高三数学一轮复习必备精品5：函数的图像及数字特征【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载
第 5 讲函数图象及数字特征
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一．【课标要求】
1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、
一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；
2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；
3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对
称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象
与性质一些综合性问题；
1 4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y x, y x2, y x3, y x1, y x2的图像，了解它们
的变化情况。
二．【命题走向】
函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数
知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨
论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要
求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地
从历年高考形势来看：
（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、
伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解
题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；
（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；
1（3）与幂函数有关的问题主要以y x, y x 2 , y x 3 , y x 1 , y x2为主，利用它们
的图象及性质解决实际问题；
预测 2010 年高考函数图象：（ 1）题型为 1 到 2 个填空选择题；（ 2）题目多从由解析式得函
数图象、数形结合解决问题等方面出题；
函数综合问题：（ 1）题型为 1 个大题；（ 2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的
工具作用；
幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性
质来解决；
三．【要点精讲】
1．函数图象
（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，
掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即
单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把
线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的
研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换
法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个
难点
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
①平移变换：
Ⅰ、水平平移：函数y f ( x a) 的图像可以把函数y f (x) 的图像沿x 轴方向向左(a0) 或向右 ( a0) 平移 | a |个单位即可得到；
左移 h右移 h
1）y=f(x)y=f(x+h) ； 2） y=f(x)y=f(x h)；
Ⅱ、竖直平移：函数y f ( x) a 的图像可以把函数y f (x) 的图像沿x 轴方向向上(a0) 或向下 ( a0) 平移 | a |个单位即可得到；
上移 h下移 h
1）y=f(x)y=f(x)+h； 2）y=f(x)y=f(x) h 。
②对称变换：
Ⅰ、函数 y f ( x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于y 轴对称即可得到；
y轴
y=f(x)y=f( x)
Ⅱ、函数 y f ( x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于x轴对称即可得到；
x轴
y=f(x)y= f(x)
Ⅲ、函数 y f ( x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于原点对称即可得到；
原点
y=f(x)y= f( x)
Ⅳ、函数 x f ( y) 的图像可以将函数y f ( x) 的图像关于直线y x 对称得到。
直线 y x
y=f(x)x=f(y)
Ⅴ、函数y f ( 2a x) 的图像可以将函数y f ( x) 的图像关于直线x a 对称即可得到；
直线 x a
y=f( x)y=f(2a x) 。
③翻折变换：
Ⅰ、函数y | f ( x) |的图像可以将函数y f ( x) 的图像的x轴下方部分沿x 轴翻折到 x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y f ( x) 的x轴上方部分即可得到；
y
a
o
y
y=f(x)
b
c
x
a o
y=|f(x)|
b
c
x
Ⅱ、函数 y f (| x |) 的图像可以将函数 y
f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代
原 y 轴左边部分并保留 y
f (x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
y
y=f(x)
y=f(|x|)
a
o
bc
x
a o b
c x
④伸缩变换：
Ⅰ、函数 y
af ( x) (a 0) 的图像可以将函数 y f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵
坐标伸长 (a 1) 或压缩（ 0 a 1）为原来的 a 倍得到；
y a
y=f(x) y=af(x)
Ⅱ、函数 y f (ax) ( a 0) 的图像可以将函数 y f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长
(a 1) 或压缩（ 0 a 1）为原来的 1
倍得到。
a
x a
f ( x) y =f ( x ) y =f ( ax )
（ 3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 2．幂函数
y x (
0,1) 在第一象限的图象，可分为如图中的三类：
1
1
图
在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数
y x 中
111
限于在集合2，1，，，，1，2，3中取值
232
幂函数有如下性质：
⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；
⑵定义域为R 或（，0）（0，）的幂函数都具有奇偶性，定义域为
R 或 0，的幂函数都不具有奇偶性；
⑶幂函数 y x (0) 都是无界函数；在第一象限中，当0 时为减函数，当0时为增函数；
⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1， 1），至多有三个公共点；
四．【典例解析】
题型 1：作图
例 1．（ 08 江苏理 14）
设函数 f ( x)ax33x1(x R) ，若对于任意的 x1,1 都有 f ( x)0 成立，则实数a的
值为▲
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若 x＝ 0，则不论a取何值，f x≥0 显然成立；
当 x＞ 0即 x1,1时， f x ax33x 1 ≥0可化为，a31
x2x3
设 g x 31
'x
3 12x
x在区间
1
上单调递增，在区间x
2
x
3，则 g
x
4，所以 g0,
2
1
,1上单调递减，因此g x
max g14，从而a≥4；
22
1,0f x ax33x1≥ 可化为31，' 3 12x
当 x＜ 0即时，a g x0
x2x34
x
g x在区间1,0上单调递增，因此g x
ma n
g
1 4 ，从而 a ≤4，综上 a ＝4
【答案】 4
点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题
即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个
关系；
例 2．（ 2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和 v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和 t1，下列判断中一定正确的是（）
A.在 t1时刻，甲车在乙车前面
B.t1时刻后，甲车在乙车后面
C.在 t0时刻，两车的位置相同
D.t0时刻后，乙车在甲车前面答案A
解析由图像可知，曲线v v t 0
、0～t1
与
x
轴所围成图形面积大，则在
t0
、
t1
时
甲比乙在 0～
刻，甲车均在乙车前面，选 A.
e x e x
的图像大致为().（ 2） . (2009 山东卷理 ) 函数y
e x
e x
y y y y
1111
O
1x
O
1
x O 1x O1x
D
A B C
答案A
解析函数有意义 , 需使
e x e x0 ,其定义域为x | x0 ,排除C,D,又因为
x
e e x e2 x12
,所以当x0 时函数为减函数,故选A.
x e2 x
1
e2x
11
【命题立意】 :本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
例 3．已知函数y f (x)( x R) 满足 f (x 1) f ( x1)，且当 x1,1 时， f (x)x2，则 y f ( x) 与y log 5 x 的图象的交点个数为（）
A 、 2
B 、 3C、4D、 5
解析：由 f ( x 1) f (x 1) 知函数 y f ( x)y
的周期为 2 ，作出其图象如右，当x=5时，1
f(x)=1,log 5x=1;x
当x>5 时， f(x)= 1∈ [0 ， 1] ，
log 5x>1,y f (x) 与y log5x 的图象不再有交点，故选C
[巩固 ] 设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数 x 满足 f(x+1)=- f(x) ，若当 x∈[0,1]时，x
则 f( log16 )=.
f(x)=2 -1,
2
例 4．（ 2009 江西卷文）如图所示，一质点P(x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动，
速度大小不变，其在 x 轴上的投影点Q( x,0) 的运动速度 V V (t ) 的图象
大致为( )
V (t )
V (t )V (t )V (t)
A B C
t D
O t O t
O t O
答案B
解析由图可知，当质点P(x, y) 在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x,0) 的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点P( x, y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x, y)在开始时沿直线运动，故投影点Q ( x,0)的速度为常数，因此
C 是错误的，故选 B .
题型 3：函数的图象变换
例5．（ 2008 全国文， 21）
21．（本小题满分 12 分）
设 a R，函数 f (x)ax33x2．
（Ⅰ）若 x 2 是函数 y f ( x) 的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g (x) f ( x) f ( x)， x [0，2] ，在 x0 处取得最大值，求 a 的取值范围．解：
（Ⅰ） f (x)3ax26x3x(ax 2) ．
因为 x 2 是函数 y f ( x) 的极值点，所以 f (2) 0 ，即 6(2a
2)
0 ，因此 a 1．
经验证，当 a
1时， x
2 是函数 y
f ( x) 的极值点．
·
·
·4 分
（Ⅱ）由题设，
g (x) ax 3 3x 2 3ax 2 6x ax 2 ( x 3) 3x( x 2) ．
当 g(x) 在区间 [0，2] 上的最大值为 g(0) 时，
g(0) ≥ g(2) ，
即 0≥ 20a 24 ．
故得 a ≤ 6
．
· · ·
·
·9 分
5
反之，当 a ≤
6
时，对任意 x [0，2] ，
5
g( x) ≤ 6
x 2 (x
3) 3x( x 2)
5
3x (2 x 2 x 10)
5 3x
5
(2 x 5)( x 2)
≤ 0 ，
而 g(0)
0 ，故 g(x) 在区间 [0，2] 上的最大值为 g(0) ．
综上， a 的取值范围为
6 ·
·12 分
，．··
5
点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。
例 6．（2009 四川卷文）已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意
实数 x 都有
xf ( x 1)
(1 x) f (x) ，则 f ( 5
) 的值是
(
)
1
2 5 A. 0
B.
C. 1
2
D.
2
答案 A
解析
若 x ≠ 0，则有 f ( x 1)
1
x
f ( x) ，取 x
1 ，则有：
x
2
f ( 1
)
1 1 1
1) f ( 1
)
f ( 1
) （∵ f ( x) 是偶函数，则
f (
1) 2 f (
2
2
1 2 2
2
2
1
f (1
）由此得
1
0 于是
f ( )) f ( )
222
13
5 [
11
f ( 5
) f (
3
1)2 f (
3
)
5
f (
3
) 5 f ( 11)
1
2
] f (
1
) 5 f (
1
) 0
22323232322
22
题型 4：函数图象应用
例 7．函数y f ( x) 与 y g( x) 的图像如下图：则函数y f ( x) g ( x) 的图像可能是（）
y y
y=f(x)y=g(x)
o x o x
y
y y y
o x
o x o x o x
A B C D
解析：∵函数y f (x)g(x) 的定义域是函数y f (x) 与 y g( x) 的定义域的交集( ,0) (0, ) ，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。
由于当 x 为很小的正数时 f (x)0 且 g( x) 0，故 f (x)g(x)0。∴选A。
点评：明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。
例 8．已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，
y 求 b
的范围。
解法一：观察f(x)的图象，可知函数 f(x)的图象过原点，即 f(0)=0, 得 d=0，o12x
又 f(x)的图象过 (1， 0)，
∴ f( x)=a+b+c①
又有 f(－ 1)＜ 0，即－ a+b－c＜ 0②
①+②得 b＜ 0，故 b 的范围是 (－∞， 0)
解法二：如图 f(0)=0 有三根 0，1， 2，
∴f( x)=ax3+bx2+cx+d=ax( x－ 1)( x－2)= ax3－ 3ax2+2ax，
∴b=－ 3a，
∵当 x>2 时， f(x)>0 ，从而有 a>0，
∴ b ＜ 0。
点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。 题型 5：函数图像变换的应用
例 9．已知 0
a 1，方程 a |x|
| log a x |的实根个数为（
）
A ． 2
B ．3
C ． 4
D ．2或3或4
根 据 函 数 与 方 程 的 关 系 ， 知 方 程 a |x| | log a x | 的 根 的 个 数 即 为 函 数 y
a |x| 与 函 数
y | l o g x | 的图像交点的个数
a
该题通过作图很可能选错答案为 A ，这是我们作图的易错点。 若作图标准的话， 在同一个
直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当 0 a
e e
1 时，图像的交点个数为
3 个；
当 a
1 时，图像的交点个数为
4 个；当 a
1 2 个。选项为 D 。
16 时，图像的交点个数为
2
点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数
的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。
例 10．设 f ( x) |2 x 2
| ，若 a
b
0 ，且 f ( a) f (b) ，则 ab 的取值范围是（
）
A ． (0,2)
B ． (0 ,2]
C ． (0 ,4]
D ．(0, 2)
解析：保留函数
y
2 x 2 在 x 轴上方的图像，将其在
x 轴下方的图像翻折到
x 轴上方
区即可得到函数 f ( x)
| 2 x 2 |的图像
通过观察图像，可知 f ( x) 在区间 ( , 2] 上是减函数，在区间 [ 2,0] 上是增函数，
由 a
b
0 ，且 f (a)
f (b) 可知 a
2 b 0，所以 f (a)
a 2 2 ， f (b) 2
b 2 ，从而
a 2 2 2
b 2 ，即 a 2 b 2 4 ，又 2 | ab | a 2 b 2
4，所以 0
ab 2 。选项为 A 。
点评：考察函数图像的翻折变换。
体现了数学由简到繁的原则，
通过研究函数
y 2 x 2
的图像和性质，进而得到
f ( x) |2
x 2 | 的图像和性质。
题型 6：幂函数概念及性质
m
例 11．函数 y
x n (m, n Z , m 0,| m |,| n |
y
互质）图像如图所示，则（
）
A ． mn 0, m, n 均为奇数
B ． mn
0, m,n 一奇一偶
C ． mn 0,m, n 均为奇数
D ． mn 0, m, n 一奇一偶
解析：该题考察了幂函数的性质，
由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在(0, )
m
m
|m|
上单调递减，此时只需保证
0 ，即 mn 0 ，有 y x n
x |n| ；同时函数只在第一象
n
限有图像，则函数的定义域为
(0,
) ，此时 | n |定为偶数， n 即为偶数，由于两个数互质，
则 m 定为奇数
答案：选项为 B 。
点评：该题突破了传统借形言数思路，属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂
函数 y x 在0,0
1,1几种不同情况下函数的图像的特点，更甚至在同一种情
形下
取不同数值对函数图像的影响也要了解 例 12．画出函数 y
3 2x
的图象，试分析其性质。
x
3
解析：先要找出它是哪一种函数平移而来的，它
应 是 由 反 比 例 函 数 平 移 而 来 ，
3 2x 2( x
3) 3
3 2 （这种变
y
3
x
3
x x
3
换是解决这类问题的关键），由此说明，
3 2x
y
3
x 是由 y
3
图象向右平移 3 个单位，再向下平移
2
x
个单位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐
标 轴 的 交 点 位 置 要 大 致 准 确 ， 即
x 0, y
1, y 0, x
3
。故图象一定过 （ 0，－ 1）
2
和
3
,0 两个关键点。
2
再观察其图象可以得到如下性质：定义域{ x | x
3, x R}值域 { y | y2, y R} ，单
调区间 (
,3)和(3, ) 上单调递增； 既不是奇函数也不是偶函数， 但是图象是中心对称图形，
对称中心是（ 3，－ 2）。
点评：幂函数 y
1
的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间不能
x
用并集号 。
题型 7：抽象函数问题
f (x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f (x 2 ).
（Ⅰ）求 f (1) 的值；
（Ⅱ）判断 f ( x) 的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果
f (4) 1, f (3x 1) f (2 x 6) 3,且 f ( x)在(0, ) 上是增函数，求 x 的取
值范围。
（Ⅰ）解：令
x 1 x 2 1,有f (1 1) f (1) f (1), 解得 f (1) 0.
（Ⅱ）证明：令
x 1 x 2
1,
有 f [( 1) ( 1)]
f (
1) f ( 1),解得 f ( 1)
令 x 1
1, x 2
x 有f ( x)
f ( 1) f ( x),
f ( x) f ( x).
∴ f ( x) 为偶函数。
（Ⅲ） f ( 4 4)
f (4) f ( 4) 2, f (16 4) f (16) f (4) 3.
∴ f (3x 1)
f (2x 6) 3即 f [( 3x 1)( 2x 6)] f (64) （ 1）
∵
f ( x)在(0, ) 上是增函数，
∴（ 1）等价于不等式组：
(3x 1)(2x
6) 0, 或 (3x
1)( 2 6)
0,
x 3或 x
1 ,
1
x 3, 64.
7 3 或
3 (3x
1)(2x
6) 64,
(3x
1)(2x
6)
5,
x R
x
3
∴ 3 x 5或
7 x 1 或
1 x 3.
3
3 3
∴x 的取值范 围为 { x |
7 x 1 或 1 x 3或3 x 5}.
3
3
3
点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等
知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。
认真分析处理好各知识的相互联系，
抓住条件 f(x 1+x 2)
＝ f( x 1)·f(x 2)找到问题的突破口， 由 f(x 1+x 2 )=f(x 1)·f(x 2)变形为 f (x) f (
x
x ) f (x ) f ( x
) 是解决
2 2
2
2
问题的关键
例 14．设函数 f ( x)在 (
, )
上满足 f (2 x) f (2 x), f (7 x)
f ( 7 x) ，且
在闭区间 [0， 7]上，只有 f (1) f (3)
0.
y f ( x)
（Ⅱ）试求方程 f (x)0 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论
f (2x) f (2x) f ( x) f (4x)解析：（Ⅰ）由
x) f (7x) f ( x) f (14f (4 x) f (14 x)
f (7x)
f ( x) f ( x10)，
从而知函数 y f ( x)的周期为 T 10
又 f (3) f (1)0,而 f(7)0 ，
f ( 3) f ( 310) f (7)0 ，所以 f ( 3)f (3)
故函数 y f (x)是非奇非偶函数；
(II)又f (3) f (1) 0, f (11) f (13) f ( 7) f ( 9) 0
故f(x)在 [0,10] 和[ －10,0] 上均有有两个解，
从而可知函数y f (x) 在[0,2005]上有402个解，
在 [－ 2005.0] 上有 400 个解 ,所以函数y f ( x) 在[－2005,2005]上有802个解。
点评：充分利用函数的数字特征，并将其转化为函数的性质，再来解题。
题型 8：函数图象综合问题
例 15．如图，点A、B、C 都在函数y=x 的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2。
又A、B、 C 在 x 轴上的射影分别是 A′、 B′、 C′ ,记△ AB′ C 的面积为 f(a)，△ A′BC ′的面积为 g(a)。
（1）求函数 f(a)和 g(a)的表达式；
（2）比较 f(a)与 g(a)的大小，并证明你的结论
解： (1)连结 AA′、 BB′、 CC′,
则f(a)=S△AB′C=S 梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B
11
a a 2 ),
= (A′ A+C′C)= (
22
△ ′
BC ′=
1
A′ C′· B′ B=B′ B=a 1 。
g(a)=S A2
(2) f (a)g(a) 1 (a a2 2 a1)
2
1
[( a 2 a 1) ( a 1 a )]
2
1 (
a 1
a1a
1) 0
221a
∴f(a) 点评：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等，充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口，解题思路：图形面积不会拆拼、 数形结合、等价转化。 例16．（ 2008 湖北理 19） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分）， 这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的 能力 .（满分 12 分） 解法 1：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9000.① 广告的高为a+20 ，宽为 2b+25，其中 a＞0， b＞ 0. 广告的面积S＝ (a+20)(2 b+25) ＝ 2ab+40b+25a+500＝ 18500+25a+40b ≥ 18500+225a40b =18500+1000ab24500. 当且仅当 25a＝ 40b 时等号成立，此时b= 5 a ,代入①式得 a=120，从而 b=75. 8 即当 a=120， b=75 时 ,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm, 宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 . 解法 2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，y25 , 其中x 2 ＞ 20， y＞ 25 两栏面积之和为 2(x－ 20) y 2518000 ,由此得y=1800025, 2x20 广告的面积 S=xy=x( 18000 25)＝1800025 x, 整理得S= 360000x20x 20 25( x20)18500 . x 20 因为 x－ 20＞0，所以 S≥ 236000025(x 20) 1850024500. x20 当且仅当 36000025(x20)时等号成立， x 20 18000 此时有 (x－ 20)2＝ 14400(x＞ 20)，解得 x=140 ，代入 y=+25, 得 y＝ 175， x 20 即当 x=140 ，y＝ 175时， S 取得最小值24500， 故当广告的高为140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小. 点评：充分利用函数图像变换的原则，解决复合问题 五．【思维总结】 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有： （1）函数奇偶性： 奇函数 f ( x) f ( x) ； 偶函数 f ( x) f ( x) 。 （2）函数单调性： 单调递增 f (x1 ) f ( x2 )0或 ( x1x2 )( f (x1 ) x1x2 单调递增 f (x1 ) f ( x2 )0或 ( x1x2 )( f (x1 ) x1x2f ( x2 ))0 ； f ( x2 ))0 。 （3）函数周期性 周期为 T ： f ( x T ) f ( x) 或 f (x T ) f ( x T ) ； 22 （4）对称性 关于 y 轴对称：f (x) f (x) ； 关于原点对称： f (x) f (x) ； 关于直线 x a 对称： f (a x) f (a x) 或 f ( x) f (2a x) ； 关于点 (a, b) 对称： f ( x)2b f (2a x) 或 f ( a x) b b f (a x) 。