2019全国各地中考数学压轴大题几何综10

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

六、三大变换（平移旋转对称）综合题

1.（2019?绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC

的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．

（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

解：（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．

②显然∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，

∴AM＝20或（﹣20舍弃）．

当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，

∴AM＝10或（﹣10舍弃）．

综上所述，满足条件的AM的值为20或10．

（2）如图2中，连接CD．

由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，

∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，

∵∠AD2C＝135°，

∴∠CD2D1＝90°，

∴CD1＝＝30，

∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，

∴∠BAD1＝∠CAD2，

∵AB＝AC，AD2＝AD1，

∴△BAD2≌△CAD1（SAS），

∴BD2＝CD1＝30．

2.（2019?金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边

AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．

（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO．

（2）已知点G为AF的中点．

①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．

②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，

∵CD＝CF，

∴AD＝CF，

∵∠ADC＝∠DCF＝90°，

∴AD∥CF，

∴四边形ADFC是平行四边形，

∴OD＝OC，

∵BD＝2OD．

（2）①解：如图2中，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．

由题意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，

∵DT⊥BC，

∴BT＝TC＝7，

∵EC＝2，

∴TE＝5，

∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，

∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，

∴∠TDE＝∠FEH，

∵ED＝EF，

∴△DTE≌△EHF（AAS），∴FH＝ET＝5，

∵∠DDBE＝∠DFE＝45°，∴B，D，E，F四点共圆，∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵∠DBE＝45°，

∴∠FBH＝45°，

∵∠BHF＝90°，

∴∠HBF＝∠HFB＝45°，∴BH＝FH＝5，

∴BF＝5，

∵∠ADC＝∠ABF＝90°，∴DG∥BF，

∵AD＝DB，

∴AG＝GF，

∴DG＝BF＝．

②解：如图3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A共线，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．设EC＝x．

∵AD＝6BD，

∴BD＝AB＝2，

∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，

∴DT＝BT＝2，

∵△DTE≌△EHF，

∴EH＝DT＝2，

∴BH＝FH＝12﹣x，

∵FH∥AC，

∴＝，

∴＝，

整理得：x2﹣12x+28＝0，

解得x＝6±2．

如图3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取AB的中点O，连接OG．作EH⊥AB于H．

设EC＝x，由2①可知BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），

∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，

∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，

∴∠DGO＝∠HDE，

∴△EHD∽△DOG，

∴＝，

∴＝，

整理得：x2﹣36x+268＝0，

解得x＝18﹣2或18+2（舍弃），

如图3﹣3中，当∠DGE＝90°时，取AB的中点O，连接OG，CG，作DT⊥BC于T，FH ⊥BC于H，EK⊥CG于K．设EC＝x．

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，

∴D，B，F，E四点共圆，

∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵AO＝OB，AG＝GF，

∴OG∥BF，

∴∠AOG＝∠ABF＝90°，

∴OG⊥AB，

∵OG垂直平分线段AB，∵CA＝CB，

∴O，G，C共线，

由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF＝（12﹣x），OG＝

BF＝（12﹣x），CK＝EK＝x，GK＝7﹣（12﹣x）﹣x，

由△OGD∽△KEG，可得＝，

∴＝，

解得x＝2，

综上所述，满足条件的EC的值为6±2或18﹣2或2．

3.（2019?台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一

点，连接PC交AD于点F，AP＝FD．

（1）求的值；

（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；

（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．

解：（1）设AP＝FD＝a，

∵四边形ABCD是正方形

∴AB∥CD

∴△AFP∽△DFC

∴

即

∴a＝﹣1

∴AP＝FD＝﹣1，

∴AF＝AD﹣DF＝3﹣

∴＝

（2）在CD上截取DH＝AF

∵AF＝DH，∠P AF＝∠D＝90°，AP＝FD，∴△P AF≌△HDF（SAS）

∵AD＝CD，AF＝DH

∴FD＝CH＝AP＝﹣1

∵点E是AB中点，

∴BE＝AE＝1＝EM

∴PE＝P A+AE＝

∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，

∴EC＝

∴EC＝PE，CM＝﹣1

∴∠P＝∠ECP

∵AP∥CD

∴∠P＝∠PCD

∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF

∴△FCM≌△FCH（SAS）

∴FM＝FH

∴FM＝PF

（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，

∵EN⊥AB，AE＝BE

∴AQ＝BQ＝AP＝﹣1

由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，∵点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）

∴直线BN解析式为：y＝x﹣2

设点B'（x，x﹣2）

∴AB'＝＝2

∴x＝

∴点B'（，﹣）

∵点Q'（﹣1，0）

∴B'Q'＝≠﹣1

∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．

4.（2019?连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，

其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．

（1）求证：△OEC为等腰三角形；

（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵△ABC平移得到△DEF，

∴AB∥DE，

∴∠B＝∠DEC，

∴∠ACB＝∠DEC，

∴OE＝OC，

即△OEC为等腰三角形；

（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，

理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，

∴AE⊥BC，BE＝EC，

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE∥AD，BE＝AD，

∴AD∥EC，AD＝EC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴四边形AECD是矩形．

5.（2019?郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△

ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：△A1DE∽△B1EH；

（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．

解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠

AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，

∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．

又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，

∴∠DEA1＝∠EHB1，

∴△A1DE∽△B1EH；

（2）结论：△DEF是等边三角形；

理由如下：

∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，

∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，

在△A1DE和△A1DF中

，

∴△A1DE≌△A1DF（SAS），

∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，

又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．

∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形；

（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，

理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），

∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，

∴△DGG'是等边三角形，

∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，

∵∠DGF＝150°，

∴∠G'GF＝90°，

∴G'G2+GF2＝G'F2，

∴DG2+GF2＝GE2，

6.（2019?盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图

③，两次折痕交于点O；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．

【探究】

（1）证明：△OBC≌△OED；

（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．

解：（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45°∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD，

在△OBC≌△OED中，

，

∴△OBC≌△OED（SAS）；

（2）过点O作OH⊥CD于点H．

由（1）△OBC≌△OED，

OE＝OB，

∵BC＝x，则AD＝DE＝x，

∴CE＝8﹣x，

∵OC＝OD，∠COD＝90°

∴CH＝CD＝AB＝＝4，

OH＝CD＝4，

∴EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4

在Rt△OHE中，由勾股定理得

OE2＝OH2+EH2，

即OB2＝42+（x﹣4）2，

∴y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32．

7.（2019?宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E

为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．

（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？

如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

解：（1）如图②中，

由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，

∴＝，

∴＝，

∵∠DBE＝∠ABC，

∴∠DBA＝∠EBC，

∴△DBA∽△EBC．

（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．

理由：如图③中，设AB交CG于点O．

∵△DBA∽△EBC，

∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，

∴∠G＝∠ABC＝30°．

（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．

以O为圆心，OA为半径作⊙O，

∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，

∴∠AGC＝∠AOC，

∴点G在⊙O上运动，

以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°，

∵BK＝AK，