非稳态导热习题
第三章 非稳态导热习题
例一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
电热器以辐射换热方式散失的热量为：
44r f ()A T T σΦ=- （1）
以对流换热方式的热量为：
c f ()hA T T Φ=- （2）
电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能
(
r c d d T
cV
ρτ
-Φ-Φ= （3）
因此，相应的微分方程式为：
44f f d ()()d T
A T T hA T T cV
σρτ
-+-=- （4） 初始条件为：
τ=0， t =t 0 （5）
上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
例 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。
[解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：
*
c f ()hA T T Φ=- （1）
保险丝的内热源为：
Q 0=IR 2 （2）
式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。
根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能
c 0d d T
Q cV
ρτ
-Φ+= （3） 因此，相应的微分方程式为：
2f d ()d T
hA T T I R cV
ρτ
--=- （4） $
初始条件为：
τ=0， t =t f （5）
上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。
令2f I R
t t hA
θ=--，则上述微分方程改写为
d d ρθ
θτ
=-
cV hA （6）
该微分方程的解为
θθτθρ=-
=-00exp()exp(BiFo)hA
cV
（7） 以温度t 表示该解
τρ--=---22f 0f (）exp()I R I R hA
t t t t hA hA cV
（8）
—
由初始条件τ=0， t 0= t f ，该式可写为
τρ-=--2f [1exp()]I R hA
t t hA cV
（9）
上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出内热源对保险丝的温度
变化的作用。
例 一块厚10 mm 的纯铝板置于温度为10 ℃的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h =10 W/(m 2·K)，且为常数。
求该铝板从100 ℃降到20 ℃所需时间及当时的热流密度。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 的数值，确定是否能采用简单的集总参数法。查取铝的物性参数，密度ρ=2702 kg/m 3，比热容c =903 J/kg ，导热系数λ=237 W/(m·K)。 λ-??=
==??4100.01'
Bi 2.11102372'
hV A A A （1） Bi<, 可用集总参数法计算。
—
0exp()hA
cV
θθτρ=-
（2）
102'
2010(10010)exp()27029030.01'
A A τ?-=--
??? （3）
τ=2680 s （4）
铝板从100 ℃降到20 ℃时，铝板的表面温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流换热系数h 均为已知，因此热流密度可用牛顿冷却公式计算。
q =h ( t- t f )=10×(20-10)=100 W/m 2 （5） .
例 用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。现要求一个初温为t 0的球形热电偶与温度为t f 的被测流体接触后，在1 s 内所指示的过余温度比
f 00f
95%t t t t θθ-==-。现有一铜-康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的对流换热表面传热系数h =50 W/(m 2·K)，且为常数。试求该球形热电偶接点的最大允许半径r 0。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 。查取铜的物性参数，密度ρ=8954 kg/m 3，比热容c =384 J/kg ，导热系数λ=398 W/(m·K)；查取康铜的物性参数，密度ρ=8922 kg/m 3，比热容c =410 J/kg ，导热系数λ=22 W/(m·K)。球形热电偶接点是这两种材料的熔化物，因此取平均值，密度ρ=8938 kg/m 3，比热容c =397 J/kg ，导热系数λ=210 W/(m·K)。
λ==00
50Bi 210
hr r （1）
因半径r 0未知，比渥准则Bi 的数值无法计算。但可假定Bi<，先用集总参数法计算， 然后进行较核。
0exp()hA
cV
θθτρ=-
（2）
ππ-?-?=-
=??
2
5
03
0504 4.206100.95exp(1)exp(
)489383973
r r r （3）
【
r 0=×10-4 m (4)
校核r 0，λ=
=00
50Bi 0.1210
hr r （5）
因为比渥准则Bi<<，上述分析计算合理。
讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi ，一旦Bi<，就可以用简单的集总参数法计算，但是Bi 数值的确定需要先知道定型尺寸的数值。本题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只能先假定Bi<，能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸校核集总参数法的应用条件Bi<是满足的。
例某种电路中所用的保险丝的直径为0.5 mm,长20 mm ，导热系数λ=20 W/(m·K)，热扩散率a =5×10-5 m 2/s,电阻为Ω,熔点为900 ℃。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为20 ℃的周围空气之间的平均对流换热系数为10 W/(m 2·K)，且为常数。试确定该保险丝通过2 A 的电流后多少时间会熔断。
[解] 该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
!
πλπ?=≈
(1)
根据解析题,
2f [1exp()]I R hA t t hA cV
τρ-=-- (2)
代入具体数值
22
5
20.8
1090020[1exp()]2010/4510
dl
dl
d l πτππ-??-≈--
?? (3)
880=×104 [1-exp τ)] (4)
τ= s (5)
例 将直径为30 mm 、初温为20 ℃的生红肠放入温度为180 ℃的烘箱中烤熟。假定生红肠的密度ρ=960 kg/m 3，比热容c =5000 J/kg ，导热系数λ= W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，红肠和烘箱中空气之间的平均对流换热系数为30 W/(m 2·K)，且为常数。试求生红肠放入烘箱中10 min 时红肠的中心温度。
[解] 红肠可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。 &
πλπ???=≈>???2300.03/4Bi 0.10.90.03hV l A l
(1)
因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ?=
==300.015
Bi 0.50.9
hR (2)
λτρ?=
==??22
0.9600
Fo 0.596050000.015
cR (3) 查计算线图（海斯勒图）得
m m 01800.5620180
t θθ-=≈- (4) 解得生红肠放入烘箱中10 min 时的中心温度 t m =90.4 ℃ (5)
例 直径为400 mm 、初温为20 ℃的钢棒放入温度为600 ℃的炉中加热。钢棒的密度
ρ=7833 kg/m 3，比热容c =465 J/kg ，导热系数λ=54 W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，钢棒与炉中气体之间的平均对流换热系数为130 W/(m 2·K)，且为常数。
试求钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间，并确定此时钢棒的表面温度。 ?
[解] 钢棒可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ???=≈>???21300.4/40.1540.4hV l Bi A l
(1)
因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ?=
==1300.2
Bi 0.481454
hR (2) 钢棒中心温度达到400 ℃时，
m 04006000.344820600
θθ-=≈- (3) 查计算线图（海斯勒图）得Fo 准则的数值为
λτττρ-?==
==???4
22
54Fo 1.3 3.7061078334650.2
cR (4) 解得钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间 τ=3508 s (5)
R R m 600
0.79400600
t θθ-=≈- (6) 》
解得此时钢棒的表面温度 t R =442 ℃
例 截面为1 m×1 m 的耐火砖方形长柱体，初温为20 ℃，与600 ℃的高温烟气接触，仅考虑由于对流换热的加热量，柱体与燃气之间的平均对流换热系数为20 W/(m 2·K)，且为常数。耐火砖的密度ρ=2000 kg/m 3，比热容c =960 J/kg ，导热系数λ= W/(m·K)， 试求耐火砖柱体与烟气接触120小时时方柱体的中心温度。
[解] 瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
λ???=
≈>???2011Bi 0.11.0741hV l
A l
(1)
因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。方形长柱体的导热是二维导热问题，可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得。
δλ?=
==200.5
Bi 9.3461.07h (2) λτρδ?=
==??22
1.07432000
Fo 0.96320009600.5
c (3) 再查计算线图（海斯勒图）得
%
m
0.18θθ≈ (4)
因此，方形长柱体中心的过余温度比
m f m m m 0f 00
6000.180.1820600t t t t t θθ
θθ--==?=?-- (5)
最后解得120小时时方形长柱体的中心温度t m =581.2 ℃。
例 一块厚300 mm 的无限大钢板[密度ρ=7753 kg/m 3，比热容c =486 J/kg ，导热系数λ=36 W/(m·K)]初温为900℃，突然置于20 ℃的空气气流中，空气和钢板间的对流换热系数为400 W/( m 2·K)。求钢板表面温度达到200 ℃时所需时间。
[解] 瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
λ??=
≈>?4000.3'
Bi 0.1362'
hV A A A (1) 因此不能用集总参数法，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
由于中心温度未知，不能用含有傅立叶数Fo 的第一张图直接查时间，只能先用第二张图确定中心温度。
<
δλ?=
≈=4000.15
Bi 1.66736
h (2)
δm m 200200.5420
t θθ-==- (3) 解得中心温度 t m =353.3 ℃ (4) 接下来用第一张图，Bi -1=，中心处的过余温度比m 0353.320
0.378890020
θθ-==-，查得傅立叶数Fo≈
λττ
ρδ?=??22
36Fo=
77534860.15
c (5)
最后解得钢板表面温度达到200℃时所需时间 τ=2255 s
例 一钢锭加热到400 ℃，浸在100 ℃的水中冷却。钢锭的密度ρ=7753 kg/m 3，比热容c =486 J/kg ，导热系数λ=36 W/(m·K)。 试求3 min 后深度为5 cm 处的温度。
[解]水沸腾时对流换热系数很大，若忽略钢锭表面的对流换热热阻，本题可视为半无限大物体在恒温边界条件下的温度分布问题。相应的温度表达式为
]
τ-=-w 0w (,)erf(t x t t t (1)
热扩散率a =λ/ρc =36/(7753×486)=×10-6。
(,)100
0.05
erf(
erf(0.6029)=0.6061400100
t x τ-==- (2)
最后解得3min 后深度为5cm 处的温度 t = 281.8 ℃.
例 若将一以余弦函数形式的周期性温度变化加在一块很大的钢筋混凝土表面，使其温度由35 ℃变化到90 ℃的一个完整循环需要15 min 。钢筋混凝土的密度ρ=2400 kg/m 3，比热容c =840 J/kg ，导热系数λ= W/(m·K)
试求温度波动2小时后，距表面5cm 处的温度。
[解]本题可视为半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布问题。根据已知条件， 《
温度波动幅度 A =(90-35)/2=27.5 ℃ 温度波动周期 T =60×15=900 s 相应的温度表达式为
w 2(,)exp()cos(x A T πθττ=--
3.379=== (1)
250.24 3.37946.81T
π
τ-=-== (2) 温度波动2小时后，距表面5cm 处的温度
(0.05,7200)27.5exp( 3.379)cos(2682.02)0.8914θ=-=- (3)
θ=t -t m (4) t m =(t max +t min )/2=(90+35)/2=62.5 ℃ (5)
因此解得温度波动2小时后，距表面5cm 处的温度 t =61.61 ℃
例 根据半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布公式，试确定在表面和深度为x 处温度最大值的滞后时间。
[解] 半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布公式如下：
w 2(,)exp()cos(x A T πθττ=-- (1)
深度为x 处温度出现最大值时，2cos(
1T
π
τ-=，即
20T
π
τ-= (2) 在x =0处，τ=0 (3)
在x =x 处， 2/2x T πτ== (4)