(完整word版)2019高考概率真题解析概率问题中的递推数列

概率问题中的递推数列

一、a n =p ·a n －1+q 型

【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是1

2，从开关第二次闭合

起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是3

5，出现绿灯的概率

是2

5

，记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。 (1)求：P 2；

(2)求证：P n <1

2 (n ≥2) ；

(3)求lim n n P →∞

。

解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P 2=P 1·13+(1－P 1)·35=7

15

。

(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后出现绿灯的情况，有 P n =P n －1·13+(1－P n －1)·35=－415P n －1+3

5

，

再利用待定系数法：令P n +x =－415(P n －1+x )整理可得x =－9

19

∴{P n －919}为首项为(P 1－919)、公比为(－4

15)的等比数列

P n －919=(P 1－919)(－415)n －1=138(－415)n －1，P n =919+138(－415)n －

1

∴当n ≥2时，P n <919+138=12

(3)由(2)得lim n n P →∞

=9

19。

【例2】 A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，

(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率. 解析：第n 次由A 掷有两种情况：

① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为12

36P n －1；

② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为(1－12

36)(1－P n －1)。

∵两种情形是互斥的

∴P n =1236P n －1+(1－1236)(1－P n －1)(n ≥2)，即P n =－13P n －1+2

3

(n ≥2)

∴P n －12=－13(P n －1－1

2

)，(n ≥2)，又P 1=1

∴{P n －12}是以12为首项，－1

3为公比的等比数列。

∴P n －12=12(－13)n －1，即P n =12+12(－13)n －

1。

⑵2881

。 二、a n +1=p ·a n +f (n )型

【例3】 (传球问题)A 、B 、C 、D 4人互相传球，由A 开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A 手中，则不同的传球方式有多少种？若有n 个人相互传球k 次后又回到发球人A 手中的不同传球方式有多少种？

分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模型则可深入问题本质。

4人传球时，传球k 次共有3k 种传法。设第k 次将球传给A 的方法数共有a k (k ∈N *)种传法，则不传给A 的有3k －a k 种，故a 1=0，且不传给A 的下次均可传给A ，即

a k +1=3k －a k 。两边同除以3k +1得a k +13k +1=－13·a k 3k +13

，

令b k =a k 3k ，则b 1=0，b k +1－14=－13(b k －14)，则b k －14=－14(－13)k －

1

∴a k =3k 4+3

4(－1)k

当k =5时，a 5=60.

当人数为n 时，分别用n －1，n 取代3，4时，可得a k =(n －1)k n +n －1

n

(－1)k 。

【例4】 (环形区域染色问题)将一个圆环分成n (n ∈N *，n ≥3)个区域，用m (m ≥3)种颜色给这n 个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？

分析：设a n 表示n 个区域染色的方案数，则1区有m 种染法，2区有m －1种染法，3，……，n －1，n 区各有m －1种染色方法，依乘法原理共有m (m －1)n

－1

种染法，但是，这些染中包含了n 区可能和1区染上相同的颜色。而n 区与1区相同时，

就是n －1个区域涂上m 种颜色合乎条件的方法。

∴a n =m (m －1)n －

1－a n －1，且a 3=m (m －1)(m －2) a n －(m －1)n =－[a n －1－(m －1)n －

1] a n －(m －1)n =[a 3－(m －1)3](－1)n

－3 ∴a n =(m －1)n

+(m －1)(－1)n

(n ≥3)

用这个结论解：2003年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4种不同颜色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有 种。

只需将图变形为圆环形，1区有4种栽法。不同的栽法数为

1

2 3

n

n -1

……

1

2

3

4

5

6

1

2 3

4

5

6

N =4a 5=120。 三、a n +1=a n ·f (n )型

【例5】 (结草成环问题)现有n (n ∈N *)根草，共有2n 个草头，现将2n 个草头平均分成n 组，每两个草头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数。

分析：将2n 个草头平均分成n 组，每两个草头打结，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m 2=a n 。

将草头编号为1，2，3，……，2n －1，2n 。

草头1可以和新草头3，4，5，……，2n －1，2n 共2n －2个新草头相连，如右图所示。 假设1和3相连，则与余下共n －1条相连能成圆环的方法数为a n －1。 ∴a n =(2n －2)a n －1，(n ≥2，n ∈N *)，a 1=1，得a n

a n －1=2n －2

a n =a n a n －1·a n －1a n －2

·……·a 2a 1·a 1=(2n －2)(2n －4)……2×1=2n －

1(n －1)!

变式游戏：某人手中握有2n (n ∈N *)根草，只露出两端的各自2n 个草头，现将两端的2n 个草头各自随机平均分成n 组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率。

分析：两端的2n 个草头随机两个相连不同的方法数为N =( C 22n C 22n －2……C 22 n ! )2

能够构成圆环的连接方法分两步：

第一步，先将一端的2n 个草头平均分成n 组，每两根连接起来，得到n 组草，认为得到n 根“新草”，连接方法数m 1= C 22n C 22n －2……C 22

n ! 。

第二步，将另一端的2n 个草头平均分成n 组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m 2=2n －

1(n －1)!。 ∴所求的概率P n =m 1m 2N =(n －1)!n!22n －

1

(2n )!

变式：(06 江苏) 右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是(D )

（A ）445 （B ）136 （C ）415 （D ）8

15

四、a n +1=p ·a n +q ·a n －1型

【例6】 某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是1

2，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站.一

枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k 到k +1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从k 到k +2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为P n .

(1)求P 0、P 1、P 2的值；

4 ……

6 2n -1

2n

(2)求证：P n －P n －1=－1

2(P n －1－P n －2)，其中n ∈N ，2≤n ≤99；

(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率。 (1)解：棋子开始在第0站为必然事件，P 0=1.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为12，P 1=1

2.

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为14；②第一次掷硬币出现反面，其概率为1

2.

∴P 2=14+12=3

4

.

(2)证明：棋子跳到第n (2≤n ≤99)站的情况是下列两种，而且也只有两种： ①棋子先到第n －2站，又掷出反面，其概率为1

2P n －2；

②棋子先到第n －1站，又掷出正面，其概率为1

2P n －1.

∴P n =12P n －2+1

2

P n －1.

∴P n －P n －1=－1

2

(P n －1－P n －2).

(3)解：由(2)知当1≤n ≤99时，数列{P n －P n －1}是首项为P 1－P 0=－12，公比为－1

2的等比数列。

∴P 1－1=－12，P 2－P 1=(－12)2，P 3－P 2=(－12)3，…，P n －P n －1=(－1

2)n .

以上各式相加，得P n －1=(－12)+(－12)2+…+(－1

2

)n ，

∴P n =1+(－12)+(－12)2+…+(－12)n =23[1－(－1

2)n +1](n =0，1，2，…，99).

∴获胜的概率为P 99=23[1－(1

2

)100]，

失败的概率P 100=12P 98=12·23[1－(－12)99]=13[1+(1

2

)99]

【例7】 (上楼梯问题)从教学楼一楼到二楼共有15级楼梯，学生A 一步能上1级或2级，那么A 从一楼上到二楼的不同方法数共有多少种？

设上到第n 级楼梯的方法数为a n (n ∈N )，则a 1=1，a 2=2，a n =a n －1+a n －2(n ≥3)， 由此可得,\{a n }斐波那契数列：1，2，3，5，8，……得a 13=377，a 14=610，a 15=987。

【例8】 从原点出发的某质点M ，按向量a r =(0，1)移动的概率为23，按向量b r =(0，2)移动的概率为1

3

，设M 可到达点(0，n )的概率为

P n

(1)求P 1和P 2的值；(2)求证：P n +2－P n +1=－1

3

(P n +1－P n )；(3)求P n 的表达式。

解析：(1)P 1=23，P 2=(23)2+13=7

9

(2)证明：M 到达点(0，n +2)有两种情况：

①从点(0，n +1)按向量a r

=(0，1)移动，即(0，n +1)→(0，n +2) ②从点(0，n )按向量b r

=(0，2)移动，即(0，n )→(0，n +2)。

∴P n +2=23P n +1+1

3

P n

∴P n +2－P n +1=－1

3

(P n +1－P n )

(3)数列{P n +1－P n }是以P 2-P 1为首项，-1

3为公比的等比数列。

P n +1－P n =(P 2-P 1)(-13)n -1=19(-13)n -1=(-1

3)n +1，

∴P n －P n －1=(－1

3

)n

又∵P n －P 1=(P n －P n －1)+(P n －1－P n －2)+…+(P 2-P 1)=(-13)n +(-13)n -1+…+(-13)2=(112)[1-(-1

3)n -1]

∴P n =P 1+(112)[1-(-13)n -1]=34+14×(-13

)n

。