos cos15.30.96

有功功率P P

Z1

P

Z2

P

Z34470372608196W

无功功率Q Q Z Q Z

2Q Z

3

5960 0 3 2 7 6 2 6 8V4 a r

1

视在功率S UI22038.68492VA

4-16 计算图4-44a中的电流I和各阻抗元件上的电压U1与U2，并作相量图；计算图4-44b 中的各支路电流I1与I2和电压U，并作相量图。

(a)(b)

图 4-44 习题 4-16 图

解：图（ a)电路中：

I

U10 0

236.9 A Z1Z222j3

U

Z1

U

2

100436.9 V 1

22j 3

Z1Z 2

U

Z 2

U

2j 3

1007.2119.4 V 2

Z 222j 3

Z1

图（ b)电路中：

I 1

Z 2

I

1j

20245A Z1Z 21j1j

I 2

Z1

I

1j

20245 A Z1Z 21j1j

U Z1I1(1 j ) 2 45 2 0 V

相量图如题解图 4.19（a）、(b)所示

I2

19. 4

U R45I U

36. 9

I

U 145

I1

（a）(b)

题解图 4.19

4-17 已知一感性负载的额定电压为工频220V，电流为 30A，cosφ =0.5，欲把功率因数提高到 0.9，应并多大的电容器？

解： P 220 30 cos220 30 0.5 3300W

2 f250314rad / s

C P( tan 1tan )3300[tan(cos 10.5)tan(cos 1 0.9)]

ωU 2314 2202

2.210 4(tan 60tan25.8 ) 2.2 10 4(1.730.48) 67.6 F

4-18 一照明电源，已知电源电压为 220V、50Hz，总负载为 6kVA ，cos

0.88，

负载有白炽灯和日光灯，已知日光灯本身的功率因数为0.5，计算白炽灯和日光灯各有多少瓦？

解：电路中的无功功率是有日光灯产生的，所以有

Q日光灯日光灯 1 0.52 6 0 0 0 1 c o 2s 2 8 5V0a r

P

0.5

解得日光灯164W5

P

P P

灯6 0 0 0 c o s528W0

日光灯白炽

则P5280 1645 363W5

白炽灯

4-19 有一电感性负载，额定功率P N40kW ，额定电压 U N380V ，额定功率因数N 0.4 ，现接到50Hz、380V的交流电源上工作。求：

⑴负载的电流、视在功率和无功功率；

⑵若与负载并联一电容，使电路总电流降到120A，则此时电路的功率因数提高到多少？并联的电容是多少？

解：（ 1）负载的电流I

P N40000

U N380263.2A

N0.4

视在功率S P N 40000

100KVA

N0.4

无功功率Q S12

1000001

2

91.7K V a r N0.4

（2）并联电容后电路功率因数为'P N40000

0.88

N

U N I'380120

C P2 ( tan 1tan )400002 [tan(cos 1 0.4)tan(cos 1 0.88)]

ωU314 380

10 415.7 10 4 F

4-20 某收音机输入电路的电感约为0.3mH，可变电容器的调节范围为25～360pF。试问能否满足收听中波段535～1605kHz 的要求。

解：收音机选台是通过调节可变电容的参数值使得调谐回路在某一电台频率下发

生串联谐振。

f 01I 2

由串联谐振频率

2 LC90I

U ab

得到

I 1

当 C360 pF 时，电路的谐振频率为

f11484KHz535KHz

0.310 3360

210 12

当 C25 pF 时，电路的谐振频率为

f 211838 KHz1605KHz

0.310 325

210 12

所以能否满足收听中波段535～ 1605kHz 的要求。

4-21 在图 4-45 的电路中，R15。今调节电容 C 值使电路发生并联谐振，此时测得： I 110 A ， I 26A ， U Z113V ，电路总功率P=1140W。求阻抗Z。

解：调节电容 C 使并联电路发生谐振时，

电流 i 与u ab同相，且达到最小值，可画出电路的

相量图，如题解图 4.20 所示。

由相量图可得

图 4-45习题 4-21 图

II12I 22102628A

设 Z R jX

则P I 2R I12R11140W