人教版高中数学抽象函数专题教师版

抽象函数

概念：没有给出具体的解析式的函数，我们称为抽象函数.

函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程.这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个函数模型，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解.

常见的抽象函数的性质与对应的特殊模型的对照表：

一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]， （1）函数2

(1)f x +的定义域为 ；

（2）函数(1)(1)y f x f x =++-的定义域为 。 解析：定义域指的是“自变量”(一个字母)的取值范围， （1）解不等式，2

212x -≤+≤，得11x -≤≤，[1,1]x ∈-； （2）解不等式组，212

212

x x -≤+≤??

-≤-≤?，得11x -≤≤，[1,1]x ∈-.

练习：已知函数()f x 的定义域是[0,2]， （1）函数(21)y f x =-的定义域为13[,]22

；

（2）函数11()()22y f x f x =++-的定义域为13[,]22

.

例2：已知函数()3log y f x =的定义域为[3,27]，则函数()y f x =的定义域为 . 解析：换元法，令3log t x =，因为327x ≤≤，3log t x =为增函数，所以33log 3log 27t ≤≤，

()y f t =，[1,3]t ∈，所以()y f x =，[1,3]x ∈.

练习：（1）已知函数()2log y f x =的定义域为[1,5]，则函数()y f x =的定义域为2[0,log 5]. （2）已知函数()43y f x =+的定义域为[2,7]，则函数()y f x =的定义域为[11,31]. 综合练习：已知函数(21)f x -的定义域为[0,1)，求函数(13)f x -的定义域. 解析：令21t x =-，因为01x ≤<，所以11t -≤<，所以()y f t =，[1,1)t ∈-； 解不等式1131x -≤-<得，203x <≤

，所以函数(13)f x -的定义域为2(0,]3

.

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 练习：()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则

f = .

解析：(4)(2)(2)2f f f =+=，(2)1f =，

(2)1f f f =+=，12

f =

2、如果()()()f x y f x f y +=，且(1)2f =，则(2)(4)(6)(2000)

(1)(3)(5)(2001)f f f f f f f f ++++L 的值是 . 解析：取1y =，有(1)()(1)2()f x f x f f x +==，

(1)

2()

f x f x +=，()0f x ≠， 原式20011

222220022

+=++???+=?=.

3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f （C ） A.-1 B.1 C. 19 D. 43 解析：取0x y ==，有(0)2(0)1f f =+，(0)1f =-，同理

(11)(1)(1)111f f f -=+--+=-，(1)2f -=-， (2)2(1)112f f -=-++=-， (4)2(2)411f f -=-++=， (8)2(4)16119f f -=-++=.

4、函数()f x 为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0 解析：取3x =-，有(3)(3)(3)f f f =-+，(3)0f -=， ∵()f x 为偶函数，∴(3)(3)0f f =-=，

(6)()f x f x +=，()f x 是以6为周期的函数，

∵200533461=?+，∴(2005)(33461)(1)2f f f =?+==.

5、已知()f x 是二次函数，且2

(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x .

解析：由题可设2

()f x ax bx c =++，0a ≠，则

2(1)(1)(1)f x a x b x c +=++++，2(1)(1)(1)f x a x b x c +=-+-+， 2(1)(1)2222f x f x ax bx a c ++-=+++

又2

(1)(1)24f x f x x x ++-=-，由恒等式的性质知，

2224

220a b a c =??=-??+=?

，解得1a =，2b =-，1c =-，所以2

()21f x x x =--

6

、已知1)f x =+，求()f x 的解析式.

解析：令1t =

，则1t ≥

1t =-，2(1)x t =-，

所以2

2

()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-，

2()1f x x =-，[1,)x ∈+∞

三、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决） 提示：研究抽象函数的单调性的关键在于给自变量赋特殊值.

例1.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.

解析：思路：求函数的最值或值域关键是求出函数在所求区间上的单调性. 对于任意的1x ，2[3,3]x ∈-，且12x x <，∵()()()f x y f x f y +-= ∴2121()()()f x f x f x x -=- ∵12x x <，∴210x x ->，21()0f x x -<，

21()()f x f x <，所以()f x 为[3,3]-上的减函数.

取1x y ==，有(2)2(1)4f f ==-，同理(3)(1)(2)6f f f =+=-，

取0x y ==，有(0)2(0)f f =，(0)0f =，又(33)(3)(3)0f f f -=+-=，(3)6f -=， 所以函数()f x 在[3,3]-上的最大值为6，最小值为6-.

练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证： f(x)在(0,)+∞上为增函数.

解析：对于任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， ∵

()

()()

f x y f y f x +=, ∴

2211()()()f x f x x f x =- ∵210x x >> ∴210x x ->，

2()1f x >，1()1f x >，21()1f x x ->

∴21()()f x f x >，()f x 为(0,)+∞上的增函数.

练习2、已知函数()f x 的定义域是(0,+∞)，对定义域内的任意a ，b 都有()()()f ab f a f b =+，且 当1x >时()0,(2)1f x f >=，

（1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2

(21)2f x -<；

解析：（1）对于任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， ∵()()()f ab f a f b -=，∴2

211

()()(

)x f x f x f x -=

∵210x x >>∴

211x x >，21

()0x

f x > 所以21()()f x f x >，()f x 为(0,)+∞上的增函数.

（2）由题知，2

210x ->，解得x <或x >(定义域优先) 取2a b ==，有(4)2(2)2f f ==，

∵2

(21)2(4)f x f -<=，()f x 为(0,)+∞上的增函数

∴2

214x -<，解得x <<，

综上可知，不等式的解集为()(2222

-

-U . 例2、函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，()1f x >， （1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2

(32)3f m m --<.

证明：对于任意的1x ，2x R ∈，且12x x <，

∵()()()1f a b f a f b +-=-，∴2121()()()1f x f x f x x -=-- ∵21x x >∴210x x ->，21()1f x x -> ∴21()()f x f x >，()f x 是R 上的增函数. （2）(4)(2)(2)15f f f =+-=，(2)3f = ∵2

(32)3(2)f m m f --<=，()f x 是R 上的增函数 ∴2

322m m --<，解得4

13

m -<< ∴m 的取值范围是4(1,)3

-.

练习 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，满足()()()f xy f x f y =+， （1）证明：()()()x f f x f y y =-；（2）若(4)4f =-，求1

()()1212

f x f x -≥--的解集. 证明：对于任意的a ，(0,)b ∈+∞，∵()()()f xy f x f y -=

∴()()()a f a f b f b -=，即()()()a f f a f b b =-，所以()()()x f f x f y y

=-.

（2）由题知，01012

x x >??

?>?-?，解得12x >，(定义域优先)

∵(4)4f =-，

∴(16)2(4)8f f ==-，(64)(16)(4)12f f f =+=- ∵1

()(

)1212

f x f x -≥-- ∴[(12)](64)f x x f -≥，又()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数， ∴(12)64x x -≤，解得416x -≤≤， 综上可知，不等式的解集为(12,16]. 附加题： 已知??

?≥<+-=1,log 1

,4)13()(x x x a x a x f a

是（-∞，+∞）上的减函数，那么实数a 取值范围是 .

解析：由题得

31001

314log 1a a a a a -

<

?

，?1173a ≤<，实数a 取值范围是11[,)73.