弯曲变形的过程及特点
石首高级技工学校理论课教案
材料力学习题册答案-第6章 弯曲变形
第六章弯曲变形 一、是非判断题 1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是 否相同无关。（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、选择题 1. 梁的挠度是（D） A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移 B 横截面形心沿梁轴方向的位移 C横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。 A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8 B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2 C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2 D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为： y(x)=Ax2(4lx - 6l2-x2)，则该段梁上（B）
第9章弯曲应力与弯曲变形习题解答
第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答 题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。 解：（a ）mm 317400 250500350200 400250250500350≈?-???-??= c y ()()4 932 3mm 107314002502003171240025050035025031712500350?≈??? ? ????-+?-??? ? ????-+?=.I Z （b ）mm 431550 400800500375 550400400800500≈?-???-??= c y ()()4 1032 3mm 1054615504003754311255040080050040043112800500?≈??? ? ????-+?-??? ? ????-+?=.I Z （c ）()mm 306020206050 6020102060=?+???+??= c y ()()4 63 2 3mm 103616020503012602020601030122060?=??? ? ????-+?+? ?? ? ????-+?=.Z I (a) (b) (c) 题9-1图
题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。设q = 60kN/m ，F = 100kN 。试求（1）梁1 – 1截面上A 、B 两点的正应力。（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。 解：（1）求支反力 kN 220100260=+?=A F （↑） m kN 32021001260?=?+??=A M （ ） （2）画F S 、M 图 （3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001?=??+?=.M F M
弯曲工艺及弯曲模具设计 复习题答案
第三章弯曲工艺及弯曲模具设计复习题答案 一、填空题 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率，形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的，而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时，变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时，用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好，塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性，使材料过早破坏。对于冲裁或剪切坯料，若未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料塑性降低，在上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织，顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘（或朝向弯曲凸模），以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度，对于厚料，如果结构允许，可以采用先在弯角内侧开槽后，再弯曲的工艺，如果结构不允许，则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、在弯曲变形区内，内层纤维切向受压而缩短应变，外层纤维切向受受拉而伸长应变，而中性层则保持不变。 14 、板料塑性弯曲的变形特点是：（ 1 ）中性层内移（ 2 ）变形区板料的厚度变薄（ 3 ）变形区板料长
板料拉伸变形过程及特点
1.板料拉伸变形过程及特点； 在拉深过程中，毛坯受凸模拉深力的作用，在凸缘毛坯的径向产生拉伸应力，切向产生压缩应力。在它们的共同作用下，凸缘变形区材料发生了塑性变形，并不断被拉入凹模内形成筒形拉深件。拉深后工件底部的网格变化很小，而侧壁上的网格变化很大，以前的扇形毛坯网格变成了拉深后的矩形网格。 2.拉伸过程中各部分的应力与应变状态及分析 1.平面凸缘部分主要变形区 2.凹模圆角区过渡区 3.筒壁部分传力区 4.凸模圆角部分过渡区 5.圆筒底部分小变形区 3.拉伸成形的障碍及防止措施； 一、起皱，影响起皱的因素：1.凸缘部分材料的相对厚度2.切向压应力的大小3.材料的力学性能4.凹模工作部分的几何形状。 防止措施：采用压边圈。 二、拉裂 防止拉裂：可根据板材的成形性能，采用适当的拉深比和压边力，增加凸模的表面粗糙度，改善凸缘部分变形材料的润滑条件，合理设计模具工作部分的形状，选用拉深性能好的材料。 三、硬化 加工硬化的好处是使工件的强度和刚度高于毛坯材料，但塑性降低又使材料进一步拉深时变形困难。 4.筒形零件拉伸工艺（毛坯尺寸计算原则、计算公式、拉伸系数及影响因素、首次与后续拉伸的异同、拉伸次数与拉伸系数的确定）； 一、圆筒件拉深零件毛坯尺寸的计算 二、拉深系数的计算和拉深次数的确定 三、拉深压力机的选择 5.阶梯形零件的拉伸顺序安排； 1.拉深次数的确定 2.拉深方法的确定 6.（曲面、球面、抛物面及锥形）拉伸方法； 1.球面零件拉深方法：球面零件可分为半球形件和非半球形件两大类。 2.抛物面零件拉深方法：(1)浅抛物面形件，因其高径比接近球形，因此拉深方法同球形件。 (2)深抛物面形件，其拉深难度有所提高。这时为了使毛坯中间部分紧密贴模而
第9章 弯曲应力与弯曲变形综述
Engineering Mechanics （第3版） 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社
第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。 梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。
案例-弯曲变形与强度.
台湾丰原高中礼堂坍塌事故原因分析 建筑物坍毁是工程事故发展的最终阶段，因此所有坍塌事故均属于恶性事故。按照《建筑结构设计统一标准》(GB 68—84、GB 50068—2001)和结构抗震设计“小震不坏，中震可修，大震不倒”三准则的要求，所有坍塌事故，包括地震灾后的坍塌事故，都属于责任事故，应该追究当事人责任。只有经过分析鉴定，确认事故原因存在设计安全水准以外的意外因素时，才能界定为天灾，豁免当事人责仟。下面列举的坍塌事故都是近年来发生在国内外的引起全社会关注的恶性事故，并且都是人为过失事故。说明在所有工程事故中，人为过失事故占了很大比例，值得警惕! 1．案例背景 该礼堂位于一栋19．5m×49．5m的两层长方形建筑的第2层(底层为教室)，层高6m，平面如图1所示。屋顶结构由跨度19．5m、中心间距4．5m的钢桁架承重。桁架端部高125cm，跨中高135cm，次桁架起纵向支撑的作用，并与主桁架相连接构成整体，由40cm×60cm的钢筋混凝土柱与纵向连系梁组成纵向排架支承，并在⑤～⑧轴处从联系梁则面悬挑出一很大的钢筋混凝土雨篷。屋盖系统如图2所示。 图1 中学礼堂平面图图2 礼堂顶层结构简图 施工过程中，由于某种原因，在底层教室完工后，曾有10个月的停工间隙期，因而在第2层楼面以上的钢筋混凝土立柱中，存在施工缝的处理问题。 该建筑于1975年1月竣工。由于出现严重的屋面渗漏现象，在1983年6月对屋面进行返修。返修时，为了改善屋面的保温隔热性能，在屋顶上增加了一个蓄水保温系统。 1983年8月24日，该礼堂屋顶结构发生坍塌。虽然事故的前一天曾经下过雨，但在事故发生的时候，并未在结构上施加任何临时额外荷载，坍毁前也没有出现异兆。 2．可用于事故原因分析的线索 （1）节点连接的施工质量问题 台湾技术学院的C．Y．林教授经过现场考察认为，结构系统的坍毁很可能是始于下弦拉杆的某一焊接头断裂，或者是由于垂直杆与斜撑杆的螺栓接头松
弯曲工艺及弯曲模具设计复习题答案
第三章 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率，形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的，而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时，变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时，用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好，塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性，使材料过早破坏。对于冲裁或剪 切坯料，未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料塑性降低，上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织，顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一 面处于弯曲受压的内缘（或朝向弯曲凸模），以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度，对于厚料，如果结构允许，可以采用先在弯角内侧开槽后，再弯曲的工艺， 如果结构不允许，则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、弯曲变形区内，内层纤维切向受压而缩短应变，外层纤维切向受受拉而伸长应变，而中性层保持不变 14 、板料塑性弯曲的变形特点是：（ 1 ）中性层内移（ 2 ）变形区板料的厚度变薄（ 3 ）变形区板料长 度增加（ 4 ）对于细长的板料，纵向产生翘曲，对于窄板，剖面产生畸变。 15 、弯曲时，当外载荷去除后，塑性变形保留下来，而弹性变形会完全消失，使弯曲件的形状和尺寸发生变 化而与模具尺才不一致，这种现象叫回弹。其表现形式有 _ 曲率减小、弯曲中心角减小两个方面。 16 、相对弯曲半径r ╱ t 越大，则回弹量越大。 17 、影响回弹的因素有：（ 1）材料的力学性能（ 2）变形程度（ 3）弯曲中心角（ 4）弯曲方式及弯曲 模（ 5）冲件的形状。 18 、弯曲变形程度用 r ／ t来表示。弯曲变形程度越大，回弹愈小，弯曲变形程度越小，回弹愈大。 19 、在实际生产中，要完全消除弯曲件的回弹是不可能的，常采取改进弯曲件的设计，采取适当的弯曲工艺
第六章弯曲变形
第六章 弯曲变形 挠曲线的弯曲微分方程 W=f(x) 挠度 横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移， 转角 横截面对原来位置的角位移，称为该截面的转角 可以是挠曲线上的点的切线方向与x 轴的夹角，也是改点的法线与横截面的夹角 【转角就是这一点的切线的斜正值为正的，负值为顺时针】 规定转角顺时针为负值，逆时针为正值， 而且剪力是顺时针为正值，逆时针为负值 注意 用梁的轴线来代替梁 弯矩规定下凸为正（叫做凹曲线）左顺右逆【使下侧受压为正】 梁的弯曲变形是很小的，在tan θ=θ值 在数学表达式中有|' 1"w |p 1w +=中有二阶无穷小量 最后简化为 在规定的坐标系中, x 轴水平向右为正, w 轴竖直向上为正。此时，挠度的二阶导数在挠曲线凹（下凸）时为正，反之为负。 【挠度的二阶导数是弯矩，一阶导数是转角正好有弯矩的定义对应起来】 梁的挠曲线近似微分方程 在这公式中，只是纯弯曲，忽略了剪力和二阶无穷小量 6---3用积分法求弯曲变形 在挠曲线的某些点上，挠度和转角有时候是已知的 1()()M x x EI ρ=()"M x w EI =1()d EIw M x x C '=+?12()d d EIw M x x x C x C =++??
积分常数的确定 1.边界条件 简支梁左右胶支座挠度为0； 悬臂梁固定端挠度是零，转角也是零 2.连续条件 （1）挠度连续条件 （2）转角连续条件 3.感悟弯矩为零处转角取极值；转角为零处，挠度取极值【更加简单的是从挠度曲线上来判读】 4.事实上:在简支梁中, 不论集中载荷作用于什么位置, 其最大挠度值一般都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 精确度能够满足工程要求.技巧：（a ）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. 对于见对方对于简支梁的来说；中间作用一个集中力的话，要是判断那一段的挠度和转角的话，1 比较a 和b 的值，谁大挠度最大值就在那一侧；因为转角是在弯矩等于零的地方，所以可以知道转角一定会在 角支座处可能取得2比较集中力作用点的转角值得正负也可以判断 6--4用叠加法求弯曲变形 载荷叠加法和结构叠加法（逐段钢化法） 在简支梁的一段作用的非集中载荷时候；要用积分的方法；取一小段dx 算出这一点的集度，再用第九栏的公式计算 0)(a x M -+
弯曲特性
第8 章弯曲变形 8.1 挠度与转角梁的刚度条件 8.1.1 工程实例 工程上，对于某些弯曲构件，除强度要求外，往往还有刚度要求，根据工作的需要，对其变形加以必要的限制。例如，机床的主轴(图8-1)，若变形过大，将会影响齿轮间的正常啮合、轴与轴承的配合，从而加速齿轮和轴承的磨损，使机床产生噪声，影响其加工精度。因此，在设计主轴时，必须充分考虑刚度要求。 工程中虽然经常限制弯曲变形，但在某些情况下，常常又利用弯曲变形来满足工作的要求，例如，叠板弹簧(图8-2)应有较大的变形，才可以更好地起缓冲作用。弹簧扳手(图8-3)要有明显的弯曲变形，才可以使测得的力矩更为准确。 为了限制或利用构件的弯曲变形，就需要掌握计算弯曲变形的方法。本章主要讨论梁在平面弯曲时的变形计算。 8.1.2挠度和转角 讨论弯曲变形时，以变形前的梁轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴(图8-4)。在平 面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy平 面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标 为x的任意点的纵坐标，用v来表示，它代表坐 标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠 度。工程问题中，梁的挠度v一般远小于跨度， 挠曲线是一条非常平坦的曲线，所以任一截面的 形心在x方向的位移都可略去不计。在弯曲变形 过程中，梁的横截面对其原来的位置所转过的角度θ，称为该截面的转角。挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。在图8-4所示坐标系中，规定向上的挠度为正，向下的挠度为负。逆时针的转角为正，顺时针的转角为负。 在一般情况下，梁的挠度和转角随截面位置的不同而改变，是坐标x的函数，即 f v=(8-1) (x ) θ=(8-2) θ ) (x
10弯形矫正讲解
钳工工艺一体化授课计划
讲授新课：（工艺知识） 定义：将坯料弯成所需要形状的加工方法，称为弯形。 一、弯形 1．弯形概述 弯形是使材料产生塑性变形，因此只有塑性好的材料才能进行弯形。钢板弯形后它的外层材料伸长，内层材料缩短，而中间有一层材料弯形后长度不 变，则称为中性层。 弯形虽然是塑性变形，但也有弹性变形，为抵消材料的弹性变形，弯形过程中应多弯一些。 2．弯形坯料长度的计算 坯料经弯形后，只有中性层的长度不变，因此计算弯形工件坯料长度时，可按中性层的长度进行计算。但当材料弯形后，中性层并不在材料的正中，而是偏向内层材料一边。实验证明，中性层的实际位置与材料的弯曲半径r和枋料的厚度t有关。 钢板弯曲前后 a)弯曲前 b)弯曲后弯形时中性层位置当材料厚度不变时．弯形半径越大，变形越小，中性层的位置就越接近材料厚度的几何中心。弯形的情况不同时，中性层的位置也不同。 表为中性层系数x0的值。从表中r/t的比值中可以看出，当弯形半径r≥16t 时，中性层在材料的中间(即中性层与几何中心重合)。在一般情况下，为简化计算，当r/t≥8时，可取x0=0.5进行计算。
弯形的形式有多种，图中a 、b 、c 为内面带圆弧的制件，d 是内为直角的制件。 内面带圆弧制件的坯料长度等于直线部分(不变形部分)与圆弧中性层长度(弯形部分)之和。圆弧部分中性层长度的计算式为： A=π（r+ x0t ）?180a 式中A ——圆弧部分中性层长度，mm ； r ——弯形半径，mm ； z 。——中性层位置系数； t ——材料厚度(或坯料直径)，mm ； a ——弯形角(即弯形中心角)，单位(°)。 内面弯形成不带圆弧的直角制件时，其坯料长度的计算可按弯形前后坯料的体积不变，采用A=0.5t 的经验公式求出。 例1厚度t=4mm 的钢板坯料，弯成图中的制件，若弯形角a=120°，内弯形半径r=16 mm ，边长l 1=60mm 、l 2=120 mm ，求坯料长度L 是多少? 解：r/t=6／4 得x 0=O.41 因为 L= l 1+ l 2+A A=π（r+ x 0t ）? 180a =3.14×(16+0.41×4) × ??180120 =36．93mm 所以 L= l 1+ l 2+A
第七章梁弯曲时变形
第七章 梁弯曲时的变形 §7?1 概 述 图7?1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。 )(x f y = （7?1） 称为挠曲线方程。 )(d d tan x f x y '== ≈θθ （7?2） 称为转角方程。 §7?2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为 EI x M x y )(d d 2 2± = （7?3） 式中的正负号取决于2 2d d x y 与)(x M 的正负号的规定。在如图11?2所示的坐标系中，y 轴以向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲 的符号关系如图11?2所示。这样，在图示坐标系中，)(x M 与2 2d d x y 的符号总是相反，所以式（7?3）中应取负号，即：
EI x M x y ) (d d 2 2- = （7?4） 对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。 当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI 为常数，对式（7?4）积分一次，得 []?+-== C x x M EI x y d )(1d d θ （7?5） 再积分一次，可得 ()[]??++- =D Cx x x M EI y 2 d 1 （7?6） 以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7?3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7?3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C 、D 确定后，代入式（7?5）、（7?6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。 EI ，试 解b ），弯矩方程为： （a ） （2）建立梁的挠曲线近似微分方程 由式（7?4）得： EI x l F EI x M x y ) ()(d d 2 2-= -= （b ） （3）对微分方程二次积分 积分一次，得： ??? ??+-== C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ） 再积分一次，得： ? ?? ??++-= D Cx Fx Flx EI y 32 61211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数 在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即： 0=x 时，0=y ，0=θ 代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。
弯曲变形分析
弯曲变形分析 弯曲过程中，当坯料上作用有外弯曲力矩时，坯料的曲率半径发生变化。 图1表示板弯曲变形区(ABCD部分)内切向应力的变化情况。弯曲过程中内区 (靠近曲率中心一侧)切向受压，外区(远离曲率中心一侧)受拉。 根据变形程度，弯曲过程可分为三个阶段： 1)弹性弯曲。在变形开始时变形程度较小，坯料变形区应力最大的内、 外表面的材料没有产生屈服，变形区内材料仅为弹性变形。此时的切向应力 分布如图3-1a所示。 2)弹-塑性弯曲。随着变形的增大，坯料变形区内、外表面材料首 先屈服，进入塑性变形状态。随着变形的进一步增大，塑性变形由表面向中 心逐步扩展。切向应力分布如图3-1b。 3)纯塑性弯曲。变形到一定程度，整个变形区的材料完全处于塑性变形 状态。切向应力分布如图3-11c。 弯曲变形过程 在压力机上采用压弯模具对板料进行压弯是弯曲工艺中运用最多的方法。弯曲变形的过程一般经历弹性弯曲变形、弹-塑性弯曲变形、塑性弯曲变形三个阶段。现以常见的V 形件弯曲为例，如图1 所示。板料从平面弯曲成一定角度和形状，其变形过程是围绕着弯曲圆角区域展开的，弯曲圆角区域为主要变形 区。 弯曲开始时，模具的凸、凹模分别与板料在 A 、B 处相接触。设凸模在 A 处施加的弯曲力为 2F （见图 1 a ）。这时在 B 处（凹模与板料的接触支点则产生反作用力并与弯曲力构成弯曲力矩M = F·（L 1 /2），使板料产生弯曲。在弯曲的开始阶段，弯曲圆角半径r 很大，弯曲力矩很小,仅引起材料的弹性弯曲变形。
图1 弯曲过程 随着凸模进入凹模深度的增大，凹模与板料的接触处位置发生变化，支点 B 沿凹模斜面不断下移，弯曲力臂 L 逐渐减小，即 L n < L 3 < L 2 < L 1 。同时弯曲圆角半径 r 亦逐渐减小，即 r n < r 3 < r 2 < r 1 ，板料的弯曲变形程度进一步加大。 弯曲变形程度可以用相对弯曲半径 r/t表示，t为板料的厚度。 r/t越小，表明弯曲变形程度越大。一般认为当相对弯曲半径r/t>200时，弯曲区材料即开始进入弹-塑性弯曲阶段，毛坯变形区内（弯曲半径发生变化的部分）料厚的内外表面首先开始出现塑性变形，随后塑性变形向毛坯内部扩展。在弹-塑性弯曲变形过程中，促使材料变形的弯曲力矩逐渐增大，弯曲力臂L继续减小，弯曲力则不断加大。 凸模继续下行，当相对弯曲半径 r/t<200时，变形由弹 -塑性弯曲逐渐过渡到塑性变形。这时弯曲圆角变形区内弹性变形部分所占比例已经很小，可以忽略不计，视板料截面都已进入塑性变形状态。最终，B 点以上部分在与凸模的V形斜面接触后被反向弯曲，再与凹模斜面逐渐靠紧，直至板料与凸、凹模完全贴紧。 若弯曲终了时，凸模与板料、凹模三者贴合后凸模不再下压，称为自由弯曲。若凸模再下压，对板料再增加一定的压力，则称为校正弯曲,这时弯曲力将急剧上升。校正弯曲与自由弯曲的凸模下止点位置是不同的，校正弯曲使弯曲件在下止点受到刚性镦压，减小了工件的回弹（进一步论述见本章第 3.2.2节）。
最新弯曲变形和剪切变形的区别
弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由弯矩和抗弯刚度EI、剪力和抗剪刚度GA计算得到。 框架结构,剪力墙结构和框剪结构在侧向力作用下的水平位移曲线的特点： 1、框:抗侧刚度较小，其位移由两部分组成：梁和柱的弯曲变形产生的位移,侧移曲线呈剪切型,自下而上层间位移减小;柱的轴向变形产生的侧移,侧移曲线呈弯曲型,自下而上层间位移增大.第一部分是主要的,第二部分很小可以忽略，所以框架结构在侧向力作用下的侧移曲线以剪切型为主，故称为剪切型变形. 2、剪:抗侧刚度较大，剪力墙的剪切变形产生位移，侧向位移呈弯曲型,即层间位移由下至上逐渐增大，相当于一个悬臂梁; 3、框剪:位移曲线包括剪切型和弯曲型,由于楼板的作用,框架和墙的侧向位移必须协调.在结构的底部,框架的侧移减小;在结构的上部,剪力墙的侧移减小,侧移曲线呈弯剪型,层间位移沿建筑物的高度比较均匀,改善了框架结构及剪力墙结构的抗震性能,也有利于减少小震作用下非结构构件的破坏. 剪切滞后 在受剪力作用的薄壁梁中，距剪力作用点较远的突缘上的正应力（见应力）小于按平截面假设求得值的现象。剪切滞后取决于结构中力的扩散（传播）。力的扩散是指作用在结构某一部分上的非自身平衡的力系，向结构其他部分传递，直至与外力或约束反力相平衡的过程。 图1为一宽突缘工字形悬臂梁,它由上下各五根细长突缘杆、上下各四块突缘板和中间一块薄腹板组成。在剪力Q的作用下，梁中出现剪切滞后现象，这可由下面的力的扩散过程来说明。在杆仅受正应力而板仅受剪应力的简化假设下,当剪力Q作用于腹板的自由端时，整个腹板具有剪应力τ。此剪应力直接作用于与腹板相连的中心杆A1B1上，所以在自由端附近的截面上仅A1B1杆中有正应力和正应变。而A2B2杆和A3B3杆均无正应力和正应变。但A1B1杆的正应变引起突缘板A1B1B2A2的剪应变和剪应力,此剪应力又使突缘杆 A2B2产生正应力。在A2B2杆受力变形的基础上,通过同样方式又使A3B3杆受力。图1中在工字梁的左侧用阴影线表示突缘杆中的正应力，右侧绘出突缘板中的剪应力。由于内力是由受剪腹板经与其相连的突缘杆逐步向远处承力突缘杆传播的，所以在力的扩散过程结束后，远离受剪腹板的杆所受的力在空间上有一定落后，而且受力的值小于按平截面假设求得的值，这就是剪切滞后。而根据平截面假设，各杆的受力情况没有差别，这与实际情况相差较远。因此，在计算薄壁梁的应力时，一般不能采用平截面假设。 剪切滞后造成结构内部受力不均匀，影响结构材料的利用率。例如，由于剪力Q的作用，在图2所示的箱形薄壁结构的上下盖板中就出现剪切滞后现象 (正应力在腹板附近大,中间部分小)。甚至当腹板附近的盖板接近破坏时,盖板的中间部分还处于低应力状态。为了估计剪切滞后对盖板利用率的影响程度，可采用折合宽度概念。即假定宽为 W0的一块板的承载能力恰好相当于一块宽仅为Wb 而充分发挥了承载能力的板，Wb称为折合宽度，而比值嗞＝Wb/W0称为减缩系数。嗞值小说明材料的利用率低。通常盖板越宽嗞值越小。在工程设计中,应考虑减少腹板的间距，以提高材料的利用率。 很常见的四个概念，弯曲变形、剪切变形，弯曲型变形、剪切型变形。注意，一个字之差，意思却大不相同。弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由
第7章_梁的弯曲变形
第7章 梁的弯曲变形与刚度 7.1 梁弯曲变形的基本概念 7.1.1 挠度 在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。 梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。 挠曲线的曲线方程： )(x w w = （7-1） 称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。 必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。 7.1.2 转角 梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。 转角随梁轴线变化的函数： )(x θθ= （7-2） 称为转角方程或转角函数。 由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。所以有：x x w d ) (d tan = θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有： 图7-2 梁的挠曲线 图7-3 梁的转角 ) (x
x x w x d ) (d )(= θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。 需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。 7.1.3 梁的变形 材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。 如图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则杆件将产生弯曲变形。若无某种内力，则杆件也没有与之相应的变形。因此，图示悬臂梁和中间铰梁的右半部分没有变形，它们将始终保持直线状态，但是，悬臂梁和中间铰梁的右半部分却存在挠度和转角！ 事实上，材料力学中所说的梁的变形，即梁的挠度和转角实质上是梁的横向线位移以及梁截面的角位移，也就是说，挠度和转角是梁的位移而不是梁的变形。回想拉压杆以及圆轴扭转的变形，拉压杆的变形是杆件的伸长l ?，圆轴扭转变形是截面间的转角?，它们实质上也是杆件的位移，l ?是拉压杆一端相对于另一端的线位移，而?是扭转圆轴一端相对于另一端的角位移，但拉压杆以及圆轴扭转的这种位移总是和其变形共存的，即只要有位移则杆件一定产生了变形，反之只要有变形就一定存在这种位移（至少某段杆件存在这种位移）。但梁的变形与梁的挠度和转角之间就不一定是共存的，这一结论可以从上面对图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁的分析得到。 图7-4 梁的挠度和转角的符号 x x (a) 正的挠度和转角 (b) 负的挠度和转角 (a) 悬臂梁的变形 (b)中间铰梁的变形 图7-5 挠度和转角实质上是梁的位移 无变形
弯曲变形的概念
9—1 弯曲变形的概念 一、弯曲与平面弯曲 1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。 2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称3 m m 由∑x=0 ∑y=0；—Q m+R A=0 Q ∑y=0 ∑m=0 0 ∑m=0；—R A+M m=0， Q m——剪力 M m——弯曲 梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力Q 二、Q，M正负号的规定
四、讨论： 1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正，负Q，M是指性质符号而言 2、Q x=∑左·y 或 Q x =∑右·y， M x=∑左·M 或M x=∑右·M 3、可用“简便方法”计算截面内力 六、求剪力和弯矩的基本规律 （1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向，转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析 （2）梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力
梁上作用任意荷载q （x ）：（1）取出梁中一微段d x （d x 上认为荷载是均匀的）；（2）设截面内力：Q （x ），M （x ）。利用 ∑y =0。则： Q （x ）+q （x ）d x —[Q （x ）+d Q （x ）]=0 d Q （x ）=q （x ）d x 即 d Q （x ）/d x =q （x ） 剪力对x 的一阶导数等于荷载 ∑0M =0 M （x ）—[M （x ）+d M （x ）]+Q （x ）d x +q （x ）d x d x /2=0 即； d M （x ）/d x =Q （x ） 弯矩对x 的一次导等于剪力 （1） q （x ）=0 （无线荷载） d Q （x ）/d x =q （x ）=0 说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零，所以此时剪力图是一条水 平线。 d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力是常数，说明原弯矩方程是x 的一次函数，所以弯矩图是一 条斜直线 （2） q （x ）=常数（有线载） d Q （x ）/d x =q （x ）=常数 说明剪力方程是x 的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。 即 d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力又是x 的一次函数，说明原弯矩方程是x 的二次函数。所以弯矩 图是二次抛物线。 M 极植 在Q （x ）=0处。由于 d M （x ）/d x =Q （x ）=0处有极植 ) x d l )=（q 0/l ）?l x xd 0 =q 0l 2/l2=q 0l/2 （三角形面积）