辽宁省丹东市东港二中2019-2020年学年度高二第一学期期末简答题训练

数学部分

姓名：_______________班级：_______________考号：_______________

简答题

1、如图

是边长为的正方形，

，

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出

的值；

若不存在，

说明理由.

、已知椭圆

的离心率，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线与椭圆交于A ,B 两点，在平面上是否存在定点P ，使得当直线PA 与直线PB 的斜率均存在时，斜率之和是与

无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3、已知椭圆经过点，其离心率为，设直线

与椭圆

相交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与圆相切，求证：为坐标原点）；

4、已知A、B为抛物线E上不同的两点，若以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线E的焦点为（1，0），线段AB 恰被M（2，1）所平分．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）求直线AB的方程．

5、如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．

(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；

(2)求S△ABM的最大值．

6、已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．

7、已知点，，动点满足，记M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为H．连结QH并延长交C于点

R．设O到直线QH的距离为，求面积的最大值．

8、已知椭圆C:短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C与轴负半轴交于点，直线过定点交椭圆于M，N两点，求面积的最大值.

9、已知直线与焦点为的抛物线()相切．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值．

10、已知椭圆：的左、右焦点，，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，

椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线是圆：的切线，与椭圆交与不同的两点，，证明：

的大小为定值．

11、抛物线的焦点为，斜率为正的直线过点交抛物线于、两点，满足．

(1)求直线的斜率；

(2)过焦点与垂直的直线交抛物线于两点，求四边形的面积．

12、抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F，直线y＝2与C的交点到F的距离等于2。

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)一直线l：x＝kx＋b(b1，k0)交C于A、B两点，其中点(b，k)在曲线(x－3)2－4y2＝8上，求证：FA与FB斜率之积为定值。

13、已知直线与抛物线交于(异于坐标原点)两点.

（1）若直线的方程为，求证:；

（2）若,则直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

参考答案

一、简答题

1、解：(Ⅰ)证明：因为，

所以.

所以

又因为是正方形，

所以，

从而平面. ……………………3分

又因为

所以……………………4分

(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.

则，，，，，………… 5分，，

设平面的法向量为，

,即，

则 ……………………6分

所以. …………7分

所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………8分

(Ⅲ)解：点在线段上，设，. ……………………9分

则，

设平面的法向量为，则

,即，

令

则 ……………………10分

………11分

整理得：

解得：， ……………………12分

此时. ……………………13分

2、解：(1) 设椭圆的半焦距为c，则，且．由解得．……2分

依题意，，于是椭圆的方程为．……………………………4分

(2)设，设，与椭圆方程联立得

则有………………………………………6分

直线PA,PB的斜率之和

………9分

当时斜率的和恒为0，解得…………………………………11分

综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为或．………………12分

3、试题解析：（1）因为离心率，,所以椭圆方程为，

将点代入，得，,所求椭圆方程为．

（2）因为直线与圆相切，所以，即,

由，得

设点、的坐标分别为、，则，，

所以==，

所以===0，

故.

4、解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）

∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2 ∴抛物线E的方程：y2=4x ………………6分

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，

两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分

∴y1+y2=2 ∴=2 ∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．……12分

5、解:(1)由条件知l AB：y＝x－，与y2＝2px联立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.

又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x. 。。。。。。。。。 4分

(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且l AB：y＝x－，设M(，y0)，则M到AB的距离为d＝.

因为点M在直线AB的上方，所以－y0－<0，

则d＝＝

＝＝.

当y0＝p时，d max＝p.

故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2.

方法二：由(1)知|AB|＝4p，且l AB：y＝x－，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋m，代入抛物线方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y ＝x＋，

两直线间的距离为d＝＝p，

故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2. 。。。。。。。。。 12分

6、【解析】（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，将

代入椭圆方程得：，解得，，

∴椭圆的方程为：．

（2）当斜率不存在时，设，

，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

当斜率存在时，设，，

联立，整理得，

，，则

又，，此时，

存在使得成立．∴直线的方程为，当时，，所以过定点

．

7、解析：（1）由及两点距离公式，

有，

化简整理得，．

所以曲线C 的方程为

； 5分

（2）过O 作于D ，则D 为QR 中点，则，

，，

又由，故的面积，

由，有，所以，

当且仅当时，等号成立，的面积最大值为的面积最大值为

8、解：（1）由题意

又，所以，

所以椭圆方程为

（2）A点坐标为(-2,0)，直线过定点(-1,0)，令直线的方程为,

联立，消去得，

，，

令，

，

当且仅当即时，面积的最大值为.

9、（1）∵直线与抛物线相切.

由消去得，，从而，解得.

∴抛物线的方程为

. ………4分

(2)由于直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为，

()，().

由消去得，，

∴，从而，………8分

∴线段的中点的坐标为().

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

点到直线的距离为，则

，………10分

∴当时，可使、两点到直线的距离之和最小，距离的最小值为.

10、（1）由椭圆的定义可知周长为，焦点在圆上，所以，解得，所以

椭圆方程为，

（2）由直线与圆相切有，即，

，

，，

为定值

11、（1）依题意知F（1,0），设直线AB的方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得

．设，，所以，．①因为，所以

．②联立①和②，消去，得．

与又所以直线AB的斜率是．

(2)

直线的斜率直线CD的方程，将直线CD的方程与抛物线的方程联立,消去

得：设

由（1）知

12、【解析】（1）由知到准线的距离也是2，

点横坐标是，

将代入，得，

抛物线的方程为.………………………………………………………………5分

（2）证明：联立得，

设，，则，.………………………………7分

因为点在曲线上，所以代入整理可得.………8分

则.

13、【解析】

试题分析：（1）联立，只要证明即可；

（2）显然直线的斜率不为0，设，

联立消去得由可得

，即直线方程为，即直线过定点.

试题解析：（1）联立解得

（2）显然直线的斜率不为0，设，

联立消去得

由得

直线方程为，恒过定点.