罗大雷-导热问题的数值解法
导热问题数值解法初次研究
对物理物体的数值求解的基本思想可以概括为：把原有的时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上的值。这些离散点上的被求解物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
物理模型
在四个输气的管道中间有一个各边长为10厘米的薄铁片，求导热其达到稳态后，这块铁片的温度分布。四个输气管道里的气体温度是恒值分别为100℃、200℃、500℃、1000℃。因此，可以看成是二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题。
建立数学模型
描写物理问题的微分方程称为控制方程，导热微分方程为：
2
2
22
0t t x
y
??+
=?? （1）
其四个边界分别为第一类边界条件，1234t =1005002001000===℃、t ℃、t ℃、t ℃。
区域离散化
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。相邻两节点的距离称为步长，记为x ?、y ?。本模型x 、y 方向是各自均分的，各自为100个子区域。节点的位置以该节点在两个方向上的标号m 、n 来表示。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，由相邻的两节点连接的中垂线构成。为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体。
数学模型离散化
它的建立是数值求解过程中的重要环节，主要有泰勒级数展开法及热平衡法两种，取节点（m ，n ）及其临点为例。
泰勒级数展开法
以节点（m ，n ）处的二阶偏导数为例用这种方法来导出其差分表达式。对节点(1,)m n +及(1,)m n -分别写出函数t 对（m ，n ）的泰勒级数展开式：
2
2
33
4
4
1,,,,,,2
3
4
2624m n m n m n
m n
m n
m n
t x t x t x
t
t t x
x x
x
x +???????=+?+
+
+
+???? （2）
2
2
3
34
4
1,,,,,,2
3
4
2
624m n m n m n m n
m n
m n
t x t x t x
t
t t x
x
x
x
x
-???????=-?+
-
+
+???? （3）
将式（2）、（3）相加得
2
4
42
1,
1,
,
,
,
2
4
212m n m n m n m n
m n
t x
t
t t t x x
x
+-
???+=+?++?? （4） 将（4）式改写成2
,2
m n t x
??的表达式，有
2
1,
,1,
2
,2
2
2()m n m n m n m n
t t t t O x x
x
+-
-+?=
+??? （5）
这是用三个离散点上的值来计算二阶导数
2
,2
m n
t x
??的严格的表达式，其中符号2()
O x ?表示未明确写出的级数余项中x ?的最低阶数为2。在进行数值计算时，我们希望得出用三个相邻节点上的值表示的二阶导数的近似表达式。于是，略去式(5)中的余项后，得
2
1,
,1,
,2
2
2m n m n m n m n t t t t x
x
+-
-+?=
?? （6-1）
这就是二阶导数的差分表达式，称为中心差分。同理可有
2
,1,,
1
,2
2
2m n m n m
n m n t t t t x
x
+--+?=
?? （6-2）
将式（6-1）、（6-2）代入式（1）得离散方程
1,
,1,
,
1,,1
2
2
220m n m
n m n m
n m
n m
n t t t t t t x
y
+-
+-
-+-++
=?? （7）
如果，x y ?=?，则式（7）即为下式，
,1,
1,
,
1,11()4
m n m n m n m
n m
n t t t t t +
-
+-
=+++ （8）
热平衡法
采用这种方法时，对每个节点所代表的元体可用傅里叶导热定律直接写出其能量守恒形式的表达式。此时把节点看成是元体的代表。通过元体的界面所传导的热流量可以对有关的
两个节点应用傅里叶定律写出。
例如，从节点(1,)m n -通过界面w （节点(1,)m n -西面的界面）传导到节点(,)m n 的热流量可写为
1,,m n m n
w t t
k y
x
φ--=?? （9-1）
类似的可以写出通过其他三个界面e 、n 、s 而传到给节点的(,)m n 的热量。
1,,m n m n
e t t
k y
x
φ+-=?? （9-2）
,
1
,m n m n
n t t
k x
y φ+-=?? （9-3）
,
1
,m n m n
s t t
k x
y
φ--=?? （9-4）
对于所研究的问题，元体(,)m n 的能量守恒方程为
0w e n s φφφφ+++= （10）
将（9-1）、（9-2）、（9-3）、（9-4）分别代入得
1,,1,,,1,,1,0m n m n
m n m n
m n m n
m n m n
t t t t t t t t k y
k y
k x
k x
x
x
y
y
-++-----?+?+?+?=???? （11）
（11）式中都已热量导入元体(,)m n 的方向为正，对其进一步两边同除以k x y ??可得出式
1,
,1,
,
1,,1
2
2
220m n m
n m n m
n m
n m
n t t t t t t x
y
+-
+-
-+-++
=??
即为式（7）。
如果，x y ?=?，则式（7）即为下式，
,1,
1,
,
1,11()4
m n m n m n m
n m
n t t t t t +
-
+-
=
+++
即为式（8）。
有上述推导过程可见，用热平衡法导出式（11）的思路和过程与建立导热微分方程的思
路和过程完全一致，所不同的只是建立导热微分方程所讨论的是一个微元体，而此处的为一个有限大小的元体。
建立迭代初场和给出边界条件
四个输气管道里的气体温度是恒值分别为100℃、200℃、500℃、1000℃，因此可设四条边的温度分别为1234t =1005002001000===℃、t ℃、t ℃、t ℃。此次大作业采用迭代法，因此需要对被求的温度场预先假定一个值，设为四条边最低温度100=0t ℃，此值在迭代中不断更新。
求解离散化方程
采用FORTRAN 语言求解离散化方程，原程序如下： program Heattransfer_Problem_kk12000 implicit none
integer:: m_x=101 !x 方向的网格点数!
integer:: n_y=101 !y方向的网格点数!
integer:: k_k=12000 !迭代次数!
integer m !x方向的网格代号!
integer n !y方向的网格代号!
integer k !迭代次数!
real,allocatable:: t(:,:) !声明可变大小的数组!
!定义初值函数!
real,external:: f
allocate(t(m_x,n_y))
!赋初值（第一时间层）!
do m=1,m_x !x方向循环!
do n=1,n_y !y方向循环!
t(m,n)=f(m,n)
end do
end do
!计算温度场的结果!
do k=1,k_k !迭代次数增加!
do m=2,m_x-1 !x方向循环!
do n=2,n_y-1 !y方向循环!
!计算温度场的函数，输入一点周围四点温度值，返回这一点下一迭代层的值!
t(m,n)=(t(m+1,n)+t(m-1,n)+t(m,n+1)+t(m,n-1))/4
end do
end do
!if(max(abs(t(m,n,k)-t(m,n,k-1)),0.1*0.1*0.1)<=0.1*0.1*0.1) exit
end do
!输出温度场结果，结果的格式符合Tecplot的格式!
open(unit=10,file='temperature_distributing.txt')
write(10,*) '"m","n","k","t"'
do n=1,n_y !y方向循环!
do m=1,m_x !x方向循环!
write(10,*)m,n,k,t(m,n) !输出t(m,n,k),m,n,k !
end do
end do
!主程序结束!
stop
end
!定义初值函数体!
function f(x,y)
implicit none
real:: f
integer:: x
integer:: y
real,parameter :: t1=100
real,parameter :: t2=500
real,parameter :: t3=200
real,parameter :: t4=1000
!给左边赋t1!
if (x==1 .and. y>1 .and. y<101) then
f=t1
!给右边赋t3!
else if (x==101 .and. y>1 .and. y<101) then
f=t3
!给下边赋t2!
else if (y==1) then
f=t2
!给上边赋t4!
else if (y==101) then
f=t4
!给内部点赋假定值t1!
else
f=t1
end if
return
end
解的分析
温度场分布见“导热问题求解结果.txt”文件。
在程序中，分别令迭代次数为10、25、50、100、200、500、1000、1500、2000、5000、7500、10000、15000、12000、11000，从结果可以看出，迭代100步时，边界的温度影响传到了全场，迭代12000步收敛了。取m=50,n=50的节点温度为例，迭代次数为10、25、50、100、200、500、1000、1500、2000、5000、7500、10000、15000、12000、11000，温度分
别为100.0000℃(10)、 100.0000℃(25)、 100.0000℃(50)、 100.0044℃(100)、 100.5426℃(200)、 131.3818℃(500)、 235.3835℃(1000)、 315.1268℃(1500)、 365.4749℃(2000)、440.8724℃(5000)、 444.0441℃(7500)、 444.9626℃(10000)、 444.9761℃(15000)、444.9761℃(12000)、 444.9761℃(11000)。
此次求解具有良好的收敛性，温度场分布符合物理规律。
热传导方程的初值问题
§2热传导方程的初值问题 一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题) ?? ???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0 ,),,(2 2 2? （） 偏导数的多种记号xx x t u x u u x u u t u =??=??=??22,,. 问题也可记为 ?? ?+∞ <<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0 ,,),(2?. Fourier 变换 我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上 可积，若积分 ? +∞ ∞ -dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。 将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1 +∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{ } ∞<=+∞-∞=+∞-∞? +∞ ∞ -dx x f f L L )(| ),(),(1 ，称为可积函数空间. 连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C , {}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。 定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分 ),(?)(21 λπ λf dx e x f x i =? +∞ ∞ -- 有意义,称为Fourier 变换, )(? λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ? +∞ ∞ --= =dx e x f f Ff x i λπ λλ)(21)(?)( 定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1 +∞-∞?+∞-∞∈C L f ,那么我们有
传热学导热问题的数值解法
导热问题的数值解法 1 、重点内容：① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 由前述3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法 数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 分析解法与数值解法的异同点： 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z) ；②。不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立 实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1 表示。 由此可见： 1 ）物理模型简化成数学模型是基础； 2 ）建立节点离散方程是关键； 3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。 一数值求解的步骤 如图4-2 （a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下： 1 建立控制方程及定解条件 控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（a ）边界条件：x=0 时， x=H 时， 当y=0 时， 当y=W 时， 区域离散化（确立节点）
导热方程求解matlab
使用差分方法求解下面的热传导方程 2 (,)4(,) 0100.2t xx T x t T x t x t =<<<< 初值条件：2(,0)44T x x x =- 边值条件：(0,)0(1,)0 T t T t == 使用差分公式 1,,1,2 2 2 (,)2(,)(,) 2(,)()i j i j i j i j i j i j xx i j T x h t T x t T x h t T T T T x t O h h h -+--++-+= +≈ ,1,(,)(,) (,)()i j i j i j i j t i j T x t k T x t T T T x t O k k k ++--= +≈ 上面两式带入原热传导方程 ,1,1,,1,2 2i j i j i j i j i j T T T T T k h +-+--+= 令2 24k r h =，化简上式的 ,1,1,1,(12)()i j i j i j i j T r T r T T +-+=-++ i x j t j
编程MA TLAB 程序，运行结果如下 1 x t T function mypdesolution c=1; xspan=[0 1]; tspan=[0 0.2]; ngrid=[100 10]; f=@(x)4*x-4*x.^2; g1=@(t)0; g2=@(t)0; [T,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [x,t]=meshgrid(x,t); mesh(x,t,T); xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') function [U,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid) % 热传导方程：
热传导方程的求解
应用物理软件训练 前言 MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple 并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其
他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。 本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。
题目：热传导方程的求解 目录 一、参数说明 (1) 二、基本原理 (1) 三、MATLAB程序流程图 (3) 四、源程序 (3) 五、程序调试情况 (6) 六、仿真中遇到的问题 (9) 七、结束语 (9) 八、参考文献 (10)
一、参数说明 U=zeros(21,101) 返回一个21*101的零矩阵 x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量 meshz(u)绘制矩阵打的三维图 axis([0 21 0 1]);横坐标从0到21，纵坐标从0到1 eps是MATLAB默认的最小浮点数精度 [X,Y]=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同 waterfall(RR,TT,wn)瀑布图 二、基本原理 1、一维热传导问题 （1）无限长细杆的热传导定解问题 利用傅里叶变换求得问题的解是： 取得初始温度分布如下 这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得 （2）有限长细杆的热传导定解问题
一维非稳态导热问题的数值解
计算传热学程序报告 题目：一维非稳态导热问题的数值解 ： 学号： 学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日
一维非稳态导热问题数值解 求解下列热传导问题： ? ?? ????=====≤≤=??- ??1,10),(,1),0(0)0,()0(01T 22ααL t L T t T x T L x t T x 1.方程离散化 对方程进行控制体积分得到： dxdt t T dxdt x T t t t e w t t t e w ? ?? ??+?+??=??α 1 2 2 ? ? -=??-???+?+e w t t t w e t t t dx T T dt x T x T )(1])()( [α 非稳态项：选取T 随x 阶梯式变化，有 x T T dx T T t p t t p e w t t t ?-=-?+?+? )()( 扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有 t x T x T dt x T x T t w t e w e t t t ???-??=??-??? ?+])()[(])()[( 进一步取T 随x 呈分段线性变化，有 e P E e x T T x T )()( δ-=?? ， w W P w x T T x T )()(δ-=?? 整理可以得到总的离散方程为： 2 21x T T T t T T t W t P t E t P t t E ?+-=?-?+α 2.计算空间和时间步长 取空间步长为： h=L/N 网格Fourier 数为： 2 2 0x t x t F ??= ??= α（小于0.5时稳定）
热传导方程傅里解
热传导方程傅里解
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达： 其中： ?u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。 ?/是空间中一点的温度对时间的变化率。 ?, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。 ?k决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。 如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。 热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。 热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。 热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。 就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。 以傅里叶级数解热方程[编辑] 以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下： 其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。 ?x是空间变量，所以x∈[0,L]，其中L表示棍子长度。
罗大雷-导热问题的数值解法
导热问题数值解法初次研究 对物理物体的数值求解的基本思想可以概括为：把原有的时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上的值。这些离散点上的被求解物理量的值的集合称为该物理量的数值解。 物理模型 在四个输气的管道中间有一个各边长为10厘米的薄铁片，求导热其达到稳态后，这块铁片的温度分布。四个输气管道里的气体温度是恒值分别为100℃、200℃、500℃、1000℃。因此，可以看成是二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题。 建立数学模型 描写物理问题的微分方程称为控制方程，导热微分方程为： 2 2 22 0t t x y ??+ =?? （1） 其四个边界分别为第一类边界条件，1234t =1005002001000===℃、t ℃、t ℃、t ℃。 区域离散化 用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。相邻两节点的距离称为步长，记为x ?、y ?。本模型x 、y 方向是各自均分的，各自为100个子区域。节点的位置以该节点在两个方向上的标号m 、n 来表示。 每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，由相邻的两节点连接的中垂线构成。为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体。 数学模型离散化 它的建立是数值求解过程中的重要环节，主要有泰勒级数展开法及热平衡法两种，取节点（m ，n ）及其临点为例。 泰勒级数展开法 以节点（m ，n ）处的二阶偏导数为例用这种方法来导出其差分表达式。对节点(1,)m n +及(1,)m n -分别写出函数t 对（m ，n ）的泰勒级数展开式： 2 2 33 4 4 1,,,,,,2 3 4 2624m n m n m n m n m n m n t x t x t x t t t x x x x x +???????=+?+ + + +???? （2） 2 2 3 34 4 1,,,,,,2 3 4 2 624m n m n m n m n m n m n t x t x t x t t t x x x x x -???????=-?+ - + +???? （3） 将式（2）、（3）相加得
第四章导热题的数值解法
第四章导热问题的数值解法 1 、重点内容：①掌握导热问题数值解法的基本思路； ②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 §4—1导热问题数值求解的基本思想及内节点方程的建立由前述 3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种： （１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法 数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 一．分析解法与数值解法的异同点： ?相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ， y ， z) ；② 。 ?不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立 二．解法的基本概念 ?实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图 4-1 表示。 由此可见： 1 ）物理模型简化成数学模型是基础； 2 ）建立节点离散方程是关键； 3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。 ?数值求解的步骤 如图 4-2 （ a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：（1）建立控制方程及定解条件 控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（ a ） 边界条件： x=0 时， x=H 时， 当 y=0 时，
3热传导方程的初边值问题(精选、)
例4 周期初始温度分布 求解热传导方程t xx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布 (,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。 解 4(,)1cos2t u x t e x -=+. 初始高斯温度分布 例 5求解定解问题22 22 0,(,0) (,0),()kx u u a x t t x u x e x -???-=-∞<<+∞>?????=-∞<<+∞? ， 其中常数0k >. 解 22()4(,)()x s a t u x t s e ds ?-- +∞ -∞ = ? 22 2()4x s ks a t e e ds -- +∞ --∞ = ? 222 2(41)24ka t s xs x a t e ds +-+- +∞ -∞ = ? 222 22224(41)()41414x ka t ka t s x ka t ka t a t e ds +- +++- +∞ -∞ = ? 22 2 222(41)()41 441 k ka t x x s ka t a t ka t e e ds +---+∞ ++-∞ = ? 2241 k x ka t e - += 2241 k x ka t - += . §3初边值问题 设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布 ),(t x u 满足以下初边值问题 ?? ? ??≤<==≤≤=<<<<=-T t t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0), ()0,(0,0),,(212? 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解. 将边值齐次化
传热大作业-数值解法-清华 -传热学
一维非稳态导热的数值解法 一、导热问题数值解法的认识 （一）背景 所谓求解导热问题，就是对导热微分方程在规定的定解条件下的积分求解。这样获得的解称为分析解。近100年来，对大量几何形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解。但是，对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于数学上的困难目前还无法得出其分析解。另一方面，在近几十年中，随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展十分迅速，并得到日益广泛的应用。这些数值方法包括有限差分法、有限元法及边界元法等。其中，有限差分法物理概念明确，实施方法简便，本次大作业即采用有限差分法。 （二）基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，将连续物理量场的求解问题转化为各离散点物理量的求解问题，将微分方程的求解问题转化为离散点被求物理量的代数方程的求解问题。 （三）基本步骤 （1）建立控制方程及定解条件。根据具体的物理模型，建立符合条件的导热微分方程和边界条件。 （2）区域离散化。用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，将小区域称之为元体。 （3）建立节点物理量的代数方程。建立方法主要包括泰勒级数展开法和热平衡法。 （4）设立迭代初场。 （5）求解代数方程组。 （6）解的分析。对于数值计算所获得的温度场及所需的一些其他物理量应作仔细分析，以获得定性或定量上的一些结论。对于不符合实际情况的应作修正。
二、问题及求解 （一）题目 一厚度为0.1m的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时两侧流体温度与壁内温度一致，℃；已知两侧对流换热系数分别为 h1=11 W/m2K、h2=23W/m2K，壁的导热系数=0.43W/mK，导温系数a=0.3437×10-6 m2/s。如果一侧的环境温度突然升高为50℃并维持不变，计算在其它参数不变的条件下，平壁内温度分布及两侧壁面热流密度随时间的变化规律（用图形表示）。 （二）分析 为无限大平壁，可认为是一维导热问题。在某瞬时边界条件发生突变，因此是非稳态问题。因此该题模型为第三类边界条件下常物性、无内热源大平壁的一维非稳态导热问题。 （三）求解过程 1、求解域的离散 建立二维坐标，以X为横坐标，时间为纵坐标。令空间步长 =0.001m，时间步长=0.5 s。于是将计算区域划分为100等份，得到101个空间节点，编号为n=（由于Matlab语句要求，编号n必须为正数，因此不能为习惯上的）。n=1和n=101这两个空间节点为边界点。 本题采用温度方程的显示差分格式，为保证节点温度方程求解的稳定性，必须要求且。 ==0.17< ==0.0256 ==0.0535 易知，满足且，能保证其稳定性。 2、建立节点温度差分方程（显式差分格式） 内部节点：（） 边界节点1：（n=1） 边界节点101：（n=101） 3、壁面温度的计算