一元二次不等式复习(学生)
一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)
或ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2
判别式Δ＝b2－
4ac
~
Δ>0
Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a>0)的
图象
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0
|
(a>0)的根
有两相异实根x1，
x2(x1 有两相等实根x1＝ x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集 {x|x @ ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集 {x|x1< x 注：1．二次方程根的求解方法（1）十字相乘法（2）求根公式法 2.一元二次不等式根据“大于取两边，小于取中间”求解集，条件是开口向上。 3.解含参数的一元二次不等式，一般参数讨论顺序为（1）开口方向（2）相应方程是否存在根，即Δ情况③根的大小关系。分类时要不重不漏． # 1．函数y＝x2＋x－12的定义域是___ __ _________． 2．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为____________．3.若不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－2 1 4 }，则ab＝________. # 题型一一元二次不等式的解法 例1已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}， (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. : 探究提高解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次。 ' 拓展：（注意三个“二次”的关系） 1.关于x的一元二次不等式ax2-ax+b<0的解集为(m，m+1)，则实数b= . 2.已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x) > 题型二一元二次不等式恒成立问题 例2已知不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． ： 总结:二次不等式恒成立求参数的解决策略（1）数形结合（2）变量分离 \ 练习： 1.不等式x2-2x+k2-2>0对于x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值范围是. 2.如果x∈R，不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为. 3. 当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是______________． ， 引申 1.已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围. , 2.设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． ， 温馨提醒 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量；求谁的范围，谁就是参数． 2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． 3．本题易错点：忽略对m ＝0的讨论．这是由思维定势所造成的. 失误与防范 1．对于不等式ax 2 ＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． … 课后训练 1．不等式-x 2-3x+4>0的解集为 2. 不等式 x －3 x ＋2 <0的解集为_____ _______ 3．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1 4.若集合A ＝{x |ax 2 －ax ＋1<0}＝?，则实数a 的值的集合是____________． 5.已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x 2-5x+4≥0}.若A ∩B=?，则实数a 的取值范围是 6.已知关于x 的不等式 ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪? ?? ??－12，＋∞，则a ＝________. 7. 求不等式12x 2 －ax >a 2 (a ∈R )的解集． 8.若关于x 的不等式4x －2x ＋1 －a ≥0在[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围 9.已知关于x 的不等式ax 2+(a-2)x-2≥0，a ∈R . (1)若不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，求实数a 的值； (2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围； (3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0. 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f（x） g（x） 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x） ＞0?f(x)g(x)＞0； f（x） g（x） ＜0 ?f(x)g(x)＜0； f（x） g（x） ≥0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≥0， g（x）≠0； f（x） g（x） ≤0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≤0， g（x）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值围是( ) A.－2 元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1，求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7，求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点，且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时，求k 的值。 (1) k 为何值时，方程有两个实数根; x 1、x 2 5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根； (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后，且两直角边i 和C 是方程的两根时，求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根，一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ，方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ，求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数，且满足1< x X 2 <2 （其中 X 1 > X 2），一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次方程练习题(难度较高)
一元二次不等式练习题含答案