论文二重极限计算方法

师学院

本科毕业论文

题目：二重极限的计算方法

学生：王伟

学院：数学科学学院

专业：数学与应用数学

班级：应数一班

指导教师：国明老师

二〇一四年四月

摘要

函数极限是高等数学中非常重要的容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract

The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.

keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

序言 (1)

1二重极限的计算方法小结 (2)

1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)

1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)

1.3采用对数法求极限 (3)

1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)

1.5等价无穷小代换 (4)

1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)

1.7多元函数收敛判别方法 (4)

1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)

1.9极坐标代换法 (6)

1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)

1.11利用连续性求极限 (6)

1.12利用洛必达法则求极限 (7)

1.13利用单调有界准则求极限 (7)

1.14利用导数的定义求极限 (7)

1.15变量代换法 (8)

1.16复合函数求极限的方法 (8)

1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)

1.18取倒数方法 (9)

1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)

1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)

1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)

1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)

1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)

1.24利用matlab求二重极限 (11)

2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)

总结 (14)

参考文献 (15)

致 (16)

序言

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量)

f的不同类型，探索

x的不同变化趋势和函数)

得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。

1、二重极限的计算方法小结

1.1 利用特殊路径猜得极限值再加以验证

利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。

例1 、讨论2

23),(y x y

x y x f +=，在点(0,0)的极限。

解：令mx y = 01lim )1(lim lim 22

02402230=+=+=+→→→→→m

m x m mx y x y x x mx y x mx y x 应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 2

2300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。

下面再利用定义法证明：0>?ε，取εδ2=

当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x

由于2

232120x xy y x y

x y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x y x y x 故.0lim 22300=+→→y x y

x y x 注意（1）ε的任意性（2）δ一般随而变化

（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域有围（A+ε，A-ε）。

1.2 由累次极限猜想极限值再加以验证

先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证例2 、设)0(1

sin

)(),(222222≠+++=y x y

x y x y x f 。求),(lim 00y x f y x →→ 解： 0),(lim lim 0

0=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的

)0,0(),(≠y x

有2

2222

2221sin

)(0),(y x y x y

x y x y x f +≤+≤++=-， 0>?ε 取2

εδ

，当δ

就有ε<-++01

sin

)(2

222y x y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x

1.3 采用对数法求极限

利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 、求xy

y x xy sin 1

1(lim ++

→→

解：xy

xy xy

xy y x xy

y x xy

y x xy e

xy e

xy )1ln(lim )

1ln(lim

)

1(lim sin 001sin 100sin 100+=

+→→→→→→

因为

1sin lim

00=+

+→→xy

y x 而且1ln )1ln(lim 1

00==++

+→→e xy xy y x 所以

e xy xy

y x =++

→→sin 1

1(lim

1.4 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限

e x x x x x

x =+=???

??+→∞→1

)1(lim 11lim 1sin lim

0=→x

x 类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之

例4 、求（1）)

(12

1(lim y x x y x x +→→+ （2）x xy

a y x sin lim

0→→

解：（1）因为e x x

x =+→10

)1(lim ，2

1lim

0=+→→y x y x

民间借贷利息计算方法完整版

2017-04-15 导读：关于民间借贷中的利息计算，最高人民法院在《关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》中进行了比较详细的规定，但是如果不谙其中计算原理，可能会得出迥然不同的结论，自然带给当事人的结果也会大相径庭，故为方便且快捷掌握其中要点，本文从如下三个角度对利息的算法进行了总结。一、民间借贷期内利息 1、双方约定利息法院对约定的利息认定与处理如图所示，年利率在低于24%区间，法院支持；在24%-36%区间，法院处于中立地位，如果当事人自愿支付，后悔想要回法院不会支持，反之，如果出借人索要此部分利息，法院也不会支持，通俗点理解就是“给了别想要回，不给也别想要”；超过红线36%，法院的强硬态度便立刻闪现，即不论何种情形，一律不予支持。具体参见《关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》（以下简称‘规定’）相关法条：第二十六条“借贷双方约定的利率未超过年利率24%，出借人请求借款人按照约定的利率支付利息的，人民法院应予支持。借贷双方约定的利率超过年利

率36%，超过部分的利息约定无效。借款人请求出借人返还已支付的超过年利率36%部分的利息的，人民法院应予支持。” 第二十八条“借贷双方对前期借款本息结算后将利息计入后期借款本金并重新出具债权凭证，如果前期利率没有超过年利率24%，重新出具的债权凭证载明的金额可认定为后期借款本金；超过部分的利息不能计入后期借款本金。约定的利率超过年利率24%，当事人主张超过部分的利息不能计入后期借款本金的，人民法院应予支持。按前款计算，借款人在借款期间届满后应当支付的本息之和，不能超过最初借款本金与以最初借款本金为基数，以年利率24%计算的整个借款期间的利息之和。出借人请求借款人支付超过部分的，人民法院不予支持。” 第三十二条“借款人可以提前偿还借款，但当事人另有约定的除外。借款人提前偿还借款并主张按照实际借款期间计算利息的，人民法院应予支持。” 2、双方没有约定利息 1）没有约定利息，出借人主张期内利息，不被法院支持。 2）借款人自愿支付，后又反悔以不当得利为由要求返还的，不超过年利率36%部分的利息，法院均不支持；超过36%红线部分利息法院始终支持返还。

利息计算

利息计算公式储蓄存款利率是由国家统一规定，中国人民银行挂牌公告。利率也称为利息率，是在一定日期内利息与本金的比率，一般分为年利率、月利率、日利率三种。年利率以百分比表示，月利率以千分比表示，日利率以万分比表示。 1 计算公式储蓄存款利率是由国家统一规定，中国人民银行挂牌公告。利率也称为利息率，是在一定日期内利息与本金的比率，一般分为年利率、月利率、日利率三种。年利率以百分比表示，月利率以千分比表示，日利率以万分比表示。如年息九厘写为 9%，即每百元存款定期一年利息9元，月息六厘写为6‰，即每千元存款一月利息6元，日息一厘五毫写为 1.5‰0，即每万元存款每日利息1元5角，目前我国储蓄存款用月利率挂牌。为了计息方便，三种利率之间可以换算，其换算公式为：年利率÷12=月利率；月利率÷30=日利率；年利率 ÷360=日利率. 2 计息起点储蓄存款利息计算时，本金以“元”为起息点，元以下的角、分不计息，利息的金额算至分位，分位以下四舍五入。分段计息算至厘位，合计利息后分以下四舍五入。 3 计算规定 1、算头不算尾，计算利息时，存款天数一律算头不算尾，即从存入日起算至取款前一天止； 2、不论闰年、平年，不分月大、月小，全年按360天，每月均按30天计算； 3、对年、对月、对日计算，各种定期存款的到期日均以对年、对月、对日为准。即自存入日至次年同月同日为一对年，存入日至下月同一日为对月； 4、定期储蓄到期日，比如遇例假不办公，可以提前一日支取，视同到期计算利息，手续同提前支取办理。利息的计算公式：本金×年利率（百分数）×存期

如果收利息税再×（1-5%）本息合计=本金+利息应计利息的计算公式是：应计利息=本金×利率×时间应计利息精确到小数点后12位，已计息天数按实际持有天数计算。 PS：存期要与利率相对应，不一定是年利率，也可能是日利率还有月利率。一、计算利息的基本公式储蓄存款利息计算的基本公式为：利息=本金×存期×利率二、利率的换算年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：年利率=月利率×12（月）=日利率×360（天）；月利率=年利率÷12（月）=日利率×30（天）；日利率=年利率÷360（天）=月利率÷30（天）。使用利率要注意与存期相一致。三、计息起点 1、储蓄存款的计息起点为元，元以下的角分不计付利息。 2、利息金额算至厘位，实际支付时将厘位四舍五入至分位。 3、除活期储蓄年度结算可将利息转入本金生息外，其他各种储蓄存款不论存期如何，一律于支取时利随本清，不计复息。四、存期的计算 1、计算存期采取算头不算尾的办法。 2、不论大月、小月、平月、闰月，每月均按30天计算，全年按360天计算。 3、各种存款的到期日，均按对年对月对日计算，如遇开户日为到期月份所缺日期，则以到期月的末日为到期日。五、外币储蓄存款利息的计算外币储蓄存款利率遵照中国人民银行公布的利率执行，实行原币储蓄，原币计息（辅币可按当日外汇牌价折算成人民币支付）。其计息规定和计算办法比照人民币储蓄办法。 4 贷款利息计算的基本常识 (一)人民币业务的利率换算公式为（注：存贷通用）： 1.日利率(0／000)＝年利率(％)÷360=月利率(‰)÷30 2.月利率(‰)＝年利率(％)÷12 (二)银行可采用积数计息法和逐笔计息法计算利息。 1.积数计息法按实际天数每日累计账户余额，以累计积数乘以日利率计算利息。计息公式为：利息＝累计计息积数×日利率，其中累计计息积数＝每日余额合计数。 2.逐笔计息法按预先确定的计息公式利息=本金×利率×贷款期限逐笔计算利息，具体有三：计息期为整年(月)的，计息公式为： ①利息＝本金×年(月)数×年(月)利率计息期有整年(月)又有零头天数的，计息公式为：

建设期融资利息计算公式

预备费及建设期融资利息一、预备费预备费包括基本预备费和价差预备费。 1.基本预备费主要为解决在工程施工过程中，经上级批准的设计变更和国家、自治区政策变动增加的投资，预防自然灾害而采取的措施，以及弥补一般自然灾害和解决意外事故造成的损失中工程保险未能补偿部分而预留的费用。计算方法：根据工程规模、施工年限和地质条件等不同情况，按工程一至五部分投资合计（依据分年度投资表）的百分率计算。初步设计阶段为5%～8%。 2.价差预备费主要为解决在工程项目建设过程中，因人工工资、材料和设备价格上涨以及费用标准调整而增加的投资。计算方法：根据施工年限、以资金流量表的静态投资为计算基数。按国家发展和改革委员会根据物价变动趋势发布的年物价指数计算。注意：价差预备费系按开工至竣工的合理建设工期和固定物价上涨指数计算的。现在编制规定中的算法没有包括编制年至工程开工年这段时间的物价上涨因素。如果当年编制概算，当年工程开工，则第一年价差预备费应为零，将开工第二年作为第一年。

计算公式为： ∑=-+=N 1 n 1]n P） Fn[（1E 式中： E ──价差预备费； N ──合理工期； n ──施工年度； Fn ──建设期间第n 年的静态投资； P ──年物价指数。二、建设期融资利息根据国家财政金融政策规定，工程在建设期内需偿还并应计入工程总投资的融资利息。编制规定中的建设期融资利息计算公式是按完整年度年利率（即每年计息一次）考虑的，与实际工程年度有时会有所差异，但在概算阶段一般认为是可以的。若需要较精确融资利息，可将（1）开工年的借款额按实际月数平均，根据月利息计算。（2）竣工年的借款额按实际月数平均根据月利息计算，前面所有借款额之和根据月利息计算，最后求和。（3）中间其他各年正常计算。注意要与经济评价一致。计算公式为： ]i S ）b F 21b F [(S 1n 0m m n n n 1m m m N 1n ∑∑∑-===+-= 式中：

求极限的方法总结

学号：0 学年论文求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日

摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

高等数学极限计算方法总结

极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x x x

（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；

各种利息计算方法例题

.各种利息计算方法例题利息计算基本公式：利息=本金×利率×存期=本金×天数×日利率=本金×月数×月利率税后利息=利息×80% 天数计算=月×30天+另头天数（如4月24日即为144天）利率表示法：%代表年利率，‰代表月利率，万分比代表日利率。 1、活期储蓄存单：按实际存期有一天算一天，大小月要调整。现行日利率为每天0.2元。例：2006年2月18日存入的活期存单一张，金额为1000元，于06年05月08日支取。问应实付多少利息？解：（158-78-1）天×0.1万×0.2元=1.58元 2、定期存款利息计算： A、提前支取按活期存单的计算方法计算。 B、到期支取的利息=本金×年利率×年数 C、过期支取的利息=到期息＋过期息（到期息参照B，过期息参照A）实付利息=应付利息×80% 例：※2006年03月16日存入一年期存款一笔，金额为50000元，于2006年9月3日支取，利率为2.25%,问应付给储户本息多少？解：实付息=（273-106+4）天×5万×0.2元=171元本息合计=50000+171=50171元 ※2001年6月16日存入五年期存款一笔,金额为20000元,利率为2.88%,于2006年6月16日支取,问应实付多少利息? 解：实付息=20000×2.88%×5年 =2880元. ※2003年01年27日存入三年期存款一笔,金额为12000元,利率2.52%,于2006年6月16日支取,问实付利息为多少? 解：到期息=12000×2.52%×3年=907.2元过期息=(196-57+1)×1.2万×0.2元=33.60元实付利息=(到期息+过期息)=(907.2+34.08)=940.08元.

民间借贷民事诉讼法利息计算方法

民间借贷民事诉讼法利息计算方法民间借贷民事诉讼法利息计算方法是怎么样的呢，它是根据什么法条的呢?下面小编来为大家讲讲相关内容。一、民间借贷期内利息 1、双方约定利息法院对约定的利息认定与处理如图所示，年利率在低于24%区间，法院支持;在24%-36%区间，法院处于中立地位，如果当事人自愿支付，后悔想要回法院不会支持，反之，如果出借人索要此部分利息，法院也不会支持，通俗点理解就是"给了别想要回，不给也别想要";超过红线36%，法院的强硬态度便立刻闪现，即不论何种情形，一律不予支持。具体参见《关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》(以下简称'规定')相关法条：第二十六条"借贷双方约定的利率未超过年利率24%，出借人请求借款人按照约定的利率支付利息的，人民法院应予支持。借贷双方约定的利率超过年利率36%，超过部分的利息约定无效。借款人请求出借人返还已支付的超过年利率36%部分的利息的，人民法院应予支持。" 第二十八条"借贷双方对前期借款本息结算后将利息计入后期借款本金并重新出具债权凭证，如果前期利率没有超过年利率24%，重新出具的债权凭证载明的金额可认定为后期借款本金;超过部分的利息不能计入后期借款本金。约定的利率超过年利率24%，当事人主

张超过部分的利息不能计入后期借款本金的，人民法院应予支持。按前款计算，借款人在借款期间届满后应当支付的本息之和，不能超过最初借款本金与以最初借款本金为基数，以年利率24%计算的整个借款期间的利息之和。出借人请求借款人支付超过部分的，人民法院不予支持。" 第三十二条"借款人可以提前偿还借款，但当事人另有约定的除外。借款人提前偿还借款并主张按照实际借款期间计算利息的，人民法院应予支持。" 2、双方没有约定利息 1)没有约定利息，出借人主张期内利息，不被法院支持。 2)借款人自愿支付，后又反悔以不当得利为由要求返还的，不超过年利率36%部分的利息，法院均不支持;超过36%红线部分利息法院始终支持返还。参考法条： '规定'第二十五条第一款"借贷双方没有约定利息，出借人主张支付借期内利息的，人民法院不予支持。" 第三十一条"没有约定利息但借款人自愿支付，或者超过约定的利率自愿支付利息或违约金，且没有损害国家、集体和第三人利益，借款人又以不当得利为由要求出借人返还的，人民法院不予支持，但借款人要求返还超过年利率36%部分的利息除外。" 3、双方约定不明 1)自然人之间约定不明，法院不支持期内利息。

归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

归纳函数极限的计算方法摘要：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极

求极限的方法总结

求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。二、分子分母同除求极限求极限limx→∞x3-x23x3+1 ∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13 三、分子(母)有理化求极限例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1) 分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 ()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x 例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx3 30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=() x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→= 41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。四、应用两个重要极限求极限

(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求极限limx→∞(x+1x-1)x 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。 limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2 五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求limx→∞sinxx 因为sinx≤1, limx→∞1x=0,所以limx→∞sinxx=0 六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex1， 1-cosx~12x2，(1+ax)b-1~abx 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例：limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0xx12x2=2

银行存款利息计算方法(一)

银行存款利息计算方法(一) 存款利息计算的有关规定 1、存款的计息起点为元，元以下角分不计利息。利息金额算至分位，分以下尾数四舍五入。除活期储蓄在年度结息时并入本金外，各种储蓄存款不论存期多长，一律不计复息。 2、到期支取：按开户日挂牌公告的整存整取定期储蓄存款利率计付利息。 3、提前支取：按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息。部分提前支取的，提前支取的部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息，其余部分到期时按开户日挂牌公告的整存整取定期储蓄存款利率计付利息，部分提前支取以一次为限。 4、逾期支取：自到期日起按存单的原定存期自动转期。在自动转期后，存单再存满一个存期（按存单的原定存期），到期时按原存单到期日挂牌公告的整存整取定期储蓄存款利率计付利息；如果未再存满一个存期支取存款，此时将按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息。 5、定期储蓄存款在存期内如遇利率调整，仍按存单开户日挂牌公告的相应的定期储蓄存款利率计算利息。 6、活期储蓄存款在存入期间遇有利率调整，按结息日挂牌公告的活期储蓄存款利率计算利息。 7、大额可转让定期存款：到期时按开户日挂牌公告的大额可转让定期存款利率计付利息。不办理提前支取，不计逾期息。欢迎到无忧财务具体计算方法 1、计算活期储蓄利息：每年结息一次，7月1日利息并入本金起息。未到结息日前清户者，按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息，利息算到结清前一天止。确定存期：在本金、利率确定的前提下，要计算利息需要知道确切的存期。在现实生活中，储户的实际存期很多不是整年整月的，一般都带有零头天数，这里介绍一种简便易行的方法，可以迅速准确地算出存期，即采用以支取日的年、月、日分别减去存入日的年、月、日，其差数为实存天数。例如：支取日：1998年6月20日－存入日：1995年3月11日=3年3月9日按储蓄计息对于存期天数的规定，换算天数为：3×360（天）3×30（天）9如果发生日不够减时，可以支取“月”减去“1”化为30天加在支取日上，再各自相减，其余类推。这种方法既适合用于存款时间都是当年的，也适用于存取时间跨年度的，很有实用价值。 2、计算零存整取的储蓄利息到期时以实存金额按开户日挂牌公告的零存整取定期储蓄存款利率计付利息。逾期支取时其逾期部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息。

极限计算方法总结

极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。

银行存款利息计算方法实例演示

银行存款利息计算方法实例活期存款话说水母要开始找工作了，带着以前攒下的Money就到了一个陌生的城市，那天是2010－1－2，到了后就立即去银行办理了银行卡和存折，存了10,000元（活期存款1元即可开户）。这个就是活期存款了，经过一段时间的奔波，总算找到工作了，时间也走到2010－2－3，要开始上班了，一高兴于是取了3,000块钱好好的逛了下商场。转眼间一个月过去了，水母也领到了属于自己的第一份工资5,000元，工资直接打到办的银行卡上的。背景介绍完了，从上面大家应该能看到活期储蓄很灵活，随存随取，于是疑惑也来了:我这卡里的钱一会多一会少的，利息怎么算啊？不用着急，既然有问题，总是可以解决的，银行采用的是一种叫积数计息法的方法，所谓积数计息法就是按照实际天数每日累计账户余额，以累计积数乘以日利率计算计息的方法。积数计息法的计算公式如下: 活期储蓄计息公式:利息＝累计计息积数×日利率其中累计计息积数＝账户每日余额合计数，日利率×年利率÷360。 0日结息，因此我们只计算到2010年3月20日营业终了，银行该付给我们的利息。（2010年3月20日适用的活期存款利率为:0.36%）。由于在活期储蓄过程中，有过存取钱的记录，因此分为表格中的几个区间，累计计息积数就是各个区间计息积数的和，因此从2010·1·2～2010·3·20，获取的利息总共为: 利息＝累计计息积数×日利率＝（320,000＋252,000＋120,000）×（0.36%÷360）＝6.92元

活期存款的利息实在是太低了，大家就不用太纠结这个东西，大概知道怎么算的就行了，要想获得更多的利息，还是采用下面介绍的几种方式。零存整取随着工作稳定下来，每个月都有了固定的收入，为了迫使自己攒点钱，水母于2010－3－1去银行办理了零存整取业务，和银行约定每月存入2,000元，存期一年。在接下来的一年中，每个月水母都要去银行存入2,000元，要勒紧裤腰带过日子了，中间可千万别忘记去存了，要不然变成活期就亏大了。零存整取的开户方式和活期相同，只是在开户时需与银行约定每月存储金额和存期，零存整取每月五元起存，每月存入一次，中途如有漏存，应在次月补齐，存期一般分:一年、三年和五年；零存整取计息按实存金额和实际存期计算，具体利率标准按利率表执行。零存整取最重要的在于坚持，每月需要存入一次，中途如有漏存，可于次月补存，但次月未补存者则视同违约，到期支取时对违约之前的本金部分按实存金额和实际存期计算利息；违约之后存入的本金部分，按实际存期和活期利率计算利息。下面我们来看看零存整取的利息怎么个算法，活期储蓄的时候采用的是一种叫做积数计息法的算法，活期储蓄使用的是日积数法，零存整取采用的是月积数法，相对活期的计算要简单的多，下面是计算公式: 零存整取计息公式是:利息＝月存金额×累计月积数×月利率其中累计月积数＝（存入次数＋1）÷2×存入次数，按照这个算法我们可以很容易的算出一年期、三年期和五年期的零存整取的累计月积数分别为:78、666和1,830。转眼间一年时间过去了，水母来银行取钱了，我们来算算有多少利息（2 010年3月1日适用的一年期零存整取存款利率为:1.71%）利息＝月存金额×累计月积数×月利率＝2,000×78×1.71%÷12 ＝222.30元整存整取转眼一年时间过去了，水母的一年期零存整取也到期了，本金和利息一共是24,222.30元，目前也不急着用这些钱，怎么才能获取更多的利息呢，查了下银行业务发现定期的利率比较高，于是水母在2011－3－1去办理了整存整取业务，存

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱爱爱爱祝爱爱愿爱爱你爱爱永爱爱远爱爱被爱爱爱爱爱包爱爱围爱爱爱爱爱爱爱爱漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！高数中求极限的16种方法假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解：观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

论文二重极限计算方法

包头师范学院本科毕业论文题目：二重极限的计算方法学生姓名：王伟学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：应数一班指导教师：李国明老师二〇一四年四月

摘要函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

利率表示方法和利息的计算方法

利息计算方法及例题各种利息计算方法例题利息计算基本公式：利息=本金×利率×存期=本金×天数×日利率=本金×月数×月利率税后利息=利息×80% 天数计算=月×30天+另头天数（如4月24日即为144天）利率表示法：%代表年利率，‰代表月利率，万分比代表日利率。 1、活期储蓄存单：按实际存期有一天算一天，大小月要调整。现行日利率为每天0.2元。例：2006年2月18日存入的活期存单一张，金额为1000元，于06年05月08日支取。问应实付多少利息？解：（158-78-1）天×0.1万×0.2元×80%=1.26元 2、定期存款利息计算： A、提前支取按活期存单的计算方法计算。 B、到期支取的利息=本金×年利率×年数 C、过期支取的利息=到期息＋过期息（到期息参照B，过期息参照A）实付利息=应付利息×80% 例：※2006年03月16日存入一年期存款一笔，金额为50000元，于2006年9月3日支取，利率为2.2 5%,问应付给储户本息多少？解：实付息=（273-106+4）天×5万×0.2元×80%=136.80元本息合计=50000+136.8=50136.80元 ※ 2001年6月16日存入五年期存款一笔,金额为20000元,利率为2.88%,于2006年6月16日支取,问应实付多少利息? 解：实付息=20000×2.88%×5年×80%=2304元. ※ 2003年01年27日存入三年期存款一笔,金额为12000元,利率2.52%,于2006年6月16日支取,问实付利息为多少? 解：到期息=12000×2.52%×3年=907.2元过期息=(196-57+1)×1.2万×0.2元=33.60元实付利息=(到期息+过期息)×80%=(907.2+34.08)×0.8=752.64元. 3、利随本清贷款利息计算：方法与活期存单一样，按头际天数有一天算一天。逾期归还的，逾期部分按每天3/万计算。（现行计算方法是按原订利率的50%计算罚息） ※例：某户于2006年2月3日向信用社借款30000元，利率为10.8‰,定于2006年8月10日归还,若贷户于2006年7月3日前来归还贷款时,问应支付多少利息? 解：利息=（213-63+0）天×(10.8‰÷30)×30000元=1620元. ※例：某户于2005年10月11日向信用社借款100000元,利率为9.87‰,定于2006年5月10日到期,贷户于2006年6月15日前来归还贷款,问应支付多少利息? 解：利息=（160+360-311+2）天×100000元×(9.87‰÷30)+(195-160+1)天×100000元×(9.87‰÷30×1.5)=6941.90+1776.60=8718.50元 4、定活两便利息计算：存期不足三个月按活期存款利率计算。三个月以上六个月以下的整个存期按定期三个月的利率打六折计算，六个月以上一年以下的整个存期按定期六个月的利率打六折计算，超过一年的整个存期都按一年期利率打六折算。日期有一天算一天. 例：某存款户于2005年3月1日存入10000元定活两便存款，分别于2005年8月4日、2005年9月1 5日、2006年6月16日支取，问储户支取时分别能得多少利息？（三个月利率为1.71%,半年利率为2.0 7%,一年利率为2.25%）解：2005年8月4日支取时可得利息=(244-91+3)天×(1.71%÷360)×10000元×60%×80%=35.57元. 2005年9月15日可得利息=(285-91+4)天×(2.07%÷360)×10000元×60%×80%=54.65元.

考研数学极限计算方法：利用单侧极限

https://www.360docs.net/doc/6f12302183.html, 版权所有翻印必究考研数学极限计算方法：利用单侧极限今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan ),0121x e x x f x x x x x ?-+-?? 在0=x 处的极限。分析：在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即 1lim 22 1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==?=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x x x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0 =→x f x 。有一些特殊的分段函数，如,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，???? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x ，在脱绝对值时

版权所有翻印必究 https://www.360docs.net/doc/6f12302183.html, 2会出现负号，同时出现了e ∞，故分单侧计算极限， 11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→????+++ ? ?+=+=+= ? ? ? ?+++????，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→????+++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?+++???? ，所以1sin 12lim 410=???? ? ??+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，提高自己的解题能力。