第1章集总参数电路中电压、电流的约束关系

第一篇总论和电阻电路分析

第一章

集总参数电路中电压、电流的约束关系

§1.1 电路及集总电路模型

一、电路模型（circuit model)

1、何谓电路(circuit)?

由电器件相互连接所构成的电流通路称为电路。

电工设备:发电机，变压器，电动机，电灯，电炉，电风扇，开关，等等。

电子器件：电阻，电容，电感，二极管，三极管，集成电路，等等。

连接导线：电缆，电线。

2、实际电路的组成

①提供电能的能源,简称电源；

②用电装置，统称其为负载。

③连接电源与负载而传输电能的金属导线，简称导线。

开关

②

③

①

简单的手电筒电路

它将电源提供的能量转换为其他形式的能量；

电源、负载、导线是任何实际电路都不可缺少的三个组成部分。

发电

升压

变压器

降压

变压器

电灯

电动机

电炉

...

输电

电源:提供电能的装置

负载: 取用

电能的装置中间环节：传递、分

配和控制电能的作用

激励：电源或信号源的电压或电流，它推动电路工作； 响应：由激励所产生的电压和电流。

3、 实际电路的功能

① 进行能量的产生、传输与转换。

如电力系统的发电、传输等。

②实现信号的产生、变换、处理与控制。

如电视机、电话、通信电路等，实现雷达信号处理、通信信号处理、生物信号处理等。 由电阻器、电容器、线圈、变压器、晶体管、运算放大器、传输线、电池、发电机和信号发生器等电气器件和设备连接而成的电路，称为实际电路。

发电

升压 变压器

降压 变压器

电灯 电动机电炉 ...

输电

放大器

扬声器

话筒

直流电源: 提供能源 负载

直流电源 信号处理： 放大、调谐、检波等 信号源:

提供信息

二、集总假设

● 根据实际电路的几何尺寸(d)与其工作信号波长(λ)的关系，可以将它们分为两大类： ● (1)集总参数电路：满足d<<λ条件的电路。 ● (2)分布参数电路：不满足d<<λ条件的电路。 ● 说明：

● 本课程只讨论集总参数电路,今后简称为电路。

三、电路分析与电路综合 电路分析

目的：

通过对电路模型的分析计算来预测实际电路的特性，从而改进实际电路的电气特性和设计出新的电路。

任务：掌握电路的基本理论和电路分析的方法。

四、实际电路和电路模型

● 电路模型是实际电路抽象而成，它近似地反映实际电路的电气特性。

● 电路模型由一些理想电路元件用理想导线联结而成。用不同特性的电路元件按照不同

的方式联结就构成不同特性的电路。 ● 电路模型的表示方法：

电路模型 电气特性

计算分析

实际电路

● (1) 电路图 (2) 电路数据(表格或矩阵)

●它表示

● (1)电路元件的特性

● (2)元件间的联结关系。

本课程主要讨论电路模型，常简称为电路，请同学注意加以区别。常用电路图来表示电路模型

图1 手电筒电路

(a) 实际电路 (b) 电原理图 (c) 电路模型 (d) 拓扑结构图

图2 晶体管放大电路

(a)实际电路(b)电原理图(c)电路模型(d)拓扑结构图

电路模型近似地描述实际电路的电气特性。根据实际电路的不同工作条件以及对模型

精确度的不同要求，应当用不同的电路模型模拟同一实际电路。现在以线圈为例加以说明。

图3 线圈的几种电路模型

(a)线圈的图形符号(b)线圈通过低频交流的模型

(c)圈通过高频交流的模型

§ 1.2 电路的基本物理量

为了定量地描述电路的性能，电路中引入一些物理量作为电路变量。

通常分为两类：基本变量和复合变量。

电流、电压由于易测量而常被选为基本变量。 复合变量包括功率和能量等。

●一般它们都是时间t的函数。

一、电压和电流的参考方向●

1. 电路基本物理量的实际方向

物理中对基本物理量规定的方向

2. 电路基本物理量的参考方向 (1) 参考方向

在分析与计算电路时，对电量任意假定的方向。由正到负 (2) 参考方向的表示方法

电流： 双下标I ab 箭标

电压：正负极性 双下标U ab 箭标

(3) 实际方向与参考方向的关系

实际方向与参考方向一致，电流(或电压)值为正值； 实际方向与参考方向相反，电流(或电压)值为负值。

例：

若 I = 5A ，则电流从 a 流向 b ；

物理量

实 际 方 向 电流 I

正电荷运动的方向

电动势E

(电位升高的方向)

电压 U (电位降低的方向) 高电位 → 低电位

单 位

kA 、A 、mA 、μA 低电位 → 高电位 kV 、V 、mV 、μV kV 、V 、mV 、μV

R

U + –

I a

b

R

I

a

b

R

U

+

-

u i

N (a)

u i N (b)

R

U

+ –

I

若 I = –5A ，则电流从 b 流向 a 。

若 U = 5V ，则电压的实际方向从 a 指向 b ；

若 U= –5V ，则电压的实际方向从 b 指向 a 。

注意：

在参考方向选定后，电流 ( 或电压 ) 值才有正负之分。

（４）元件电压和电流一致的参考方向

U 、I 参考方向相同时（关联）U = I R U 、I 参考方向相反时（非关联） U = – I R

表达式中正负号由U 、I 参考 通常取 U 、I 参考方向相同（称方向的关系确定。

为Ｕ、Ｉ一致的参考方向），以简化表达式。 ● 选定Ｉ的参考方向，则Ｕ的参考方向取与Ｉ一致 ● 选定Ｕ的参考方向，则Ｉ的参考方向取与Ｕ一致

判断R3上电流I3的方向？ 参考方向假设说明两点：

1、原则上可任意设定；

2、习惯上：

A 、凡是一眼可看出电流方向的，将此方向为参考方向；

B 、对于看不出方向的，可任意设定。

如果电路复杂或电源为交流电源，则电流的实际方向难以标出。交流电路中电流方向是随时间变化的。

二、功率(power)与能量( enerage)

1、功率的定义

单位时间电场力所做的功称为电功率，即：

()()dt t dw t p =

I

I 1I

2I 3?

R

1R 2R

3

R

4R

5U S

简称功率，单位是瓦[特]（W ）。

2、功率与电压u 、电流i 的关系

如图(a)所示电路N 的u 和i 取关联方向,由于i = d q/dt ，u = dw/dq ，故电路消耗的功率为

p(t) = u(t) i(t)

对于图(b) ，由于对N 而言u 和i 非关联，则N 消耗的功率为

p(t) = - u(t) i(t)

3、功率的计算

利用前面两式计算电路N 消耗的功率时，

①若p>0，则表示电路N 确实消耗（吸收）功率；

②若p<0，则表示电路N 吸收的功率为负值，实质上它将产生（提供或发出）功率。 由此容易得出，当电路N 的u 和i 关联（如图a ），N 产生功率的公式为

p(t) = - u(t) i(t)

当电路N 的u 和i 非关联（如图a ） ，则N 产生功率的公式为

p(t) = u(t) i(t)

思考与练习

1、 为什么在分析电路时，必须规定电流的参考方向和电压的参考极性？参考方向与实际方向有什么关系？

2、 求图中各二端元件的吸收功率。

4、能量的计算

根据功率的定义

()()

dt t dw t p =

，两边从-∞到t

积分，并考虑w(-∞) = 0，得

()()()()ξ

ξξξ

ξd d i u p t w t

t

??∞

-∞-==（设u 和i 关联）

对于一个二端元件（或电路），如果w(t)≥0，则称该元件（或电路）是无源的或是耗能元件（或电路）。

三、常用国际单位制（SI ）词头

因数 原文名称（法）

中文名称 符号 109 giga 吉 G 106 mega 兆 M 103 kilo 千 k 10-3 milli 毫 m 10-6 micro 微 μ 10-9

nano

纳

n

10-12

pico 皮 p p(t) = -u(t) i(t)

前面介绍电流、电压、功率和能量的基本单位分别是安（A)、伏（V)、瓦（W)、焦耳（J)，有时嫌单位太大（无线电接受），有时又嫌单位太小（电力系统），使用不便。我们便在这些单位前加上国际单位制（SI ）词头用以表示这些单位被一个以10为底的正次幂或负次幂相乘后所得的SI 单位的倍数单位。

基尔霍夫(G.R.Kirchhoff) (1824-1887)

德国物理学家,以他对光谱分析，光学，和电学的研究著名。基尔霍夫给欧姆定律下了严格的数学定义。还于1860年发现铯和鉫元素。在他还是23岁大学生的时候就提出了著名的电流定律和电压定律，这成为集中电路分析最基本的依据。 § 1.3 基尔霍夫定律

1847年，基尔霍夫 (G.R.Kirchhoff) 提出两个定律：

基尔霍夫电流定律(Kirchhoff ’s Current Law,简记KCL) 基尔霍夫电压定律(Kirchhoff ’s Voltage Law,简记KVL)。

它只与电路的结构有关，而与构成电路的元件性质无关。 一、电路图的有关术语 1、支路（branch)：

①每个电路元件可称为一条支路； ②每个电路的分支也可称为一条支路。

支路上电流和电压分别称为支路电流和支路电压。

p(t) = u(t) i(t)

2、节点/结点(note)

支路的连接点。电路元件的连接点。

图示电路中，a、b、c点是结点，d点和e点间由理想导线相连，应视为一个结点。该电路共有4个结点。

3、回路：

由支路组成的任何一个闭合路径。

图示电路中 {1,2}、{1,3,4}、{1,3,5,6}、{2,3,4}、{2,3,5,6}和{4,5,6}都是回路。

12

34

5

6

a a'

b b'

c d

注：

①若将每个电路元件作为一个支路；则图中有6条支路，4个节点(a、b、c、d)，注意：由于a点与a’点是用理想导线相连，从电气角度看，它们是同一节点，可以合并为一点。b 点与b’点也一样。

②若将每个电路分支作为一个支路；则图中只有4条支路，2个节点(a和b) 。

4、网孔：

将电路画在平面上内部不含有支路的回路，称为网孔。

若N 图示电路中的{1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}回路都是网孔。

网孔与平面电路的画法有关，例如将图示电路中的支路1和支路2交换位置，则三个网孔变为{1,2}、{1,3,4}和{4,5,6}。

注：平面电路是指能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路。

{1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}是网孔。

二、基尔霍夫电流定律KCL

1、KCL 内容

KCL 描述了电路中与节点相连各支路电流之间的相互关系，它是电荷守恒在集总参数电路中的体现。

对于集总参数电路中的任一节点，在任一时刻，流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。

例：对右图所示电路a 节点，利用KCL 得KCL 方程为：

i 2 + i 3 = i 1+ i 4

或流入节点a 电流的代数和为零，即： - i 1+ i 2+ i 3- i 4= 0

或流出节点a 电流的代数和为零即： i 1- i 2- i 3 + i 4= 0

例如下图所示电路中的 a 、b 、c 、d 4个结点写出的 KCL 方程分别为：

0321=++i i i 0543=++-i i i 065=+-i i

KCL 方程是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程，它对连接到该结点的各支路电流施加了线性约束。

若已知i 1=1A, i 3=3A 和i 5=5A ，则由 KCL 可求得：

06421=----i i i i

1

234

i

1

a i 2i

3i

4

A 4A 3A 1 0312321-=--=--=→=++i i i i i i A 2A 5A 30534543-=-=-=→=++-i i i i i i A 505665==→=+-i i i i

此例说明，根据KCL ，可以从一些电流求出另一些电流。

2、对KCL 的说明

①不仅适用于节点，而且适用于任何一个封闭曲面。

例：对图(a)有 i 1+ i 2 - i 3 = 0，

对图(b)有 i = 0， 对图(c)有

i 1 = i 2 。

② 应用KCL 列写节点或闭合曲面方程时，首先要设出每一支路电流的参考方向，然后根据参考方向取符号：选流出节点的电流取正号则流入电流取负号或选流入节点的电流取正号则流出电流取负号均可以，但在列写的同一个KCL 方程中取号规则应一致。 ③ 应将KCL 代数方程中各项前的正负号与电流本身数值的正负号区别开来。

④ KCL 实质上是电荷守恒原理在集总电路中的体现。即，到达任何节点的电荷既不可能增生，也不可能消失，电流必须连续流动。 从以上叙述可见：

KCL 的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电流，求出另外一些支路电流，即 集总参数电路中任一支路电流等于与其连接到同一结点(或封闭面)的其余支路电流的代数和，即

∑==m

k k

i i 2

1

流出结点的i 1取正号时，流出结点的i k 取负号。

思考与练习

l －3－l 求图 l －3－1电路中的电流i.

2

4

i 1i 2

i 3

i =?165

S 3

(a)A B

(b)C D (c)i 1i 2

123

45u

1

u

2u

3

u

4u

5

a

b

c

d

e

6u

6

解:A 3 0A 2A 1-=→=---i i

三、基尔霍夫电压定律KVL

1、KVL 内容

KVL 描述了回路中各支路（元件）电压之间的关系，它是能量守恒在集总参数电路中的体现。

对于集总参数电路，在任一时刻，沿任一回路巡行一周，各支路（元件）电压降的代数和为零。

列写KVL 方程具体步骤为：

（1）首先设定各支路的电压参考方向； （2）标出回路的巡行方向

（3）凡支路电压方向（支路电压“+”极到“-”极的方向）与巡行方向相同者取“+”，反之取“-”。 2、举例

右图为某电路中一回路，从a 点开始按顺时针方向(也可按逆时针方向）绕行一周，有： u 1- u 3+u 5+u 4–u 2 = 0当绕行方向与电压参考方向一致（从正极到负极），电压为正，反之为负。

3、说明:

①用于求两点间的电压，如u6。

则对回路a-d-e 有 u6 + u 4 – u2 = 0 → u6 = u 2 – u4 则对回路a-b-c-d 有

u1- u3+ u5 - u6 = 0 → u6 = u1- u3+ u5

u i 电阻元件的电路符号

R

u6 = u 2 – u4 = u1- u3+ u5 求a 点到d 点的电压：

uad= 自a 点始沿任一路径，巡行至d 点，沿途各支路电压降的代数和。

② 对回路中各支路电压要规定参考方向；并设定回路的巡行方向，选顺时针巡行和逆时针巡行均可。巡行中，遇到与巡行方向相反的电压取负号；

③ 应将KVL 代数方程中各项前的正负号与电压本身数值的正负号区别开来。 ④ KVL 实质上是能量守恒原理在集总电路中的体现。

因为在任何回路中，电压的代数和为零，实际上是从某一点出发又回到该点时，电压的升高等于电路的降低。

§ 1.4 电阻（resistor)元件

电路中最简单、最常用的元件是二端电阻元件，它是实际二端电阻器件的理想模型。

一、电阻元件与欧姆定律

电阻元件的定义

若一个二端元件在任意时刻，其上电压和电流之间的关系

(VCR ：Voltage Current Relation ，)，能用u~i 平面上的一条曲线表示，即有代数关系 f (u ，i) = 0 则此二端元件称为电阻元件。 元件上的电压电流关系VCR 也常称为伏安关系(VAR)或伏安特性。

电阻元件的电路符号 2、电阻的分类

① 如果电阻元件的VCR 在任意时刻都是通过u-i 平面坐标原点的一条直

线，如图(a)所示，则称该电阻为线性时不变电阻，其电阻值为常量，用R 表示。

②若直线的斜率随时间变化(如图(b)所示)，则称为线性时变电阻。

③若电阻元件的VCR 不是线性的(如图(c)所示) ，则称此电阻是非线性电阻。

本课程重点讨论：线性时不变电阻。 3、欧姆定律

对于（线性时不变）电阻而言，其VCR 由著名的欧姆定律(Ohm ’s Law)确

定。

u

R i

u 与i 关联时：u (t ) = R i

(t )u

R i

u 与i 非关联时：u (t ) = - R i (t )

电阻的单位为：欧[姆](Ω)。

电阻的倒数称为电导(conductance)，用G 表示，即 G = 1/R , 电导的单位 是：西[门子](S)。 应用OL 时注意：

①欧姆定律只适用于线性电阻，非线性电阻不适用；②电阻上电压电流参考方向的关联性。

u i

0(a)u

i 0(b)t=t 1

t=t 2

t=t 3

u

i 0(c)

4、两种特殊情况

①开路(Open circuit)：R=∞，G=0，伏安特性

t

)(0)(???

?=任意

t u t i

②短路(Short circuit) ： R=0 ，G=∞，伏安特性

t

)(0)(???

?=任意

t i t u

二、R 吸收的功率

W

18)A 3()V 6(222=-?-==I U P G

u R i ui t p 22)(===对于正电阻R 来说，吸收的功

率总是大于或等于零。

三、举例

例1 阻值为2Ω的电阻上的电压、电流参考方向关联，已知电阻上电压u(t) = 4cost (V)，求其上电流i(t)和消耗的功率p(t)。

解： 因电阻上电压、电流参考方向关联，由OL 得其上电流

i(t) = u(t) /R = 4cost/2 = 2cost (A) 消耗的功率： p(t) = R i2(t) = 8 cos2t (W)。

例2 如图所示部分电路，求电流I 和18 Ω 电阻消耗的功率。 解：在b 点列KCL 有 i 1 = i + 12，

在c 点列KCL 有

i 2 = i 1 + 6 = i + 18 ，

在回路abc 中，由KVL 和OL 有

18i + 12i 1 +6i 2 = 0

即

18 i + 12(i + 12) +6(i + 18 )

= 0

解得 i = -7(A) ， PR = i 2×18 = 882(W)

电 源

电源是有源的电路元件，它是各种电能量（电功率）产生器的理想化模型。

i

12Ω6Ω

18Ω

6A 12A

i

1i

2a

b c

独立电源，独立电压源，简称电压源(Voltage Source)，独立电流源，简称电流源(Current Source)

非独立电源，常称为受控源 (Controlled Source)

§ 1.5 电压源

一、电压源定义

若一个二端元件接到任何电路后，该元件两端电压总能保持给定的时间函数uS(t)，与通过它的电流大小无关，则此二端元件称为电压源。

元件上的电压电流关系VCR 也常称为伏安关系(VAR)或伏安特性。

u S

i

U S

u S (t 1)u

电压源符号

电池符号

伏安特性

u S i

R

u

6V

R = 6 Ω，u = 6V ，i =1 A ：R = 3Ω，u = 6V ，i = 2A ：R = 0Ω，u = 6V ，i = ∞

二、电压源的性质

从定义可看出它有两个基本性质:

①其端电压是定值或是一定的时间函数，与流过的电流无关，当uS = 0，电压源相当于短路。 ②电压源的电压是由它本身决定的，流过它的电流则是任意的，由电压源与外电路共同决定。 三、需注意的问题

① 理想电压源在现实中是不存在的； ② 实际电压源不能随意短路。

③对电压源电流、电压参考方向一般设为非关联方向，但因为电流有正有负，故理想电压源可能产生功率，也可能从外电路吸收功率。

§ 1.6 电流源

一、电流源定义

若一个二端元件接到任何电路后，该元件上的电流总能保持给定的时间函数iS(t)，与其两端的电压的大小无关，则此二端元件称为电流源。

u (t ) = u S (t )，任何t

i (t )任意

i S

i

i S (t 1)

u 电流源符号伏安特性

u S i

R

u

6V

u (t )任意

i (t ) = i S (t )，任何t

R = 0 Ω，i = 2A ，u = 0 V R = 3Ω， i = 2A ，u = 6 V R = 6Ω， i = 2A ，u = 12 V

二、电流源的性质

从定义可看出它有两个基本性质:

①其上电流是定值或是一定的时间函数，与它两端的电压无关。当 iS = 0，电流源相当于开路。

②电流源的电流是由它本身决定的，其上的电压则是任意的，由电流源与外电路共同决定。 三、需注意的问题

①理想电流源在现实中是不存在的； ②实际电流源不能随意开路。 四、举例

例1 如图电路，已知i2 =1A ，试求电流i1、电压u 、电阻R 和两电源产生的功率。

i S i

R

u

2A

G = 1/R , 电导的单位

解：由KCL i 1 = i S – i 2 = 1A 故电压 u = 3 i 1 + u S =3+5 = 8(V) 电阻 R = u / i 2 = 8/1 = 8Ω

i S 产生的功率 P 1 = u i S = 8×2 = 16 (W)

u S 产生的功率 P 2 = - u i 1 = - 5×1 = - 5 (W)

可见，独立电源可能产生功率，也可能吸收功率。 例2 如图电路，求电流i 和电压u AB 。