离散傅里叶变换(DFT)试题

第一章

离散傅里叶变换（DFT ）

填空题

（1）某序列的DFT 表达式为

∑-==1

0)()(N n kn

M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长

度为，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是。

解：N ；

2 （2）某序列DFT 的表达式是

∑-==1

0)()(N k kl

M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度

是，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是。

解： N

M π2

}

（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件。

解：纯实数、偶对称

（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2

52)

1(8)(2

2++--=z z z z z H ，则系统的极点为；系统的稳定性为。系统单位冲激响应)(n h 的初值为；终值

)(∞h 。

解： 2,2

21-=-

=z z ；不稳定；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1

-z 代表的物理意义是，其中时域数字

序列)(n x 的序号

n 代表的样值实际位置是；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际

位置又是。

解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N

k πω2=

（6）已知

}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和

][n h 的5点循环卷积为。

解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ

{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x

[

（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===

k n h k n x 则][][n h n x 和的

4点循环卷积为。

解：?

???

??????-=?????????????????????????--------=??????????????????????

???734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]0[x x x x h h h h h h h h h h h h h h h h

（8）从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断

3.2 选择题

1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过即可完全不失真恢复原信号（）

【

A.理想低通滤波器

B.理想高通滤波器

C.理想带通滤波器

D.理想带阻滤波器解：A

2.下列对离散傅里叶变换（DFT ）的性质论述中错误的是( ) 是一种线性变换具有隐含周期性

可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样 D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析解：D

3．序列x (n)=R 5(n)，其8点DFT 记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( )。

《

解：D

4．已知x(n)=δ(n)，N 点的DFT[x(n)]=X(k)，则X(5)=( )。 A ．N

B ．1

C ．0

D ．- N

解：B

5.已知x(n)=1,其N 点的DFT ［x(n)］=X(k),则X(0)=( )

解：A

6．一有限长序列x(n)的DFT 为X(k)，则x(n)可表达为：。

A ．

∑-=*

-*10

])([1N k nk N W k X N B. 101N X k W N nk k N [()]-*=-∑

C ．

1N X k W N nk k N [()]**=-∑ D.

1N X k W N nk k N [()]*=-∑ ？

解：C

7．离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)有：。

A ．X(k)=-X(k) B. X(k)=X*(k) C ．X(k)=X*(-k) D. X(k)=X(N-k) 解：D

8．已知N 点有限长序列X (k )=DFT ［x (n )］，0≤n ，k

W -x (n )］=( )

)())((k R l k X N N +

)())((k R l k X N N -

C.km

W -

D.km

N W

解：B 9.有限长序列10)()()

(-≤≤+=N n n x n x n x op ep ，则=-*)(n N x 。

A.)()(n x n x op ep +

B.)()(n N x n x op ep -+

C.)()(n x n x op ep -

D.)

()(n N x n x op ep --

解：C

10.已知x (n )是实序列，x (n )的4点DFT 为X (k )=［1,-j ,-1,j ］，则X (4-k )为( ) A.［1，-j ，-1，j ］ B.［1，j ，-1，-j ］ C.［j ，-1，-j ，1］ D.［-1，j ，1，-j ］

解：B 11.

()()(),01R I X k X k jX k k N =+≤≤-，则IDFT[X R (k)]是)(n x 的（）。

A ．共轭对称分量

B. 共轭反对称分量

C. 偶对称分量

D. 奇对称分量

解：A

12．DFT 的物理意义是：一个的离散序列x （n ）的离散付氏变换X （k ）为x （n ）的付氏变换

)(ωj e X 在区间[0，2π]上的。

A. 收敛；等间隔采样

B. N 点有限长；N 点等间隔采样

C. N 点有限长；取值 C.无限长；N 点等间隔采样解：B

13．用DFT 对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N ，即，分辨率越高。

A. N 越大

B. N 越小

C. N=32

D. N=64 解：A

14. 对)(1n x （0≤n ≤1N -1）和)(2n x (0≤n ≤2N -1)进行8点的圆周卷积，其中______的结果不等于

线性卷积。 ( ) A.

1N =3，2N =4 B.

1N =5，2N =4 |

1N =4，2N =4

1N =5，2N =5

解：D

15．对5点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向左2点圆周移位后得到序列（） A ．［1 3 0 5 2］ B ．［5 2 1 3 0］ C ．［0 5 2 1 3］ D ．［0 0 1 3 0］

解：C

16．对5点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向右1点圆周移位后得到序列( ) A.［1 3 0 5 2］ B.［2 1 3 0 5］ C.［3 0 5 2 1］ D.［3 0 5 2 0］

解：B

17.序列)(n x 长度为M ，当频率采样点数N

象。

A ．频谱泄露 B.时域混叠 C ．频谱混叠

C.谱间干扰

解：B

18.如何将无限长序列和有限长序列进行线性卷积（）。

A ．直接使用线性卷积计算 B.使用FFT 计算

C ．使用循环卷积直接计算

D.采用分段卷积，可采用重叠相加法

解：D

19.以下现象中（）不属于截断效应。

频谱泄露 B. 谱间干扰

：

C ．时域混叠

D. 吉布斯(Gibbs)效应

解：C

20.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是 ( )

≥M ≤M ≤2M ≥2M 解：A

21.一个理想采样系统，采样频率

s =10

，采样后经低通G(j )还原，

???≥Ω<Ω=Ωππ

5 05 51)(j G ；设输入信号：t t x π6cos )(=，则它的输出信号y(t)为：（）

A ．t t y π6cos )(=； B. t t y π4cos )(=； C ．t t t y ππ4cos 6cos )(+=； D. 无法确定。

解：B

《

22.一个理想采样系统，采样频率s =8

，采样后经低通G(j )还原，

G j ()ΩΩΩ=<≥???

14404 π

π；现有两输入信号：x t t 12()cos =π，x t t 27()cos =π，则它们相

应的输出信号y 1(t)和y 2(t)：（） A ．y 1(t)和y 2(t)都有失真； B. y 1(t)有失真，y 2(t)无失真； C ．y 1(t)和y 2(t)都无失真； D. y 1(t)无失真，y 2(t)有失真。解：D

23.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs ，信号最高截止频率为fc ，则折叠频率为( )。 2 2 解：D

24.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期T s 与信号最高截止频率f h 应满足关系( )。 >2/f h

>1/f h

<1/f h

<1/(2f h )

解：D

25.设某连续信号的最高频率为5kHz ，采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为________Hz 。( )

解：B

26.如果使用5kHz 的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的最高频率为_____Hz 。( )

解：A

27.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( )。 (Ⅰ)原信号为带限

(Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率

）

(Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 A.Ⅰ、Ⅱ B.Ⅱ、Ⅲ C.Ⅰ、Ⅲ D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

解：D

问答题

（1）解释DFT 中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱

答：如果采样频率过低，再DFT 计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。

泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。

（2）在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用

答：在A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。

在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。

（3）用DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应

（4）画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。答：框图如下所示

第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号

（5）“一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一，试论述之。

答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知

)(1)(a

j F a at f ω

?→

← 信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系，即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄；反之，在时域中带宽越窄，在频域中带宽越宽。所以不可能出现在时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。（6）试述用DFT 计算离散线性卷积的方法。

答：计算长度为M,N 两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT ，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT ，可得原两序列的线性卷积。

（7）已知X(k)、Y(k)是两个N 点实序列x(n)、y(n)的DFT 值，今需要从X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。解：依据题意

)()(),()(k Y n y k X n x ??

取序列

)()()(k jY k X k Z +=

对)(k z 作N 点IFFT 可得序列)(n z 。

又根据DFT 性质

]

)

()()]([)([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+

由原题可知，

)(),(n y n x 都是实序列。再根据)()()(n jy n x n z +=，可得

)]

(Im[)()]

(Re[)(n z n y n z n x ==

（8）设H(z)是线性相位FIR 系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，，1+j ，该系统阶数至少为多少

解：由线性相位系统零点的特性可知，1=z 的零点可单独出现，8.0=z 的零点需成对出现，即z=

也是其零点之一，j z

+=1的零点需4个1组，其它三个j z -=1 ,

21j z +=,2

z -=,所以系统至少为7阶。计算题

1.计算下列序列的N 点DFT ：

。

（1）()()

n n x δ=

（2）()()N n n n n x

<<-=000,δ

(3)

()10,-≤≤=N n a n x n

（4）()N m N n N n nm N

n x

<<≤≤≤≤??

??=0,0,0,2cos π （5）()()()N n n n u n u n x

≤≤--=000,

（6）()1...,1,0,2cos

4-=??

??=+N n n N

n x

解：（1）

()10,1)0()(1

-≤≤===∑-=N k n k X N n nk

N W δδ

（2）

()10,)())((01

0-≤≤=-=∑-=N k W W n R n n k X k n N N n nk

N N N δ

（3）

()10,11111

-≤≤--=--==∑-=N k aW a aW W a W

a k X k

N k N Nk N N N n nk

n (4)

()nk N j N n mn N j mn N j N n nk

N e

e e W mn N k X π

π210221

)(21)2cos(--=--=∑∑+== （

()()()()?

???

??--+--=+-+-----m k N j m k j m k N j m k j e e e e ππππ2222111121

()()()()()()()()()()?

???

??--+--=++-+-++-+-+-------ππππππππππm k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N j m k j m k j e e e e e e e e e e 1121

()()

()()()()()

()??

????+++--=++--+-ππππππm k N

N j m k N

N j

e N m k m k e N m k m k 1

/sin sin /sin ))sin((21

?????-===其它或,

0,2m k m k N

（5）

()()()[]k

kn N n n nk N

N n nk

W W W

n n u n k X --==--=∑∑==11u 0

-0

()()()W W

W W

k N

n k N n k N

n k N

/2/2

/12/12/1000-------=

=()

()

N k N k n e

N n j /sin /sin 02/()120πππ--,k=0,1…,N-1

(6)()2

22414?

????++=-n N

j n

N j e e n x π

π=

????+++-n N j n

N j e e π

π442414

29+)2(24

n N

e π

n N N j

e )2(24

1-π

=29+

W N N 241-+W n

N N

)2(4

1-- 对照DFT 逆变换公式

{

()()kn

N K W k X N

n x --=∑

N 21

1 得到????

?????-====其它或，

022,4

029

)(N k k N k N k X

2. 令)(n x 和

)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用)(jw e X 表示下面各序列的傅立叶变换。

（1）

)2()(n x n g =

（2）()??

?=为奇数为偶数

n n n x n g 0

( 解：（1）∑∑∑∞

-∞

=-∞

-∞

=-∞

-∞

=-=

为偶数

k k w k j n jnw

n jnw

k x e

n x e

n g e

G 2

)()2()()(

[]

??????

-+=??????+=+=+=-+=-∞

-∞=--∞-∞

=-∞-∞=-∞

-∞=-∑∑∑∑)()(2121)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2

122)2(2

j w j w

j w j k w

jk w j k w

jk j k w jk k w k

j k

e X e X e X e X e k x e X e e k x e k x e k x k x πππ

（2）)()()2()()(222w j r w

jr r rw

j n jnw

e X e

r x e

r g e

n g e

G ==

∑∑∑∞

-∞

=-∞

-∞

=-∞

-∞

3. 对有限长序列{}1,0,1,1,0,1)(=n x 的Z 变换)(z X 在单位圆上进行5等份取样，得到取样值)(k X ，

即

4,3,2,1,0,)

()(5==-=k z X k X k

W z ，求)(k X 的逆傅里叶变换)(1n x 。

解：

—

W z n n z X k X z z z z n x z X -=---=-=+++==∑5

)()(1)()(5

320

∑==++=+++=4

513

525553525)(21n kn

W n x W W W W W

{}0,1,1,0,2)(1=n x

4．设()()()()34223-+-+=n n n n x δδδ

（1）求()n x 的4点DFT 。

（2）若()n y 是()n x 与()()()()315-+-+=n n n n h δδδ的4点循环卷积，求()n y 及其4点DFT 。

解：（1）

()()k k n nk W W W n x k X 34243

04423++==∑=

（2）()()k k n nk W W W n h k H

3443

4451++==∑=

()()()()()k

k k k W W W W k H k X k Y 3443424451423++++==

k k k k k k k W W W W W W W W 64543444344342416812201015423++++++++=

k k k k k k k W W W W W W W 24434344342416812201015423++++++++=

…

k k k W W W 3424426182323+++=

由上式得到

()()()()()32621812323-+-+-+=n n n n n y δδδδ

5. 已知

()()()()()322313-+-+-+=n n n n n x δδδδ ()()()()()321-+-+-+=n n n n n h δδδδ

求()n x

与()n h 的5点循环卷积()n v

解：取Z 变换可得

()()k k k n nk W W W W n x k X 352554

052331+++==∑=

()()k k k n nk W W W W n h k H 352550

51+++==∑=

由卷积定理可知())()()()()(k H k X k V n h n x n v

DFT

=??→←*=

()()()k X k H k V =

k k k k k k k k k

k k k k k k W

W W W W W W W 65

4535255352552332332332331+++++++++++++++=

k k k k k k W W W W W W 655545352552589741++++++= k k k k W W W W 453525589766++++=

由上式得到

()()()()()()483927166-+-+-+-+=n n n n n n v δδδδδ

6. 已知序列()()()()312-+-+=n n n n x δδδ的5点DFT 为()k X ，求()()k X k Y 2=的DFT 逆变

换

()n y 。

解：对x(n)进行傅里叶变换得

()()k k n nk W W W n x k X 3554

52++==∑=

()()k X k Y 2=

k k k k k k k k W W W W W W W W 6545354525535522224++++++++=

k k k k W W W W 45352552454++++=

由上式进行逆变换得

()()()()()()42342154-+-+-+-+=n n n n n n v δδδδδ

7. 已知一个有限长序列

()()()52-+=n n n x δδ

（1）求它的10点离散傅里叶变换()k X 。

（2）已知序列

()n y 的10点离散傅里叶变换为()()k X W k Y k

210

=，求序列()n y 。（3）

已知序列()n m

的10点离散傅里叶变换为()()()k Y k X k M =，求序列()n m 。

【

解：（1）对()n x

取傅里叶变换得

()()()()[]∑∑-==-+==1

01052N n n nk

nk N

W n n W

n x k X δδ

()9...,1,0,1212121510

2510

=-+=+=+=-k e

k j

k π

（2）由()()k X W k Y

210= 可以知道，()n y 是()n x 向右循环移位2的结果，即

()()()()()722210-+-=-=n n n x n y δδ

（3）由()()()k Y k X k M =可以知道()n m 是()n x 与()n y 的10点循环卷积。一种方法是先计算()n x 与()n y 的线性卷积

()()()()(){}∑∞

-∞

==-=

*=l l n y l x n y n x n u 4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0

然后由下式得到10点循环卷积

()()(){}

()()

74250,0,4,0,0,0,0,5,0,01010-+-==??

???-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ ，

另一种方法是先计算

()n y 的10点离散傅里叶变换

()()()()[]k

k N n n nk nk N

W W W n n W

n y k Y 71021010

0102722+=-+-==∑∑-==δδ 再计算乘积

()()()()()k k k k k k

k k W

W W W k Y k X k M 710

210

1210

710

210

710210510

45422221+=+++=-+==

由上式得到

()()()7425-+-=n n n m δδ

8. 若长为N 的有限长序列x （n)是矩形序列x(n)=N R 。（1）求x （n)的Z 变换，并画出其极零点的分布图。

（2）求频谱X

()jw

e ，并画出幅度()jw

X e 的函数曲线。

（3）求x(n ）的DFT 的闭式表示，并与()jw

e 对照。

解：

（1）X （z)=

()()11

1111

n --=--==----=-∞

∞

=∑∑z z z z z z z

n R N N N N n N

=() (

)

()

-∏

∏

∏??

极点：0z=0（N-1阶）；零点：pk

z=k N j

π2

e，k=1,2,…,N-1

图（a)是极零点分布图

X()jw e=()z X│jw e=z=

jwN

sin

()()ω

sin

X j

图（b）所示的是频谱幅度()ωj

X e的函数曲线。

（3）X（k)=()

()ω

∑22

│

ω=

（

,2,1

可见，X（k)等于X()()上的取样值

个间隔频率点

在1

,1,0

9.已知序列

()()()()()3

nδ

和它的6点离散傅里叶变换()k X

（1）若有限长序列()n y 的6点离散傅里叶变换为()()k X W k k 48Y =求()n y 。

（2）若有限长序列()n u

的6点离散傅里叶变换为()k X 实部，即

()k U =()[]k X Re ，求()n u 。

（3）若有限长序列()n v 的3点离散傅里叶变换()()k X k V 2= ()0,1,2k =，求()n v 。

解：（1）由)k ()

k (46X W Y k =知，()n y 是()n x 向右循环移位4的结果，即

()()()()()125344))4((y 6-++-+-=-=n n n n n x n δδδδ

（2）

()()()()[]nk n W n n n n X 65

322134)k (∑=-+-+-+=δδδδ

k k k W W W 36266234+++=

()k k k W W W k X 3626-6*234--+++=

()[]()()[]

k X k X k X *2

Re +=

[]k k k k k k W W W W W W 362663626623423421

---+++++++=

[]

k k k k k k W W W W W W 364656362662323821

++++++=

[]

k k k k k W W W W W 56463626632223821

+++++= 由上式得到

()()()()()()()52

4321234u -+-+-+-+-+=n n n n n n n δδδδδδ

（3）

()()()()nk n nk

n nk n nk n W n x W

n x W

n x X 35

026

)k 2(∑∑∑∑====+===

()()()332

03+==∑∑++=n k n nk n W n x W

n x

()()nk n k

n W

n x W

n x 3

03∑∑==++=

()()[]2,1,0,332

=++=∑=k W n x n x nk n

由于

()()()()()[]2,1,0,3232

=++===∑∑==k W n x n x k X W

n v k V nk n nk

所以

()()()2,1,0,3v =-+=n n x n x n

即 ()()()5300v =+=x x

()()()3411v =+=x x

()()()2522v =+=x x

}

或

()()()()22135v -+-+=n n n n δδδ

10. 设()n x 是长为N 的序列，()z X 是它的Z 转换。用()n x 构成下列3个长为2N 的序列

(1)

?-≤≤-≤≤=12,

0,)()(1N n N N n n x n x (2)

()()()N

n x n x n x --=2

(3)

?????=为奇数为偶数

n n n

x n x ,

0,)2()(3

用

()z X 的取样表示每个序列的2N 点DFT.

解：（1）因为

()()()

n k

N n nk N N n nk

N n W n x W n x W

n x X 21

210

2011)k (∑∑∑-=-=-====

()()n k N

N n n k N j

N n e

n x e

n x ---=--=∑∑==)(221

210

ππ

所以

)()k (221k N

X X π-=

即

)k (1X 等于在单位圆上等间隔的2N 点上对)z (X 的取样值。

（2）

()()()[]nk N N n nk N

N n W N n x n x W

n x X 21

22)k (∑∑-=-=--==

()()n k

N n n k N

N n W

N n x W

n x 21

∑∑-=-=--=

因为)n (x 的Z 变换是)z (X ，)n (N x -

的Z 变换是()z X z N - ，所以

()())()

(222

221

k N

k N j

N n n k N

N n e

X e

n x W

n x ππ==--=-=∑∑

()())(1)()

(22222221

k N

n k N

N n c

X e

N n x πππ-==---=∑

最后得到

()()[]

?????

=-+=为奇数，

为偶数，k 0)(2)(1122222k e X e

X k X k N j k N

ππ

（3）因

()()()()()2

210

3120

32z z X z r x z

r x z

n x X r N r r

N r n

N n --=--=--=∑∑∑===

所以

()()12,...,1,0k )()(k k 2k 223nk

2120

3-====

∑-=N e

X e

X W

n x X N

N n ，ππ

这意味着)(3k X 是由两个)(k X 衔接起来得到的。

11、设()n h 1

是一个8=N 并关于5.3=n 对称的序列。()n h 2是()n h 1的4点循环移位序列，即

()()()()n R n h n h δδ412-=

（1）求()n h 1的DFT 与()n h 2的DFT 之间的关系。

（2）由()n h 1和()n h 2各构成一个FRI 数字滤波器，试问它们是线性相关数字滤波器吗为什么如果是，时

延是多少（3）如果()n h 1

对应于一个截止频率为π/2的低通滤波器，那么()n h 2也对应于一个截止频率为π/2的

低通滤波器吗为什么解（1）因为()()n N h n h --=111和()()N N h n h --=122,所以当8=N 时，有

()()()()∑∑∑=-=--=+==7

218

2110

11n nk j

n nk j

N n nk N

n h e

n h n h k H ππω

()()∑∑=-=--+=7

213

217n nk j n nk j

n h e

n h ππ

)

()()()∑∑=+----=??????+=??????+=3182821)7(8

2823

1σππππn k n j nk

j k n j nk j k n e e n h e e n h

()()()∑=+-?

????+=3

01828222n k n j nk

j e e n h k H π

π 由于 ()()n h n h -=321， 3,2,1,0=n

所以

()()()()()()∑∑=---=+-?

????+=??????+-=3048238

223018282213n k n j k n j n k n j nk j e e n h e e n h k H ππππ

()()()k H e e e n h e

k j n nk j k

n j k j 23

2182248

2ππππ

-=-+-=??????+=∑ 由上式得

()()k H k H 21=和()()πθθ-=k k 21

（1）因为()n h 1

和()n h 2都具有对称性，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为

()5.32/1=-=N n

（2）

(

（3）

由（1）的结果知道，()n h 1

和()n h 2的幅度响应相等，所以可以认为()n h 2也是

一个截止频率为π/2的低通滤波器。

12、某系统由两个LTI 子系统并联而成，其中一个子系统的单位脉冲响应为

)()3

()(1n u n h n =，并联后系统的频率响应为

ωω

2712512)(j j j j e e e e H ---+-+-=

（1）求另一个子系统的单位脉冲响应)(2n h 。（2）假设系统的输入为)()2

()

(n u n x n =，用频域分析法分别求两个子系统的输出)()(21n y n y 和。

（3）在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n)。

（4）写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟框图。解：（1）因为ωω

j j e e

H --=

111

)(1，且)(1n h 和)(2n h 是并联的，所以有

ωωωωωωωωωωωj j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e H e H e H -----------=

--+-+-=

--+-=-=48)4)(3(31251233)4)(3(512)

()()(12

所以)()41

(2)

(2n u n h n -=。

（2）)()21()(n u n x n =傅里叶变换为 ωω

j j e e X ---=

111)(，所以

ωωωωωωωj j j j j j j e e e e e X e H e Y ------

-=-?-=

112

211331112111)()()(11 所以)(])3

1(2)21(3[)(1n u n y n

n -=。

同理 ω

ωωωω

ωωj j j j j j j e e e e e X e H e Y ------

-=-?--==2

114411*********)()()(22

所以)(])2

1(4)41(2[)(2n u n y n

n -=

（3） )(])31(2)21()41(2[)()()(21n u n y n y n y n

n n --=+=

（4）差分方程为)1(5)(12)2()1(7)(12-+-=-+

--n x n x n y n y n y 图略。

13、用某台FFT 仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N 必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率1025≤kHz 。要求谱分辨率5≤Hz 。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。解：因为待分析的信号中上限频率

kHz f m 25.1≤

所以抽样频率应满足：kHz f f m s 5.22=≥

因为要求谱分辨率

kHz N f s 5≤，所以5005

1000

5.2=?≥N 因为选用的抽样点数N 必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数512=N

相邻样点间的最大时间间隔ms ms f f T

s s 4.05

.21

211min

===

信号的最小记录时间ms ms T N T p 8.2044.0512min

=?=?=

14、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力

Hz 10≤，如果采用的抽样时间间隔为，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理

的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。解：

（1）

因为Hz F F T 10,1

0≤=

而，所以

s T 10

10≥ 即最小记录长度为

（2）因为

kHz T f s 10101

.0113=?==，而

h s f f 2>

所以

kHz f f s h 52

即允许处理的信号最高频率为5kHz 。

（3）1000101

.01.030=?=≥

T T N ，又因N 必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为

1024210==N 。