整式的乘法与因式分解

整式的乘法与因式分解

知识点的回顾

1、单项式： 都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）。

2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

4、一个单项式中，所有字母的指数 和叫做这个单项式的 次数；一个多项式中，

次数最高的项的次数 叫做这个多项式的次数。 （单独一个非零数的次数是 0） 5、整式的 加减运算法则 ：

去括号法则 整式的加减

合并同类项法则

练一练 ：

1、下列代数式中，单项式共有 个，多项式共有

个。

－ 1

a 2 , 5 a

2

3

b 2

, 2 ， ab ， 1 ( x y) ,

1

(a b) , a ,

x 2 1 , x y

3

4

a

2

7 π

x 2 y 3z

2、（ 1）单项式

的系数是 ，次数是 ；

2

（2） π 的次数是

。

（3） 3ab 2c 2a 2b ab 2是单项式

的和，次数最高的项是

，

它是 次 项式，二次项是

，常数项是

3、一个多项式加上 -2x 3+4x 2y+5y 3 后，得 x 3-x 2y+3y 3，求这个多项式， 并求当 x=- 1 ，y= 1

时，

2

2

这个多项式的值。

第一讲 . 整式的乘法

1、同底数幂的乘法

同底数幂的乘法， 底数不变，指数相加。即： m

a n a m n

，（ m , n

都是正整数）。

a

例1 （1） 35 36 （ 2） b 2 m b m 1

(3)( y) y 2 ( y) 3

1

提示：

①三个或三个以上的同底数幂相乘，法则也适用，即a m a n a p a m np ，（ m, n, p 都是正整数）；

②不要忽视指数为一的因数；

③底数不一定是一个数或者一个字母，也可以是单项式或多项式；

④注意法则的逆用，即 a m

n

a m a n

2、幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：a m n a mn，（m , n都是正整数）。

例2 （1）32＝（）

b 5 5

22

（3）x2 n 1 3（ 4） (x 3x m) 3=

3、积的乘方

积的乘方等于每一个因数乘方的积。即：ab n a n b n，（ n 是正整数）积的乘方法则可以进行逆运算．即：

a n·

b n =（ab）n（n 为正整数）

a n·

b n=(a a a) · (b b b)

n 个a n个b

= (a b) ( a b)(a b)

n个(a b)

=（a·b）n

同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．

例 3（ 1）

3x 2

（）

2b

3

2

1

4

2

（3）

xy＝（）3

242＝

（5）2m m1m=

×4×()

8

4、整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

例 4 2 xy2 z 1 xy

3

单项式乘以单项式注意几点

2

①各单项式的系数相乘；

②相同字母的幂按同底数的幂相乘;

③单独字母连同它的指数照抄。

注意：单项式乘以单项式的结果仍是单项式.

（ 2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积

相加。m a b c ma mb mc

单项式与多项式相乘公式：

例 5 (1)4ab 2ab23a2b(2)( 4x 2 )(3x 1)

（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

(a+b)(m+n)

=a(m+n)+b(m+n)

=am+an+bm+bn

例6 2x y x 2 y

练习

1.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？

（ 1） b5· b 5 = 2b 5（）

5510

（）

（ 2） b + b= b

（ 3） x5·x5 = x 25( )

（ 4） y5· y 5 = 2y 10( )

（ 5） c · c 3 = c 3( )

2.若（ x2）m=x8，则 m=______若[ （x3）m] 2=x12，则 m=_______

若x m· x2m=2，求 x9m=

若a2n=3，求（ a3n）4 =

3.已知 a m=2, a n=3, 求 a2m+3n的值 .

4.计算

2(x ) · x -(3x

3) +(5x)·x(-2x

3

) ·(1 x )

2

32332732

2

(3xy 2) 2+(-4xy 3) ·(-xy)(-x2y) 3+7(x 2 ) 2· (-x) 2·(-y) 3

3

(0.125) 7× 88 (0.25)

8

× 410

[(-n)

3] p

·[(-n) p ] 5

5．已知 10m =5,10 n =6, 求 102m+3n 的值

6．已知 , x m = 1/2 , x n =3. 求下列各式的值 :

x

3m ＋2n

（1）x

m ＋ n

(2) x 2m

x 2n

(3)

; ? ;

7. 直接写出答案

(1) 3x 2·5x 3 =

(2) 4y

· (-2xy 2) = (3)(-3x

2

y) ·(-4x) = (4)(1.2 ×103)

· (5 ×102)=

(5)3y(-2x 2y 2) =

(6)3a 3

b ·(-ab 3

c 2) = (7)-5a 3b 2c ·3a 2b=

(8)a 3

b · (-4a 3b)=

(9)(-4x

2

y) ·(-xy)=

(10)2a

3b 4

(-3ab 3c 2)=

8.(1) 若(-5a m+1 2n-1

)(2a n m

4

4

b b )=-10a

b ，则 m-n 的值为 ______ 3

2

2

3

2

2

+(-2ab)(-4a 3

(2)(a b) (a b)

(3)(3a b) b)

m-1 m ＋ 1 m-3 3 2

（4）(x+y) · (x+y)

· (x+y) （5）(x-y) +(y-x) .

9. (3x 1)(x 2) (x - 8y)(x - y) (x

y)(x 2 - xy

y 2 )

10. 先化简，再求值： (a-3b) 2+(3a+b) 2-(a+5b) 2+(a-5b) 2 ，其中 a=-8,b=-6

11. 化简求值：

(x 2)( x 3) 3(x 1)( x 1) ( 2x 1)(2x

3) ，其中 x=

4

5

（y －2）（y 2－6y －9）－ y （y 2－2y －15），其中 y=－2。

4

12.一块长 m米，宽 n 米的玻璃，长宽各裁掉 a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面 ( 玻璃与台面一样大小 ) ，问台面面积是多少 ?

第二讲 . （一）乘法公式

1.平方差公式

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符

号语言：（a+b）（a-b ） =a2-b 2

例1

（1）（3x+2）（3x-2 ）（2）（ b+2a）（2a-b ）

（3）（-x+2y ）（-x-2y）

（4）102× 98

（5）（y+2）（y-2 ）- （y-1 ）（y+5）

2.两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2 倍．

即： a b 2a22ab b2，a b 2a22ab b2。

例 2（1）（ 4m+n）2（）（

y-1 ）2

2

2

（3）（-a-b）2（4）（b-a）2

3.添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果

括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

例 3x 1； a b c a

练习

1.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？

( 2a3b)(2a 3b)( 2a3b)( 2a3b)

(2a3b)( 2a3b)(2a3b)(2a3b)

(a b c)(a b c)( a b c)(a b c)

2.计算

( x 2y)( 2y x)(2 x 5)(5 2x)

5

(0.5 x)( x 0.5)( x 20.25)( x 6) 2(x 6)2

（ 4m+n）2（y- 1

）2 2

（ -a-b ）2（b-a ）2

(4 x y) 2(3a 2 b 4ab 2c) 2

(5x）2 =10xy 2y 4

(3a b)( 3a b) =

3.运用完全平方公式计算：

（ 1） 1022（2）992

（ 3） 50.01 2（4）49.92

4.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？

x 24x4 1 16a 2x 21

x 2xy y 29x 23xy1y 2

4

3.（1）证明：两个连续奇数的积加上 1 一定是一个偶数的平方

（2）求证：(m5) 2(m 7)2一定是24的倍数

4.计算阴影的面积：大正方形的边长是 a+b. 小正方形的边长是 a-b, 空白长方形的宽是 a－ b, 求阴影的面积

6

（二）整式的除法

1. 同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即： a m a n a m n （ a 0, m,n 都是正整数，且 m ＞ n ），

提示：①同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算；②当三项

或者三项以上的同底数幂相除时，法则同样适用。

例 4

（1） a 7 a 4

（ ）

x

6

x 3

2

（ 3） xy 4 xy

2. 零指数幂的性质

零次幂：任何一个不为零的数的零次幂等于 1。

即： a 0 1, (a 0) 3、整式的除法：

（ 1）单项式相除，把系数同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

例 5

（1） 10 a 4b 3c a 3

b

5

（2） x 3 y 2

xy

3

（ 2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所

得的商相

例 6 18a 2 b 10b 2

2b

练习

1．计算：

（ 1） ab 4

ab

（2）

y 3 m 3 y n 1

（ 3）

1 5

2 2

（ ）

4 2

x 2 0.25x

5mn 6

5mn

4 4

7

（ 5）x y8y x 4x y

2n+2n332n （6）（－ 3x y）÷[ （－ x y）]

(7)(6 ab+8b) ÷(2 b)(8)(27a3－15a2+6a) ÷(3 a) ；

(9)(9x2y－ xy2

)

÷

(3

xy；

(10)(3

x2y－xy2 xy÷－xy

).

6)+ )(

10075

2．比较 2与3的大小。

3．光的速度约为每秒 3×105千米，若地球与太阳的距离为 1.5 ×108千米， ?那么太阳光射到地球上需要多少时间？）

第三讲 . 因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也

叫把这个多项式分解因式．因式分解是整式乘法的相反方向的变形因式分解与整式乘法的关系表示为：

因式分解

a 2-

b 2=========（ a+b）·（ a-b ）

整式乘法

说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右

到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

因式分解与整式乘法互为逆运算，两者的区别和联系是:

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

火眼金睛看一看：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1；

8

(2)(m ＋ n)(a ＋b) ＋(m＋ n)(x ＋ y) ＝(m＋n)(a ＋b＋ x＋ y) ；

(3)2m(m-n)=2m2-2mn；

(4)4x 2-4x+1=(2x-1) 2；

(5)3a 2+6a=3a（ a+2）；

(6)x 2-4+3x= （x-2 ）（ x+2）+3x；

一、提取公因式法

1.定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取

出来进行分解的方法叫做提取公因式法。

表示： ma + mb = m（a+b）

方法步骤：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式

2.提示 :

(1)因式分解的最后结果应当是“积” ;

(2)公因式可能是单项式 , 也可能是多项式 ;

(3)提公因式法的理论依据是乘法分配律的逆运用 , 即 :

ma mb mc m( a b c)

3.易错点点评 :

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错 ;

(2)公因式是否提“干净” ;

(3)多项式中某一项恰为公因式 , 提出后 , 括号中这一项为 +1, 不漏掉 .

例1. 因式分解：（1）3pq3+15p3q

（2）ab2－a

课堂练习

1．把下列各式分解因式

（ 1）2a( x2y) 3b( x 2 y)（2）2a( x2 y) 3b(2 y x) 4c(x 2 y)

9

（ 3） 2a( x 2y) 2 b(2 y x)3

（4）15b(3a

b)2 25(b 3a)3

（ 5） m 2 3m 3 m 4

（ 6） (a x) m 1 (b x)n 1 ( a x) m (b x) n

二、公式法

1. 定义：如果把乘法公式反过来 , 就可以用来把某些多项式分解因式 . 这种分解因式的方法叫做运用公式法 .

2. 主要公式 :

(1) 平方差公式 : a 2 b 2 (a b)(a b)

(2) 完全平方公式 : a 2

2ab b 2

(a b)2

a 2

2ab b 2 (a b)2

3. 易错点点评 :

因式分解要分解到底 . 如 x 4

y 4 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 ) 就没有分解到底 .

例 2 填一填：

(1) 若 a=101,b=99, 则 a 2-b 2 =___________；

(2) 若 a=99,b=-1, 则 a 2-2ab+b 2 =____________； 例 3 求值：（1－

1

2 ）（ 1－ 1

2

）（1－ 12 ）?（ 1－

1

2 ）（1－

1

2

）

2

3 4

9

10

三、十字相乘法

1. 对于二次三项式 ax 2

bx c , 将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积 , a a 1 a 2 ,

a 1 c 1

c c 1 c 2 , 且满足 b a 1c 2 a 2 c 1 , 往往写成 a 2

c 2

的形式 , 将二次三项式

进行分解 .

如: ax 2

bx c ( a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 )

10

2. 二次三项式 x 2

px q 的分解 :

p a b

q ab

1

a x 2 px q ( x a)( x b)

1

b

3. 小提示 :

(1) 理解 : 把 x 2 px q 分解因式时 , 如果常数项 q 是正数 , 那么把它分解成

两个同号因数 , 它们的符号与一次项系数

p 的符号相同 .

(2) 如果常数项 q 是负数 , 那么把它分解成两个异号因数 , 其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同 , 对于分解的两个因数 , 还要看它们的和是

不是等于一次项系数 p.

4. 易错点点评 :

(1) 十字相乘法在对系数分解时易出错 ;

(2) 分解的结果与原式不等 , 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是

否正确 .

例题讲解

例 1

如果二次三项式 x 2 ax 1可分解为 x 2 x b ，则 a b 的值为（

）

A ．－ 1

B ．1

C

．－ 2

D

．2

例 2

把下列各式分解因式：

(1) x 2

2x 15 ；

(2)

x 2 5xy 6 y 2

例 3 把下列各式分解因式：

(1) 2x 2

5x 3； (2)

3x 2 8x 3 ．

练习

1．利用分解因式计算

99 98

（1） 2.9 1234.5 11.7 1234.5 4.6 1234.5

（2）

2

100

2 99

2

2

11

2.如何配成完全平方

①． x2＋＿＿＋ 4＝(x ＋2) 2②. m2－4m＋＿＿＝ (m－2) 2

③．＿＿－ 4mn＋n2＝( ＿＿－ n) 2④. x2－xy ＋＿＿＝ (x －1

y) 2 2

3．已知a b 2

, ab 2 ，求代数式 a 2b2a 2b 2ab2的值。3

4．利用因式分解说明：36 7612能被140整除。

5、若4x2mx 9 是完全平方式，则m的值是 ____________.

6、用简便方法计算：200124002×2000+20002=_____________.

7、利用因式分解计算： 36× 3.14 ＋ 47×3.14 ＋17×3.14=_________________.

8.把下列各式分解因式

（ 1) x2－6xyz＋9y2z2

222（ 2）－ m n +4P

（ 3）222556（）222 x xy y x y 4 ( a8a)22(a 8a) 120

（ 5）x410x29（6）4x3y－9xy3

（ 7） 0.01x 2－2x＋100（8）(x＋y)2＋6(x＋y)＋9

（ 9）9(a － b) 2－ 12(a － b) ＋4（ 10）( x22x 3)( x22x 24) 90 12

技能提升

1.分解因式：ca( c－a)＋bc( b－c)＋ab( a－b)．

2.已知x4 6 x2x 12 有一个因式是 x2ax 4 ，求a值和这个多项式的其他因式．

小结

总结：因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式 , 若有 , 则先提取公因式 ;

(2)再看能否使用公式法 ; 若都不能再使用十字相乘法

(3)用分组分解法 , 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解

的目的 ;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积 , 否则不是因式分解 ;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

13