小学奥数 工程问题(三).教师版
工程问题（三）
教学目标
1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分
段处理；
3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中
的应用．
知识精讲
工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量
看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一．工程问题的基本概念
定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等
抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
例题精讲
工程问题方法与技巧
（一）等量代换法
【例 1】 甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙
队单独挖16天，共挖了这条水渠的25
．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一：甲、乙合作完成工程的25需要：230125
?=(天)．甲队先做4天，比合作少了1248-=(天)；乙队后做16天，比合作多了16124-=(天)，所以
甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:81:2=．甲队单独工作需要：3030290+?=(天)；乙队单独工作需要：
3030245+÷=(天)。 法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的130
，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4
天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的
1243015?=，也就是说乙队12天挖了22451515
-=，于是乙队的工作效率为41121545÷=，那么甲队的工作效率就是111304590
-=，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问
题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的．
【答案】甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天
【例 2】 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙
就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需
要多少天？
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，
甲只要13
3天，丙做13天，乙要26天，而甲只要26
3
天他们共同做13天
的工作量，由甲单独完成，甲需要1326
1326
33
++=天
【答案】26天
【例 3】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；
丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的1
5
．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的1
8
，又已知甲每天抄写量等于乙、
丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的1
8
，即甲每天抄写书稿
的1
16；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的1
8
，
即丙每天抄写书稿的1
48；于是可知乙每天抄写书稿的1
8
-1
16
-1
48
＝1
24
.所
以乙一人单独抄写需要1÷1
24
=24天才能完成．
【答案】24天
【例 4】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成．两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要6天，除去自
己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的34，因此甲4天完成的量，乙需要416433
?=天完成，除去与甲合作的2天以外，乙还要做1610233
-=天。 法二：甲的工作效率为16，所以乙的工作效率为113468
?÷=．两队合作2天后乙队独做还要111101226883
??-?-?÷= ???天才能完成． 【答案】103
天
【例 5】 打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间
3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在
规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能
完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间
内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成
这项工作甲、乙所用的时间比是2:3．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多325+=天，所以乙独做需要的天数是：3(32)1532+?
=-(天)，甲独做需要15510-=(天)，甲、乙合做需要11161015??÷+= ???
(天)． 【答案】6(天)
【例 6】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲
先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多
少天可以完成？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画
出示意图：
甲20天乙8天
甲5天乙20天
从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量．于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一
工程需要20424
+=(天)完成，即乙的工作效率是1
24
．
又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工
作效率是乙的4
5，为141
24530
?=，那么甲、乙合作完成这一工程需要的时
间为111
1()13
24303
÷+=(天)．
【答案】1
13
3
天
【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【解析】根据题意可知，甲做862
-=小时的工作量等于乙做1266
-=小时的工作量，
可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量．
那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要
631230?+=小时，
甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要30921-=小时．
【答案】21小时
【巩固】 一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8
小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合
作，还需要几小时才能完成？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由题意可知，甲、乙合作的效率为110；将甲抄8小时，乙抄13小时，
转化为甲乙和抄8小时，乙单独抄5小时，则乙单独工作的效率为
1118(138)1025??-?÷-= ??
?， 所以甲单独工作的效率
113102550
-=．甲、乙两人的工作效率之比为31:3:25025=． 甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要132(32)15
?÷+=小时， 所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要14101855
-=小时． 【答案】485
小时
【例 7】 一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成12
时前来帮忙，待工程完成56
时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟133
天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成．还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】北大附中，资优博雅杯
【解析】 丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成5
6时离去，所以乙、丙合做了全部工程的13；如果丙不来帮忙，这13
的工程由乙独做，那么乙完成这13的工程时间将比乙、丙合做多用103
天．由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的43
倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的43倍，所以乙、丙合做这13
的工程所用的时间为104(1)1033÷-=天．那么乙的工效为11110(1)3340
÷÷+=．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为1120240÷
=天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后两段)乙一个人独
做．那么乙、丙共完成了全部工程的111710240312+??=，根据题意，这
712的工程如果由甲独做，只需要20614-=天，那么甲的工效为71141224÷=．甲
完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做可比计划提前6天完成，所以原计划工期是24630+=天．
【答案】30天
（二）比例法
【例 8】 一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的23
。已知甲与乙的工作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 乙5小时完成总工作量的2313534?=+；乙每小时完成总工作量的115420
÷=；乙需要完成的总工作量为12；乙要完成这个任务还需要的时间：1155220
÷-=（小时） 【答案】5小时
【例 9】 一项工程，甲15天做了14后，乙加入进来，甲、乙一起又做了14
，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完
整个工程需多少天?
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为1.60
又乙、丙工作的天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的14
的工程与甲、乙、丙合作完成1111442
--=的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=
1.60又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的工作效率为3,120丙的工作效率为：5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
11311815()()156627460120260120
+÷++÷+=++=天. 方法二：显然甲的工作效率为160
，设乙的工作效率为3x ，那么丙的工作效率为5x ．所以有乙工作的天数为11
11(3)(8),460260x x ÷++÷+丙工作的天数为11(8).260x ÷+且有111111(3)(8)2(8).460260260x x x ÷++÷+=?÷+即1111(3)(8),460260
x x ÷+=÷+解得1.120x =所以乙的工作效率为3,120丙的工作效率为高5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
11311815()()156627460120260120
+÷++÷+=++=天. 【答案】27天
【例 10】 甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后
因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360
元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问
甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:359:7=来
进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个
村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙
村出了多少人，然后再计算如何分配。
甲、乙两村共派出了453580+=人，而这80人，按照原计划应是甲村派出98036983?=++人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲
村帮丙村派出了45369-=人，乙村帮丙村派出了35323-=人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按9:33:1=来分配给甲、乙两村，所以，甲村应
分得：360(31)3270÷+?=元，乙村应分得：36027090-=元．
【答案】90元
【例 11】 某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量
之比为10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种
车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，
但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一
共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是
多少？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】二中
【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14，速度之比为
6:8:9，所以它们运送1次所需的时间之比为1514145714::::689249=，相同时间
内它们运送的次数比为：249::5714
．在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7．由于三种卡车载重量之比为10:7:6，所以三种卡车的总载重量之比为50:35:42．那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：24950:35:4220:20:275714?????????= ? ? ???????
．在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的工作量之比为40:20:27．所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：
2010401532202027104020271579
?+?=++?+++?()()． 【答案】3279
【例 12】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成
这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的13，因为
甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的14
，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少
元？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】清华附中
【解析】 根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为116318
÷=； 乙、丙两人的工作效率之和为111(1)234
12-?÷=； 甲、乙、丙三人的工作效率之和为111(1)(1)53410-?-÷=． 分别可求得甲的工作效率为
111101260-=，乙的工作效率为1171860180-=，丙的工作效率为
112101845-=，则甲完成的工程量为：()111656060?+=，乙完成的工程量为：()791625180180?++=，丙完成的工程量为：()214254545
?+=，三人所完成的工作量之比为119114:
:33:91:566018045=． 所以，甲应得331800330339156?
=++元，乙应得9133091033
?=元，丙应得
5633056033
?=元． 【答案】甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元
【例 13】 放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如
果同时打开1，3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀
门，则20分钟可以完成；那么，如果同时打开1，2，3号阀门， 分
钟可以完成。
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】 单独打开1号门，20分钟可以完成，说明1号门每分钟完成120
，而同时打开1、2号闸门12分钟可以完成，说明2号闸门每分钟完成
111122030-=，而现在同时打开1、3号闸门，15分钟可以完成，说明3号闸门每分钟完成111152060
-=，则同时打开1、2、3号闸门，需要111110203060??÷++= ???
分钟。 【答案】10分钟
【例 14】 一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲
管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水
时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则
该水箱最多可容纳多少吨水？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18
吨水的时间是乙管注入18236?=吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是36:274:3=．那么在这两种情况下丙管注
水的时间比为4:3，而且前一种情况比后一种情况多注入27189-=吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水9(43)436÷-?=吨．
所以该水箱最多可容纳水183654+=吨．
【答案】54吨
【例 15】 一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注
入30吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满．已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，则该水箱注满时可
容纳 吨水．
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 方法一：乙注入40吨水的时间相当于甲注入401.5
吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为x ，那么，乙注40吨水丙可注水量为4011.530x ?
，所以4013040 1.530
x x +=+?，解得90x =，9030120+=（吨）为水箱容量。 方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了30吨水；如果只打开乙、丙两管，注满水时乙管注入了40吨水．由于乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，所以在甲管注入30吨水的时间内，乙管可以注入
30 1.545?=吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了40吨水，可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的
459408
=倍．可以假设打开乙、丙两管的情况下丙管注了a 吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了98a 吨水，所以有930408
a a +=+，得到80a =，所以水箱注满时可容纳8040120+=吨水．在得到第一种情况所用时间是第二种情况所用时间的98
倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时间为注满水所需时间的98
倍，也就是与第一种情况所用
时间相同．此时，注入的水量也是水箱容积的9
8
倍，即比第一种情况多
了1
8
倍．然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管则注
入30 1.545
?=吨水，比甲管多注了453015
-=吨，所以这15吨就是水箱容
积的1
8，那么水箱容积为1
15120
8
÷=吨．
【答案】120吨
【例 16】有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别有排水孔A和B．A孔和B孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同．现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道使A孔排出
的水直接流入乙箱．70分钟后两水箱同时注满．如果关闭两孔，直接将空水箱注满需要________分钟．
既注水又排水
只注水
只注水
10厘米
20厘米
30厘米
A孔
甲
20厘米
10厘米
既注水又排水
相当于只注水
只注水30厘米
B孔
乙
【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答
【解析】由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，对此可以分阶段进行分析．
如图所示，当注水没有超过30厘米高度时，水没有达到A、B两孔的高度，此时两个孔都不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同；
当水达到30厘米高度而又没有达到50厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水；当甲箱内的水达到50厘米高度时，甲箱
开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同时A孔排出
的水也流入乙箱，由于A、B两孔排水速度相同，所以A孔排出、流入
乙箱的水与B孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水．由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的时间相同，注入的水量也相同，都是10厘米高度的水，那么甲箱的第二个只注水阶段(即注满20厘米高度水
的阶段)所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段(注满10厘米高度水的阶段)所用的时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之
比为20:102:1
=，可见注水速度是排水孔排水速度的2倍．
假设只注水注满10厘米高度水所用的时间为1份，那么对于甲箱
来说，它只注水的时间为5份，既注水又排水的时间为12(21)2
?÷-=份，
所以注满甲箱的总时间为527
+=份，为70分钟，那么1份为10分钟．则
关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要10660
?=分钟．
【答案】60分钟
【例 17】如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，
则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分
钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那
么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，进水管每分钟进水量为160
．由于打开一个出水孔，则需要用65分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这65分钟内的出水量等于进水管5分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：5
16012=，同理可知打开两个出水孔时两个孔出水量为：121605=，由于打开两个出水孔时比打开一个出水
孔时多出了72657-=分钟水，所以一个孔每分钟出水量为：
111(2)72512420-?÷÷=，那么开一个孔的实际出水时间为：113512420
÷=(分钟)．这说明在前面的653530-=分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水
孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水．
1130602?=，即在进水管进了12的水后出水孔才开始出水，此时还需进12的水．所以，开三个出水孔所需的时间为：
11130(3)82.5260420
+÷-?=(分钟)． 【答案】82.5分钟
【巩固】 一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水
孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要
用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64分钟；若打开
两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可
以打开 个出水管，经过 分钟才能将水箱灌满．
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 进水管每分钟灌进水槽容积的160
．而在开一个出水孔和开两个出水孔的情况下，出水孔出的水分别是水槽容积的
141641()606015?-==和
110170160606?-==．两次出的水之比是11:2:5156
=，说明水得放到孔所在的高度才能开始出水．
设进水x 分钟后开始出水，则有(64):[2(70)]2:5x x -?-=，解得40x =． 那么一个出水孔的出水速度为
111(140)(6440)6060360--?÷-=． 要想能够把水槽灌满，由于
11660360=?，所以最多可以打开5个出水孔． 打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间为111405160360360??+÷-?= ???
(分钟)．
【答案】160分钟
【例 18】 有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水
孔A 和B ，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀
速注水，如果打开A 孔，关闭B 孔，那么经过20分钟可将水箱注满，
如果关闭A 孔，打开B 孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔
都打开，经过 分钟才能将水箱注满．
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】人大附中
【解析】 本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同，
只有当水上升到其高度后排水孔才开始排水，在此之前则是不排水的． (法1)方程法．设进水速度为x ，出水速度为y ，立方体水箱的容积为
1．则
21()203312()223
3x x y x x y ?÷+÷-=????÷+÷-=?? 解此类方程，可采用换元法．设1a x =，1b x y
=-，原式可以变形为：
21203312223
3a b a b ?+=????+=??，解得：1824a b =??=?． 所以118
x =，111182472y =-=． 所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为：
111111824(2)263331872
?+?+÷-?=(分钟)． (法2)设单开进水管注满水箱的13
所需进水时间为x 分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的13
所需的进水时间为y 分钟．则 220222x y x y +=??+=?
，解得：6x =，8y =． 以水箱的13看作“1”，则进水速度为16，出水速度为11168
24-=， 所以灌满水箱最上层的13需要111212624??÷-?= ???
分钟． 那么总共需要681226++=(分钟)．
(法3)图示法．
如图所示，阴影部分表示单开进水管，空白部分表示同开进水管与一
个出水管，比较两图，可以看出两图中上、下两格的时间完全相同． 则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了
22202-=分钟．
所以，假设左图三格全黑——即单开进水管注满水箱，时间为20218-=分钟，即进水管的进水速度为118
； 再假设右图三格全白——即同开进水管与一个出水管注满水箱，时间
为22224+=分钟，则其进水速度为
124
，则一个出水管的出水速度为
111182472
-=． 所以，同时打开两排水管的进水时间为：1111
11824(2)263331872
?+?+÷-?=(分钟)．
【答案】26分钟
【巩固】 一个没有盖的水箱，在其侧面13高和23
高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面给水箱
注水．如果打开A 关闭B ，那么35分钟可将水箱注满；如果关闭A 打开
B ，那么40分钟可将水箱注满．如果两个孔都打开，那么需要多少分
钟才能将水箱注满？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，要注13
水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用40355-=分钟，
那么不开出水孔时注满水箱需35530-=分钟，如果一直开一个出水孔需要40545+=分钟．说明每分钟注水量为
130，一个孔每分钟排水量为111304590
-=． 如果两个孔都打开，需要1111130452553333090???+?+÷-?=
???分钟． 【答案】55分钟
【例 19】 有一个长方体水箱水平放置，侧面有一条与地面平行的裂缝，当水箱
中的水漫过裂缝时，裂缝会以每分钟O.4立方分米的速度往外渗水。
现在用一个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，注到一半时哈
好用了40分钟，再过50分钟注满。如果用两个每分钟注水1立方分
米的水龙头往内注水，注满这个水箱需要 分钟。
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 如裂缝在一半或一半以下，则后50分钟实际注水
(1-0.4)×50=30(立方分米)，
所以水箱总容积为30×2=60(立方分米)。
前40分钟内，裂缝向外渗水1×40-30=10(立方分米)，渗掉这10立方分米水，需时10÷0.4=25(分)，那么没渗水的时间为40-25=15(分)。所以裂缝在水箱从下往上的15÷60=14
处。 用两个水龙头注水需要时间 ()11560260120.435448???÷+?-÷-= ???
（分） (2)如裂缝在一半以上，则前40分钟实际注水
1×40=40(立方分米)，
所以水箱总容积为40×2=80(立方分米)。
后50分钟内，裂缝向外渗水1×50-40=10(立方分米)，渗掉这10立方分米水，需时lO÷0.4=25(分)，那么没渗水的时间为40+50-25=65(分)。所以裂缝在水箱从下往上的13658016
÷=处。 两个水龙头注水需要时间 ()1313780280120.44116168???÷+?-÷-= ???
（分钟）
两个水龙头往内注水，注满这个水箱需要3558分钟或4l 78
分钟。
（三）列表法
(完整版)小学奥数-平均数问题(教师版)(2)
平均数问题 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 【例1】★有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【解析】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）； （2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个） （3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个） 由（1）（2）两个等式可知： 1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。 1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个） 1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个） 1箱苹果有多少个：28＋18=46（个） 【小试牛刀】一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 【解析】甲113 丁77 【例2】★一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 【解析】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。 【小试牛刀】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？ 【解析】9人 【例3】★五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。 【小试牛刀】五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分
(小学奥数)1-3-5 换元法.教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令 111 1 246 a +++=， 111 246 b ++=，则： 原式 11 ()() 66 a b a b =-?-?- 11 66 ab b ab a =--+ 1 () 6 a b =- 11 1 66 =?= 【答案】1 6 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 111 234 a=++，则原式化简为： 111 1(1 555 a a a a + (+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】计算： 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令621739458 126358947 a ++=； 739458 358947 b +=， 原式 378378 207207 a b a b ???? =?+-+? ? ? ???? ()3786213789 207126207 a b =-?=?=例题精讲 教学目标 换元法
小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)
鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多 样，但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只？ 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情 况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是 2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？ 【解析】2分10枚，5分30枚 【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？ 【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需 45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？ 【解析】96吨
小学奥数教师版合辑-1-23通项归纳
【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 方法一：令12481024a =+++++，则22481610242048a =++++++，两式相减，得 204812047a =-=。 方法二：找规律计算得到102421=2047?- 【答案】2047 【例 2】 在一列数：135********，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1 1000 ？ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－2121n n -+＜1 1000 ，解出n ＞999.5， 从n ＝1000开始，即从 1999 2001 开始，满足条件 【答案】1999 2001 【例 3】 计算：111 112123122007 + ++? +++++? 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项公式1211 2()12(1)1n a n n n n n ===-++?++ 原式111 12(21)3(31)2007(20071) 222 =++++?+?+?+ 222212233420072008=++++ ???? 200722008=? 2007 1004= 【答案】2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 ++++ +++++++ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项：()() ()111 1352122132 n a n n n n n ===+++++?++? 原式111111 132435469111012 =++++++ ?????? 1 111111335 91124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175 264 = 例题精讲 通项归纳
小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算
定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝52×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）
(完整版)小学奥数-整数计算综合(教师版)
整数计算综合 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个 数相加，再与第一个数相加，它们的和不变. 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即a b b a ?=?,其中a ，b 为任意数. 4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数 相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即()()a b c a b c a b c ??=??=?? . 解题时需要注意的几点： 1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。 2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。 【例1】★19199199919999199999++++ 【解析】原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 ----- =20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215 -- 【小试牛刀】898998999899998999998+++++= 【解析】1111098 【例2】★10099989796321+-+-++-+L 【解析】暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。 原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+L 100491=++ 150= 【小试牛刀】989796959493929190894321+--++--++---++L 【解析】99 【例3】★1111111111? 【解析】1111111111123454321?=
小学奥数 换元法.教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624 + +?++-+++?+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令1111246a + ++=，111 246 b ++=，则： 原式11()()6 6 a b a b =-?-?- 1166 ab b ab a =--+ 1()6a b =-11166 =?= 【答案】16 例题精讲 教学目标 换元法
【巩固】 11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 + ++?+++-++++?++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设111234a = ++，则原式化简为：111 1(1555 a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15 【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947???????? ++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令 621739458126358947a ++=；739458 358947 b +=， 原式378378207207a b a b ????=?+-+? ? ? ? ???()3786213789207126207a b =-?=?= 【答案】9 【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)- (0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++， 原式=(0.1x +)y ?-(0.1y +)0.1x ?=?(y x -)0.054321= 【答案】0.054321 【巩固】 计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式 a =?(10 b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=?(a b -) 10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?= 【答案】0.2
(完整版)小学奥数-比和比例(教师版)
比和比例 【例1】★已知3 :（x -1）=7:9，求x . 【解析】7 64=x 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。 【解析】原有40人，男生有40×3÷5=24人，女生40-24=16人， 现在男女人数之比24:20=6:5 【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？ 【解析】长+宽相等。甲的长:宽=6:4，乙的长:宽=7:3. 所以甲乙的面积比为(64):(73)8:7??= 【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？ 【解析】两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精:水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精:水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=(15+16):(5+4)=31:9 【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。问:水果店运来的西瓜有多少个？ 【解析】卖的瓜的总数比为西瓜:白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28×12=336个。 【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？ 【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比21 2331=：：，平均价格为6223 3.623 ?+?=+(元/千克) 【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？ 【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工5340010053-?=+（个） 【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲? 【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x 分追上甲，则甲用(5+x )分，3(5+x )=4x ，x =15 【例6】★★甲走的路比乙多31，乙用的时间却比甲多4 1，则甲乙两人的速度比是多少? 【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3 【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5，如果甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达A 地比甲到达B 地晚多少分钟？
小学奥数浓度问题教师版
溶液浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量 乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z y %浓度x 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 1、“稀释”问题：把浓度高的溶液经过添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。特点是加“溶剂”，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例1、典型例题2 练习1、要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水，须加水多少克？ 练习2、治棉铃虫须配制0.05%的“1059”溶液，问在599千克水中，应加入30%的“1059”溶液多少千克？ 练习3、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥，现在含氨16%的氨水30千克，配置时需加水多少千克？
2、“浓缩”问题：把浓度低的溶液经过减少溶剂变为浓度高的溶液的过程称为浓缩。特点是减少溶剂，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例2、在含盐0.5%的盐水中蒸去了236千克水，就变成了含盐30%的盐水，问原来的盐水是多少千克？ 练习4、要从含盐12.5%的盐水40千克中蒸去多少水分才能制出含盐20%的盐水？ 3、“加浓”问题：把浓度低的溶液经过增加溶质变为浓度高的溶液的过程称为加浓。特点是增加溶质，解题关键是找到始终不变的量（溶剂）。 例3、有含盐8%的盐水40千克，要配制成含盐20%的盐水，须加盐多少千克？ 例4、典型例题3 练习5、有浓度为7%的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10%，需要加盐多少克？ 解：变化前溶剂的重量为600×（1-7%）＝558（克）， 变化后溶液的重量为588÷（1-10%）＝620（克）， 于是，需加盐620-600＝20（克）， 答：需加盐20克。 4、配制问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品），解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变，找到两个等量关系。 例5、典型例题1 练习6、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200ml清水，乙瓶里装了200ml纯酒精，第一次把20ml 纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20ml溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含酒精多，还是乙瓶里含水多？ 5、混合问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品），解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变，找到两个等量关系。 例6、把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克，分别应取两种食盐水各多少千克? 例7、在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？
小学奥数教师版-5-4-4 完全平方数及应用(一)
5-4-4.完全平方数及应用（一） 教学目标1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-例题精讲 模块一、完全平方数计算及判断
(完整版)小学奥数-还原问题(教师版)
还原问题 还原问题是逆解应用题，还原问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。解题时，从最后一个已知量出发，逐步进行逆推性运算，即原来是加的，运算时就减；原来是减的，运算时就加；原来是乘的，运算时就除；原来是除的，运算时就乘。列综合算式时，要特别注意运算顺序，为此要正确使用括号。 如小莉要把一个包装精美的盒子打开。她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里有一个绒布盒；再打开绒布盒一看，里面是两支“派克”金笔。妈妈说，这礼物是送给大学老师的，要小莉把它重新包装起来。小莉是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒布盒→盖上绒布盒，并把它放进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好。 小莉重新包装的步骤（顺序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。这是生活中常会遇到的“还原问题”。在数学中，还原问题也很多。 【例1】★小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？ 【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。 【小试牛刀】某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？ 【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。 【例2】★小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。【小试牛刀】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克。 【例3】★两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴
小学奥数之简单乘法原理.教师版
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系． 3.培养学生准确分解步骤的解题能力； 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯． 一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？ 我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定 要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了． 二、乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么 一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法． 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条． 三、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分N 个必要步骤； 2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘 7-2-1.简单乘法原理 知识要点 教学目标
最新小学奥数奇妙的一笔画题库教师版
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法． 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成． 【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？ 【解析】奇点：J D H F偶点：A E B C G I 【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画． N M L K F D E C B A 图b O D C B A 图c G F E D C B A 例题精讲 奇妙的一笔画
【解析】图a能，因为有2个奇点， 图b不能，因为图形不是连通的， 图c能，因为因为图中全是奇点 【例 3】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？ 【解析】图1能因为图中全是偶点， 图2能因为图中全是偶点， 图3不能因为有4个奇点． 【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 【解析】第1个能，2、3不能 【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图． 【解析】不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出． 【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？ 该怎样爬？ 【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够． 【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 【解析】可以．
(完整版)小学奥数-比和比例(教师版).doc
比和比例 【例 1】★已知 3 : （x-1 ） =7:9 ，求x. 6 7 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2 ，又来了 4 名女生后，全班共有 人数之比。 【解析】原有40 人，男生有40×3÷5=24 人，女生40-24=16 人， 现在男女人数之比24:20=6:5 【例 2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2 那么甲与乙的面积之比是多少？ 【解析】长 +宽相等。甲的长: 宽 =6:4 ，乙的长 : 宽 =7:3. 44 人。求现在的男、女生 ，乙的长与宽之比是7:3 ， 所以甲乙的面积比为(6 4) : (7 3) 8: 7 【例 3】★★ 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1 ，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是 4:1 ，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？ 【解析】两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精: 水 =3:1=15:5 ，第二个瓶子酒精 : 水 =4:1=16:4 ，于是混合后酒精 : 水 =(15+16):(5+4)=31:9 【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5. 如果每天卖白兰瓜40 个，西瓜 50 个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36 个。问 : 水果店运来的西瓜有多少个？ 【解析】卖的瓜的总数比为西瓜: 白兰瓜 =5:4=25:20, 原有西瓜 : 白兰瓜 =7:5=28:20, 西瓜剩 3 份 36 个 , 每份 12 个，所以原有西瓜 28×12=336 个。 【例 4】★★ 商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1 ，甲种糖果每千克 6 元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？ 【解析】费用比2:1 ，单价比3:1 ，重量比2 1 2：3 ，平均价格为 6 2 2 3 ( 元 / 千克 ) 3 ： 2 3 3.6 1 【例 5】★★甲乙二人共加工零件400 个，甲加工一个零件用9 分钟，乙加工一个零件用15 分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？ 400 5 3 100 【解析】工效之比 15:9=5:3 ，甲比乙多加工 5 3 （个） 【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40 分和 30 分，甲先走 5 分后乙再追，乙几分钟才能追上甲 ? 【解析】甲乙速度之比3:4 ，设乙 x 分追上甲，则甲用(5+ x ) 分， 3(5+ x )=4 x ， =15 x 【例 6】★★甲走的路比乙多1 ，乙用的时间却比甲多 1 ，则甲乙两人的速度比是多少 ? 3 4 【解析】甲乙路程之比是4:3 ，甲乙时间之比是4:5 ，所以甲乙速度之比是5:3 【例 7】★★ 从 A 地到 B地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5 ，如果甲、乙两人同时分别从 A、 B 两地相对骑出，40 分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达 A 地比甲到达 B 地晚多少分钟？
(完整版)小学奥数教程之角度计算教师版全国通用
4-1-3.角度计算 知识点拨 一、角 1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角 2、表示角的符号：∠ 3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种 （1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 （2）直角：等于90°的角叫做直角。 （3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 （4）平角：等于180°的角叫做平角。 （5）优角：大于180°小于360°叫优角。 （6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。 （7）周角：等于360°的角叫做周角。 （8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。 （9）正角：逆时针旋转的角为正角。 （10）0角：等于零度的角。 4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大， 角就越大，相反，张开的越小，角则越小。 二、三角形 1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形 2、内角和：三角形的内角和为180度； 外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。 3、三角形的分类 （1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。 直角三角形：有一个角等于90度。 钝角三角形：有一个角大于90度。 注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 （2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。 模块一、角度计算 【例 1】有下列说法： (1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角， (2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角． (3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角． (4)三角形的三个内角中至少有两个锐角． (5)三角形的三个内角可以都是锐角． (6)直角三角形中可胄邕有钝角． (7)25?的角用10倍的放大镜看就变成了250? 其中，正确说法的个数是
小学奥数(教师版)
1 看谁算得巧（一） 知识要点：凑整求和 重点及难点：灵活地进行凑整 我们知道，学数学，离不开算。要想学好数学，首先要会算，也就是能正确地算出结果；其次要算得巧、算得快。在一年级学习一位数加法时，我们曾学习过凑十法，现在我们在计算两位数的加法时，也可以采取类似的方法，把其中的一个两位数凑成几十。 例1： 计算：38+47 (⊙o ⊙) 哦 这样想：为了把38凑成40，我们可以把47分成2和45，然后把38和2先相加凑成40，再与45相加。 38+47 =38+2+45 =40+45 =85 例2：计算： 19+27+21+13 这样想：观察算式中的4个加数，我们发现这4个加数的个位数字有这样的特点：9+1=10，7+3=10，即两数相加和是整十数。整十数相加比较简单，所以我们可以把能凑成整十数的两个加数先相加，用小括号将其括起来，表示计算时先要计算括号中的两数的和。 19+27+21+13 =（19+21）+（27+13） =40+40 =80 例3：计算：9+19+29+39 这样想： 观察算式中的各个加数，容易发现每个加数的个位数字都是9，我们可以给每个加数都加上1，使其变成整十数，然后计算这些整十数的和，最后再减去多加的1。 9+19+29+39 =10+20+30+40-4 =100-4
2 =96 第一讲 一笔画问题 小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？ 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么 是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。 典型例题 例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ （1） （2） （3） （4） 分析 图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。 经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。 图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点 出发都可以。 通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出 有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇 点。 再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画 起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。 这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底 存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。 例【2】 下面各图能否一笔画成？ （1） （2） （3） 分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的 偶点。
小学奥数教师版-2-1-1 等量代换 教师版
教学目标 1、利用生活的相等关系进行推理，并进行等量代换 2、通过等量代换思想学习图文算式，培养学生的逆向思维和发散思维 3、在代换中锻炼学生的分析问题能力和推理判断能力 知识精讲 生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关系进行推理，进而可以等量代换，找到答案. 这一节课我们就引导学生来学习等量代换中推理的方法，让学生能对较复杂的物体进行代换，在代换的过程中培养学生的思维能力. 模块一、看的见的等量代换 【例1】看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡. 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】1只小兔的重量等于6 只鸟的重量，右边要放6只鸟，跷跷板才能保持平衡. 【答案】6 【巩固】下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡? 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】1个香蕉的重量=3个方块的重量，右边要放3个方块天平才能保持平衡. 【答案】3 【巩固】下图中0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9十个兄弟玩跷跷板，8和6先坐在一头，让哪两个兄弟 坐在另一头，才能使跷跷板平衡？ 等量代换
【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】右边8+6=14，左边只能放9和5，9+5=14. 【答案】14 【巩固】一个苹果等于（）个草莓. 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】一个苹果等于4个草莓. 【答案】4 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】第三个盘子应放6个玻璃球才能保持平衡． 【答案】6个 【巩固】巳知＝60克，求＝？克． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】从左边的图可得：3个白球=2个黑球的重量，也就是等于6060120 ÷=（克）， +＝（克），120340所以每个白球的重量等于40克．从右图可得：1个正方体=4个白球的重量，一个白球的重量等 ?=（克）． 于40克，1个正方体的重量就是：404160 【答案】160克 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡？ 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答
小学奥数和倍问题(教师版)
和倍问题 a、通过直观演示的教学，让学生理解和倍问题的特点及其解题思路，学会解决身边的数学问题。 b、解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性. c、通过合作探究，让学生知道用不同的方法解决同一个问题，进而提高解决问题的能力；培养学生全面解决问题的习惯和灵活解决问题的能力，培养学生与他人相互交流，合作的意识。 知识点说明： 和倍问题就是已知大小两数的和，以及大小两数的倍数关系，求大小 两数的问题．和倍问题的特点与和倍问题类似。 解答和倍问题的关键是要确定两个数量的和及相对应的倍数和，一般情况 下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的 数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数或和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l份数×(倍数－1)=两数差. 1、小卫家里养了20只兔子，其中大兔只数是小兔的4倍，问小卫家养的小兔和大兔各有多少只？ 2、被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，被除数和除数各是多少？ 3、某校四、五年级共有学生218人，五年级学生人数比四年级的2倍少22人。问四、五年级各有学生多少人？
4、两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商及余数相加，和是43，求被除数和除数。 5、姐姐有连环画38本，妹妹有连环画52本，姐姐要给妹妹多少本连环画，才能使妹妹的本数是姐姐的2倍？ 6、两箱茶叶共176千克，从甲箱取出30千克放乙箱，乙箱的千克数就是甲箱的3倍。两箱原有茶叶多少千克？ 1.甲数是乙数的3倍，丙数是乙数的4倍，丁数是丙数的一半，四个数的和是1040，丁数是多少？ 2. 一个长方形，周长是48厘米，长是宽的3倍，求这个长方形面积 3、有俩堆木料，第一堆50根，第二堆70根，从第一堆拿多少根木料到第二堆，才能使第二堆木料数是第一堆的3倍？ 4.哥哥有700元钱，弟弟有300元钱，弟弟给哥哥多少钱后，哥哥的钱是弟弟的钱的4倍 5.师傅和徒弟共加工零件100个，师傅加工的零件数是徒弟的2倍少20，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 6.李新有邮票45张，王磊有邮票30张，要是李新的邮票数是王磊的2倍，那么王磊要给李新多少张邮票？ 1.俩个数相除，商为8，被除数除数和商的和为170，求被除数是多少。 2.五年一班原来有42名学生，开学时又转来3名男生，这时男生人数是女生的2倍，原有男生多少人。 3.甲乙俩数之和是99，乙数末尾添上0后就和甲相等。甲乙各是多少？ 4.陈军和张军俩人公用72元购买体育彩票，陈军买彩票的钱数是张军的3倍少8元，问俩人购买彩票各用多少元