概率统计二轮复习建议
理解比模型重要——二轮复习之计数原理概率统计专题
一：从高考看教学目标
（1）从学生答题情况看教学重点
2010年理17、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否ξ 0 1 2 3 p 6125 a d 24125
(Ⅰ)(Ⅱ)求p ，q 的值；
(Ⅲ)求数学期望E ξ。
2011年17．北京理17．本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，
无法确认，在图中以X 表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取
一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布
列和数学期望。
（注：方差()()()
2222121n s x x x x x x n ??=-+-++-????K ，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）
（2）从考察方式看复习重点
计数原理的考察方式
1.（2006北京）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个
2.（2007北京 理）记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法有
A ．1440种
B ．960种
C ．720种
D ．480种
3.（北京2008理）若23
1()n x x +展开式的各项系数之和为32，则n = ,其展开式中的常数项为 。（用数字作答）
4.（2009北京 理）若5(1,a a b +=+为有理数），则a b += （ ）
A ．45
B ．55
C ．70
D ．80
5.（2009北京 理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
6.（2010北京 理）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C
7.（2011北京 理）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共
有________个.（用数字作答）
二：重点知识强化训练
专题一：排列组合（关注学生的思维，纠正错误）
例一：有4名男生，5名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数
1：选其中5人排成一排；
2：选其中5人排成前后两排，前排3人后排2人；
3：全体排成一排，甲不排头也不在排尾；
4：全体排成一排，男生互不相邻；
5：全体排成一排，甲不在中间也不在两端；
6：全体排成一排，甲乙之间有且只有一人的排法；
7：甲排在乙前面的排法（甲乙可以不相邻）；
8：选出5人排成一排，既有男生又有女生的排法；
例二：用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数：
1：其中个位，十位和百位上的数字之和为偶数的四位数有多少个；
2：可组成多少个偶数；
3：可组成多少个小于3000的数字；
4：可组成多少个个位数字小于十位数字的四位数。
例三：4个不同的球4个不同的盒子，把球全部放入盒内
1：恰有1个盒子不放球，共有多少种方法；
2：恰有1个盒子内有两个球，共有多少种方法；
3：恰有2个盒子不放球，共有多少种方法。
专题二：古典概型
1.（浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机
的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
A ．15
B ．25
C ．35
D 45
2.（陕西理10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6
号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概
率是
A ．136
B ．19
C ．536
D ．16 3.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学
参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
4.（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= （A ）18 （B ）
14 （C ）25 （D ）12
5.（广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队
需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A ．12
B ．35
C ．23
D ．34
6.（湖北理12）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至
少取到一瓶已过保质期饮料的概率为_____________ 。（结果用最简分数表示）
7.（福建理13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
8.（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是_________ （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
9.（江苏5）5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两
倍的概率为______
专题三：不同概率模型的使用
一、几何概型
1.（福建理4）如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个
点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
2.（湖南理15）如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随
机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事
件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）P （A ）= _____________; （2）P （B|A ）= ．
3.（江西理12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点， 若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1
4，则去打篮球； 否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为
二、（用样本估计总体）
（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18
[27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
三、（条件概率）
（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= （A ）1
8 （B ）14 （C ）25 （D ）12
四、（正态分布）
（湖北理5）已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ
＜2）＝
Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．2
五、（概率的加法运算和乘法运算）
（湖北理7）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且1A 、
2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、
2A 正常工作的概率依次为0．9、
0．8、0．8，则系统正常工作的概率为
A ．0．960
B ．0．864
C ．0．720
D ．0．576
七、（独立重复试验）
（重庆理13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率
__________
八、统计题型：
1．（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18
[27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
2.（天津理9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队
的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________
3.（辽宁理14）调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：
万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y
对x 的回归直线方程：321.0254.0?+=x y
.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.
4.（江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s
5.（广东理13）某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm
和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ．
专题四：概率大题（模型化不明显，重统计）
1.日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。
2.（安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人
进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完
成任务的概率分别
,,
p p p
123，假设
,,
p p p
123互不相等，且假定各人能否完成任务的事
件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为
,,
q q q
123，其中
,,
q q q 123是
,,
p p p
123的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期
望）EX；
（Ⅲ）假定
p p p
123
1>>>
，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数
目的均值（数字期望）达到最小。
3.（福建理19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2， (8)
其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I
且
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4
7 5 3 4
8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望
产品的等级系数的数学
；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
4.（广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）．下表
（1（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。用上述样本数
据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分
布列极其均值（即数学期望）。
5.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种
甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
（I ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数
学期望；
（II ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上
应该种植哪一品种？
附：样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -+???+-+-=，其中x 为
样本平均数．
6.（全国大纲理18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立
（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；
（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。
7.（全国新课标理19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，
且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,94102
4,102t y t t -
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．
8.（山东理18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，
丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.
9.（陕西理20）如图，A 地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方
案，求X 的分布列和数学期望。
10.（四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车
点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙
不超过两小时还车的概率分别为11
,
42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
11
,
24；两人租车时间都不会超过四小时。
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；
11.（天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，
乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()
E X.
12.（重庆理17）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个
片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数
ξ的分布列与期望