第五章货币的时间价值 (1)

第五章货币的时间价值

财务总监做出的大部分决策都是关于公司的现金流入和流出问题。这些现金流的时间选择非常重要，因为及早地收到现金可以及早地再投资并赚取额外的收益。既然现金流价值的差别由时间学则的不同而产生，财务总监必须衡量这些差别以制订他们的长期投资和财务决策。此外，测定价值差别在制订关于流动资产和流动负债的决策时也非常重要。本章讨论测定货币时间价值的方法，分为4个主要部分，每一部分解决一种类型的财务问题。

第一节末来值总值

一、复利1与终值

未来值总值指利息收入与本金的总和，其中利息是在—定时间内按一特定利率投资。例如，如果中远集团公司按年息6％存入银行100美元，1年后中远集团公司的账户上将有106美元。我们用6%乘以100美元得到所获利息6美元，把这个利息加上原先的100美元得到106美元。或者这样计算，1年后中远集团公司将获得其原先存款的106％，其中100％是本金，6％是利息。这种方法表示如下FV=100(1+0．06)

=l00(1.06)=106(美元)

如果中远集团公司把100美元存两年，那么到时中远集团公司有多少钱呢?1年后在中远集团公司的账户上有l00(1+0.06)美元，即

1 国际上流行的是复利计算方式，而我国则采用单利计算方式。我们在本书中采用国际上流行的投资计算方式

106美元。在第2年里，中远集团公司将获得总值6%的利息。因此两年后账户上将有100(1+0．06)美元的106％，表示如下

FV=100(1+0.06)(1+0.06)

=100(1+0.06)2=112.36(美元)

两年后，账户上的将有112.36元，这包括本金100美元，利息12.36美元。第1年得到6美元利息，第2年得到6.36美元利息；第2年的利息等于原始存款的6％加上第1年所得利息的6％。利息的利息称做复利。

如果中远集团公司有机会现在得到100美元或两年后得到11 1美元，假定未来两年所有资金的利息都是6％，中远集团公司会选择哪个呢?通过测定两笔款项在同一时间(两年后)的价值做出决定，如果中远集团公司现在100美元并按6％的利息投资，两年后将会得到112.36美元。既然这个价值高于可选的两年后的111美元，中远集团公司将更喜欢现在得到100美元。

将1 00元按6％的利息存两年的未来值可表示为

FV=100(1+0．06)(1+0.06)

=100元（0.06)2

可以把这个公式一般化，解决总值按一定利率投资指定时期的未来值问题

FV=P（1+k）(5.1) 式中：FV表示未来值总值；P表示本金或总值；k表示年息，n表示本金投资的年数。

为了阐述式(5.1)的应用，我们计算500美元按l0％的利率存入投资账户3年的未来值，计算如下

FV=500(1+0.1)3

=500(1.331)=665.50(美元)

有两种基本方法计算(1+k)n 的值，此后把这个值称做未来值利息因子，记为FVIF.

第一种方法需要用带有(y x )功能的计算器，这里y 是(1+k)，x 是n 。这里k=10％、n=3，计算得到1.331。

第二种方法是利用复利终值系数表，此表展示了变量矩阵，其中变量n 在最左列，k 在首行。确定(1+k)n 的值时，在左列中查到n 值，并在沿此行查找k 值。n 值所在行和k 值所在列的交叉处既是FVIF 。我们的问题中k=10％、n=3，通过复利终值系数表，我们得到(1+k)n 的值是1.331．结果与第一种方法相同。

1000

2000

3000

400005

1015年份终值0%

5%10%

图5.1 复利终值系数

存款时间越长，积聚的资金价值越大，沿复利终值系数表中任意列向下看，我们可以验证此结论，对任一给定的k ，行越大。FVIF 就越大；同理，利率越高，账户上资金的未来值就越高。因此，复利终值系数表中的任意行，k 越大，FVIF 就越大。图5.1描述了n 和k 对FVIF 的作用。

假定中远集团公司通过卖出一些房地产获得8 000万美元佣金，如果中远集团公司按年息12％投资7年，到时中远集团公司将有多少钱？

FV=P(1+k)n

=8 000(1+0.12)7

=8 000(FIVF)

=8 000(2.2107)

=17 686(万美元)

通过给定的年息，中远集团公司能确定7年后中远集团公司将有17686万美元。

二、复合频率

以上例子都是假定利率每年复合一次，也就是利息每年记入贷方账户一次。上面介绍的方法修正后可以解决利息复合更频繁的问题。在原先的例子中，100美元按年息6％存1年，利息每年复合一次。现在我们假设利息每半年复合一次(一年复合两次)，这意味着利息在年中记人贷方账户，因此在下半年，利息由原先的本金和上半年挣得的利息生成。本例中，存人账户100美元，在6个月后将记人贷方账户3美元利息(年息是6％，所以半年只得到3美元)，在第二个6个月里，又有3％的利息记入贷方账户。因此，在第二个6个月里挣得的利息是3.09(3％×103)美元，一年挣得利息的总数是6.09(3+3.09)美元，1年后，账户余额是106.09美元。

解决这个问题是年息除以2(1年中利息复合的次数)来确定每个子时期的利率，另外，时期数乘以2得到账户上挣得利息的半年时期数。当每年利息复合次数大于2时，计算步骤类似，也就是说，利息除以1年中利息复合的次数，年数乘以1年中利息复合的次数。公式5-2表明解决年内复合利率问题时需要做的调整

k）nm （5.2）

FV=P（1+

m

式中：m表示1年内利息复合的次数。

应用式(5.2)，解决100美元按6％利率(半年复合一次)存1年的未来值问题

k）nm

FV=P（1+

m

0.06）1*2

=100（1+

2

=100（1+0.03）2

=100(FVIF)

=100(1.0609)=106.09(美元)

复合调整后，利用复利终值系数表确定FVIF，当k=3％、n=2时，其值为1.0609美元。

下例中，考虑中远集团公司投资5 000万美元，期望获得24％的年息，利息每季度复合一次。两年后积聚的总值是多少?

k）nm

FV=P（1+

m

0.24）2*4

=5000（1+

4

=5000（1+0.06）8

=5 000(1.5938)=7 969(万美元) 如果利息每个季度复合一次，两年后中远集团公司将获得7 969万美元，但是如果利息每天复合一次，两年后中远集团公司能获得多少钱呢？

0.24）2*365

FV =5000（1+

365

=5 000(1.6158)=8079(万美元)

既然本例中FVIF不能从复利终值系数表中得到，必须使用计算器。注意提高复合频率，导致了原始投资利息积聚得更快。

三、解决时期数的问题

式(5.1)中有4个变量，如果任何3个变量已知，就可以求第4个。例如，100美元按8％的利率存多少年能积聚136.05美元?把已知变量代入公式5-1使FVIF单独处于方程一侧

FV=P(1+k)n

136.05=100(1+0.08)n

1.3605=(1+0.08) n

既然FVIF是1.3605，k已知，利用复利终值系数表确定n。找到标有“k=8％”的那一列，沿列向下找到最接近1.3605的值。这个值可以在第4行(n=4)找到。因此，答案是4年。

四、解决利率问题

假定中远集团公司的储蓄账户上有10 000万美元，希望在13年内积聚成30 000万美元，那么需要的利率是多少呢?把已知变量代入公式5-1，求FVIF

FV=P(1+k)n

30000=10 000(1+ k)13

3.0=(1+ k)13

通过计算得到(1+ k)13=3.0，利用复利终值系数表确定k的值。在n=13的左列中，沿列向下查找，在行中自左到右查找值为3.0的FIVF，本例中，不能找到值确切为3.0的FVIF。然而，2.7196、3.0658分别代表8％、9％的利率，与我们需要的利率因子接近。根据要求得到的精确度，有几种描述正确答案的方法，接近9％或在8％与9％之间。如果要求更高的精确度，可以利用插值法估计利率，如果需要精确的答案，可以用算术的方法直接从公式5-1中得到

3.0=(1+ k)13

1.0882=(1+ k)

0.0882=k

因此，中远集团公司必须把10 000万美元按8.82％的利率存13年，才能类聚成30 000万美元。

五、增长率

至今分析的未来值问题都是关于在总值上挣得利息，然而，计算增长率份额方法类似。在财务管理中，经常需要确定净收入年增长率比如每股盈利、股价以及其他系列数据。假定中远集团公司1980年每股股利为1美元，1986年每股股利为2.3l 美元，我们常常把总增长率131%除以增长年数(6年)得到年增长率21.8％，然而，这种方法忽视了复合，分红的复合年增长率可以用公式5-1计算，这里，k 是增长率而不是利率，P 是初始股利，FV 是股利未来值，计算如下

FV=P(1+k)n

2.13=1.00(1+ k)6

2.13=(1+ k)6

从复利终值系数表中，我们得知复合年增长率大约是15％。

第二节 未来值现值

利用式(5.1)可以求得FV 、k 和n ，当其他3个变量已知时，我们可以求得第4个变量P 。然而，由于现值问题在财务管理中非常重要，我们不用式(5.1)，而用专门的公式

P=FV ??

????+n k 11）（ (5.3) 这个公式用来解决总值现值问题，例如，公司的—项投资3年后可以获得25 000美元，如果公司要求12％的收益率，现在应该投多少钱呢?也就是3年后25 000元的现值是多少？k 值是12%，我们称做析现率，因为它用来把未来价值折合成现值．现值25 000美元按12%的利率折算3年，计算如下

P=FV ??

????+n k 11）（ =25 000????

??+30.1211）（ =25 000（0.7118）=17 795（美元）

我们把中括号里面的值称做现值利率因子，记为PVIF 。可以用计算器或复利现值系数表求得PVIF ，该表的应用与复利终值系数表类似，也就是，根据n 和k ，从表中查找PVIF 。在上面的问题中，n=3、k=12，查表知PVIF=0.7118。

方程确定的17 795美元就是公司需要做出的投资额以获得12％收益，如果公司投资少于17 795美元，收益就会超过预期。如果公司的投资必须多于17 795美元，收益就会低于预期。

尽管计算未来值和现值的公式不同，但解决任何4变量问题(FV 、P 、k 和n)时，两个公式通用。例如，上面的问题也可以用公式5-1解决

FV=P(1+k)n

25 000=P(1+0.12)3

25 000=P(1.4049)

17 795=P

对于相同的k 和n ，PVIF 、FVIF 互为倒数。

从复利现值系数表中可以看出，当k 增大时，PVIF 减小因而总值现值减少。同理，当n 增大时，PVIF 减小，总值现值减少，这表明总值收到时间越长，现值减少。复利现值系数表阐述了PVIF 与k 和n 的关系。

200

400

600800

1000

05

1015

年份 0%5%10%数值

图5．2复利现值系数

下面的例子涉及中远集团公司一个房地产开发公司，该公司要对是否以2 000万元购买大连市区的一块地皮做出决定。中远集团公司地产预期两年后这块地可以卖3 000万元。这里不涉及财产税、交易税等，如果中远集团公司地产要求得到15％的收益，是否购买呢? 解决这个问题的一种方法是确定3 000万元的现值与价格比较，这里把15％的收益率作为折现率

P=FV ??????+n k 11）（=3 000??

????+20.1511）（ =3 000（0.7561）=2 268.3（元）

3 000万元按15％利率折现两年后是2 268.3万元，如果中远集团公司地产以此价购买并在两年后以3 000万元卖出就可以获得15%的收益。现在可以低于2 268.3万元购买，所以公司将获得更高的收益率。

第三节 年金终值

一、 定义

年金是指一定时期等额支付的现金流，普通年金在每期期末支

付。财务管理中年金问题经常出现，因而确定年金的体系非常有用，例如，假定在未来3年每年末储蓄100美元，中远集团公司期望有6%的收益，中远集团公司想确定3年后账户总值，也就是说，中远集团公司想确定3年期、6%利率，100美元年金的未来值。如图5.3所示，存储的第1个100美元挣得了2年利息，因为利率是6%，所以到期后增长到112.36美元。第2年末存储的100美元只挣得了1年利息，到期后增长为106美元，因为年金3年到期，所以第3年末存储的100美元没有挣得利息。

图5.3 年金终值

既然年金终值是总本金与期间挣得利息的总和，我们可以把先前确定的所有未来值相加，也就是112.36+106.00+100.00=318.36美元。因此，3年期、6%利率，100美元年金的未来值是318.36美元。但是，其中300美元是本金，18.36美元是本金挣得的利息，可以利用式（5.4）更直接地求出年金终值

]1)1[k

k A FVA n -+=（ （5.4） 0 123

年末 100.00 100.00 100.00

106.00

112.36

年金终值=318.36（美金）

式中：FV A是年金终值；A是每年支付款后收到款项。

我们把中括号里面的值称为年金终值利率因子，记为FVIFA。可以通过计算器或年金终值系数表求的FVIFA.

利用式（5.4）和年金终值系数表解决上面的问题，即3年期、6%利率，100美元年金的未来值

FV A = A(FVIFA k,n)

= 100(FVIFA k=6%,n=3)

= 100(3.1836)

= 318.36(美元)

再看一个例子，以加强对年金终值的理解。中远集团公司职员李某打算在今年后10年里每年存2000美元以供退休后使用，如果他每年可以得到12%的利息，10年后他账户上有多少钱呢？

FV A = A(FVIFA k,n)

= 2 000(FVIFA k=12%,n=10)

= 2 000(17.549)

= 35 098(美元)

因此，李某10年后将积聚35 098美元。

二、解决年金额

年金问题包含4个相互作用的变量，当给定其中3个变量时，我们可以确定第4个变量。在前面的例子中，如果李某需要积蓄多于35098美元以补充退休金，他想在10年内至少积蓄50000美元，假定利率还是12%，那么他每年需要存多少钱呢？因为最终要积蓄50000美元，所以这个问题是年金终值问题。

FV A = A(FVIFA k,n)

50000 = A(FVIFA k=12%,n=10)

50000 = A(17.549)

A = 2849.17(美元)

因此，李某须在今后10年的每年末以12%的利率存2849.17美元，才能在10年末积蓄50000美元。

三、解决利率问题

现在假定李某不能每年存2 849.17美元，而至多存2 500美元，那么利率为多少时，10年后他可以积蓄到50 000美元？我们利用式（5.4）解决k

FV A = A(FVIFA k,n)

50000 = 2500A(FVIFA k=?,n=10)

20.0 = (FVIFA k=?,n=10)

既然FVIFA和年数已知，可以利用年金终值系数表确定k值，在最左列中，找到n = 10并沿所在行找FVIFA=20，尽管不能找到值为20的FVIFA，但利率为15%时的FVIFA（20.304）十分接近20。这就意味着李某需要以15%利率储蓄，这样才能在10年内积聚50000美元。

不能解决年金问题中的年数n，当n包含小数时，这意味着最后一笔支付规定年金的一部分，如果这样，年金就不存在了，因而，在这里我们不考虑此类问题。

第四节年金现值

一、定义

前面讨论了如何确定年金终值，确定年金现值就是确定未来所有年金支付的现值。如前面讨论，货币的未来值不如现值有价值，同理，年金的现值比年金支付总额小。

例如，如果现在有一笔投资能在未来3年的每年末产生100美元，

如果中远集团公司要求得到6%的收益率，那么中远集团公司会对这笔投资付多少钱？要解决这个问题，中远集团公司必须确定贴现率为6%时年金支付的现值。

图5.4 年金现值

解决这个问题的一种方法是确定每笔年金支付的现值并相加（如图5.4所示），注意3次现金收入都折算成现值。在图5.4的时间轴上，现值是0年末或者说第1年初，第1笔支付这算1年，第2笔这算2年，第3笔支付这算3年，把它们加总，结果就是年金现值（例子中是267.30美元）。这意味着如果投资者现在以267.30美元购买并持有3年，每年收到100美元，这就相当于收益率是6%；如果这个投资者低于267.30美元买入，那么收益率就大于6%；如果买入价格高于267.30美元，那么收益率小于6%。

可以利用式（5.5）确定年金的现值

))

1(11)(1n k k A FVA +-

=（ （5.5） 式中：PV A 表示年金现值。

我们把括号里的值称为年金现值利率因子，记为PVIFA 。我们可以利用年金现值系数表确定k 和n 给定时的PVIFA ，也可以用计算器计算。

可以利用式（5.5）和年金现值系数表解决上面的例子。3年期、0 123

年末 100.00

100.00 100.00 94.34

89.00

83.96

267.30（美元）=年现金

6%利率、每期收入100美元的年金现值

PV A = 100（PVIFA k=6%,n=3）

= 100(2.673)

=267.30 (美元)

这与第一种方法求得结果一致。

可以通过下面的例子，加强对这些概念的理解。中远集团公司有机会购买一种证券，这种证券在今后7年的每年末支付10 000美元，如果中远集团公司要求的收益率是8%，那么公司为这种证券最多支付多少呢？

PV A = A(PVIFA k,n)

= 10 000(PVIFA k=8%,n=7)

=10 000(5.2064)

=52 064(美元)

如果中远集团公司投资52 064美元，它可以在今后7年获得8%的收益率。

二、解决贴现率

式（5.5）中，只要给定其中3个变量，我们就可以确定第4个变量，例如，假定中远集团公司能够以48 680美元购买上述证券。那么中远集团公司的收益率是多少？

PV A = A(PVIFA k,n)

48 680 = 10000(PVIFA k=?,n=7)

4.868 = PVIFA k=?,n=7

通过年金现值系数表，我们得知k = 10%，因而，如果中远集团公司以48680美元购买证券，今后7年的年收益率是10%。

三、解决年金额

式（5.5）常用来确定分期支付贷款的偿付额，此类问题就是确定

式（5.5）中的A。假定中远集团公司从银行借了20000美元，并许诺以今后4年每年末支付固定年金方式偿还，每期支付包括利息和部分本金。值得注意的是，偿还额中利息所占份额逐期减少，而本金所占份额增加。可以通过计算A值确定每期支付额

PV A = A(PVIFA k,n)

20 000 = A(PVIFA k=15%,n=4)

2 0000 = A(2.855)

A = 7005.25（美元）

如果中远集团公司在今后4年每年支付7 005.25美元，就可以偿还贷款本金20 000美元和每期贷款本金余额15%的利息。如表5.1

所示，第1年末偿付了7 005.25美元（第3列），其中贷款利息是3 000美元（第4列），剩下的用来偿付贷款本金（第5列），新的贷款余额（第6列中的15 994.75美元）是第2年里必须支付利息的部分。第2年末偿付的7 005.2美元，其中贷款利息是2 399.21美元，剩下的4 606.04美元用来偿付贷款本金。每期支付包括逐渐减少的利息偿付和逐渐增加的本金偿付，最后1年偿清了当年的利息和贷款本金余额。最后一笔偿付后，大约剩下0.29美元，这笔钱一般算入贷款者最后一笔支付中。

表5.1 20000美元分期偿清贷款偿付表

年份贷款本金/

美元分期偿付/

美元

利息/

美元

本金减少/

美元

本金余额/

美元

1 20 000.00 7 005.25 3 000.00 4 005.25 15 994.75

2 15 994.75 7 005.25 2 399.21 4 606.04 11 388.71

3 11 338.71 7 005.25 1 708.31 5296.9

4 6 091.77

4 6 091.77 7 005.2

5 913.77 6091.48 0.29

第五节 时间价值的其他问题

下面的时间价值问题不能用以上讨论的方法解决。

一、 不均匀现金流

假定一个投资者期望在第1年得到100美元，第2年得到200美元，第3年得到300美元，如果收益率是10%，那么如何确定这项投资的现值？这里的现金流不均匀，因而不能用年金公式，我们必须分别计算每笔款额的现金值并加总，如表5.2所示，计算得出现值为481.58美元。

表5.2 不均匀现金流的现值

年份 收入/美元 PVIF （10%） 体现现金流/美元 1

100 * 0.9091 = 90.91 2

200 * 0.8264 = 165.28 3

300 * 0.7513 = 225.39

PV = 481.58

二、 永久年金现值

永久年金是指永远不结束的年金，例如，一项每年都支付100美元的投资就是永久年金，要确定所有年金收入的现值不是很困难，因为在很久的未来的现金收入的现值很小。实际上，如果贴现率是14%，70年后的100美元的现值是0.01美元，而且中远集团公司永远不能得到本金，所以不用计算它的现值。永久年金的现值可以用式（5.6）计算

k

A PVP （5.6）

式中：PVP 表示永久年金的现值；A 表示年金；k 表示贴现率。

例如，贴现率14%、每期收入100元的永久年金的现值计算如下 （美元）29.71414

.0100===

k A PVP 三、 连续年金的现值

如果一项投资在今后3年每年产生200美元现金流，在其后4年每年产生300美元现金流，如果公司要求的收益率是10%，那么这项投资的现值是多少？这个问题包含了连续年金，因而不能用解决其他年金问题的方法。一个迅速方案就是单独计算每笔年金的现值并把它们加总。然而，值得注意的是年金的现值是指年金开始的时候而不一定是现在的价值。如图5.5所示，时间轴上标注了这些现金流，第一个年金开始于0年末，它的现值是497.38美元，计算如下

PV A = 200（PVIFA k=10%,n=3）=200（2.4869）= 497.38（美元）

图5.5 连续年金

然而，第2个年金的现值是相对于它开始的时候，即第3年末，它在第3年末的价值是950.97美元，计算如下

PV A = 300（PVIFA k=10%,n=4）

= 300(3.1699)

=950.97(美元) 0 1234567年末

200 200 200 300 300 300 300

年金现值

年金现值

950.97

714.46

121184(美元)=连续年金现值 年金现值

既然这个价值现在表示总值3年末的未来值，我们可以用总值现值公式求出它的现值

])(11[n

k PF PV += ])0.11(1[

950.973+= ）

（7513.950.97= （美元）714.49=

两个年金的现值都转化成了现在的值。它们的和就是这项投资的价值：497.38+714.46=1211.84（美元）。