(整理)数值分析计算方法超级总结

工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）

[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]

一. 解答下列问题:

1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):

a) 对 e = 2.718281828459045…,取*

x = 2.71828

b) 数学家祖冲之取 113355

作为π的近似值.

c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效数字位数分别为位, 位, 位。

2) 简述下名词:

a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)

c) 算法数值稳定性 (不超过60字)

3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3

x 时的相对误差约等于x 的相对

误差的3倍。 4) 计算球体积3

34r V

π= 时,为使其相对误差不超过 0.3%

,求半径r 的相对误差的允许范围。 5）计算下式

341

)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P

）（

时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?

6) 递推公式 ?????=-==-

,2,1,1102

10n y y y n n

如果取

041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算，问计算到

10y 时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？

二. 插值问题:

1) 设函数

)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为

54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数（A ）的插值多项式

)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数

)(x l i = _（E ），从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值

余项 )()()(x L x f x R -== （G ）。

2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A （0，1）、B （1，2）、C （2，3）的

插值多项式。 3）求函数

x e x f -=)( 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。

4 ) 由函数值表: x : 1 2 3 x e - : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068

求1

.2-e

的近似值.

5) 利用插值方法推导 x i j i j

x n

i n

j j =--∑∏=≠=][

,0 三. 拟合问题:

1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) . 2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的

意义是什么? 3) 设有实验数据如下： x 1.36 1.73 1.95 2.28

14.094 16.844 18.475 20.963

按最小二乘法求其拟合曲线。

4) 已知某试验过程中函数

f 依赖于x 的试验数据如下：

i x ： 1 2 3 4

i f ： 0.8 1.5 1.8 2.0

试按最小二乘法拟合出一个形如 2bx ax S += 的经验公式。

5 ) 设有实验数据如下： x 1 2 3 4

4 10 18 26

按最小二乘法拟合出一个形如 2bx a S += 的经验公式。

四. 数值求积:

1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什

么意义?

2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式

()() n

k k a

k f x dx A f x =≈∑?

中,每个系数可用公式k A =

( A ) 计算,它们之和

∑=n

k k

= ( B ) , 其代数精度 ( C ) .

又Newton-Cotes 公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes 系数之和

∑=n

k n k

)(= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ;

4) 考察数值求积公式

--++-≈1

101)1()0()1()(f A f A f A dx x f ,

直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,101,,A A A -应取什

么确值? 它是不是Gauss 型公式?

5 ) 求dx x

+=1

的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。 6 ) 利用复化Simpson 公式求积分 dx x I

?=2

的近似值

（只需列出算式）。 7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式n T 和复化Simpson 公式n S 计算积分

??π

d I ?-=6

2sin 4 ? ?2sin 4-

0 2

π 9981001.1 362π 9924473.1 363π 9831825.1

364π

9705386.1

365π

9548386.1

366π

936491

7.1

五. 解线性代数方程组的直接法:

1） Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？

A ．提高计算速度；

B ．提高计算精度；

C ．简化计算公式；

D ．提高计算公式的数值稳定性；

E ．节省存储空间。

2）采用“列主元Gauss 消去法” 解下列方程组：

????

?????=????????????????????565331743532321x x x a) 用 ”列主元Gauss 消去过程” 将方程组约化成上三角方程组; b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。 3) 设方程组

????

?????=????????????????????---6745150710623321x x x 现采用“列主元Gauss 消去法”求解，试回答： a ）所用列主元Gauss 消去法包括哪两个过程？

b ）要用几步消元？

c ）每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）?

d ）现经第１步消元结果, 上述方程组已被约化为

?????=????????????????????--251061321251017560710x x x 请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。 e ）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。

六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组 f

x B x

+= 的基本型迭代公式

,1,0,

)()

1(=+=+k f x B x

k k

其中B 称为什么? )

0(x

又称为什么? 如果迭代序列

{}）

（k x 有极限*

（即迭

代公式收敛），则极限*

x 是什么？ 2）设解线性代数方程组

b Ax =（其中n n R A ?∈非奇异，0≠b ）

的迭代公式为

,1,0,)()()()

1(=--=+k b Ax x x

k k k λ

则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量)

0(x 收敛的充分必要条

件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量)

0(x 收敛的一个充分条件是什

么？

3) 设线性方程组

???=????????????53411221x x ，试构造解此方程组的Jacobi 迭代公式和GS 迭代公式；试问所作的两种

迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 T x )0,0()

0(= 计算GS 迭代公式

的前三个值.

4 ) 设方程组

????-=????????????--84195121x x 试构造解此方程组的收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Guass-Seidel 迭代公式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵. 5) 设线性方程组

3,,15.05.025.05.01

,R b x a a A b Ax ∈??

??????-----==

请按便于计算的收敛充分条件, 求使J 法和GS 法均收敛的 a 的取值范围.

七．一元方程求根: 1) 写出求方程

013)(3=--=x x x f 在 [ 1，2 ]中的近似根的一个收敛

的不动点迭代公式，并证明其收敛性。 2) 已知方程 )1(2ln

>=-x x x 的有根区间 [ 3，4 ] .试

写出求该方程在 [ 3 , 4 ] 中的根的一个不动点迭代公式; 证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法. 3) 用Newton 迭代法求方程

013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根,

试写其Newton 迭代公式; 并说明其收敛情况。 4)

的Newton 迭代公式，并说明其收敛情况。

八. 常微分方程初值问题:

1）常微分方程定解问题分为初值问题和 ( A ) 问题.初值问题是指由（B ）和

（C ）两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时，通常针对基本形式（D ）进行研究。设函数

)(x y 是某初值问题的解析解，则该初值问

题在n x 处的解为 ( E ) 而数值解(通常记)为（F ） ,它们的关系是 ( G ) .若记

)(1+n x y 是初值问题在点1+n x 处的解， 1+n y 是由某数值方法得出的

1+n x 处的数值解，则该数值方法在1+n x 处的局部截断误差是指（H ） .

2）设初值问题 ??

?=≤≤--='1

)0(6

.00,2y x y y x y

试用Euler 方法取2.0=h

，求解上述初值问题的数值解。

3 ) 设初值问题 ??

?=≤≤-='2

)1(2

1,38y x y

试用梯形方法求其解在两点 4.1,2.1=x 处的值)4.1(,)2.1(y y 的

近似值。

4）设初值问题 ??

?=<<++='1

)0(1

0,1

22y x x y y

试用改进的Euler 方法，并取1.0=h

，设计一个求解上述初值问题数值解的

求解方案（或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值）。

5 ) 设初值问题 ?

??=≤≤+='1)0(1

0),1/(3y x x y y

试用4阶经典R-K 方法，并取1.0=h

，设计一个求解上述初值问题数值解

的求解方案（或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值）。

九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习： 1）设T x )3,2,0(=, 求，1

，

∞

；

设 ?

???=4321A ，求

，

∞

，

, )(A ρ。

2 ) 用较简捷的方法分别求下列的插值多项式)(x H 和

)(x p ,并写出其余项公式:

a) 1)1(,0)0()0(,1)1(=='=-=-H H H H b) 2

)2(,

0)1()1(,

1)0(=='==p p p p

3 ) 用插值方法求在0=x

处与x cos 相切 ,在2π=x 处与x cos 相交的二次

多项式)(2x p ,并推导插值余项的估计式为

|61)(cos 22π-≤

-x x x p x 4 ) 试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解:

???????=+=+=-=+7

262353114221212

121x x x x x x x x

5 ) 要计算函数

dt e x y x

t ?-=0

)( 在x = 0.2, 0.4, 0.6 三处的近似值，

试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案（要求采用二阶精度的计算公式）.

6) 用追赶法解三对角方程组： ?

???

??????=?????????????????????

?022112111131124321x x x x 7) 对方程组?

???=??????==21,13.021,

b A b Ax 拟用迭代法

,1,0,)()()()

1(=-+=+k b Ax x x k k k α

求解, 试确定 α 的取值范围,使得上述迭代公式收敛.

8) 对迭代函数2()

(5)x x x ?λ=+-，试求使迭代公式

,1,0),(1==+k x x k k ?，

局部收敛于5=*

x 的λ的取值范围。

9) 试给出求

0,1>C C

的Newton 迭代公式, 使得迭代公式没有开方和

除法运算.

10) 由迭代公式 ,1,0,2

=+=

+k x x x k

k k ，产生的序列{}k x 对任何

初值10

≥x 均二阶收敛于什么？解释其原理。

11) 写出求方程 0122

=+-x x 的

Newton 迭代公式，并指出其收敛阶

(数)。（可以有两种答案）

12）若用Euler 公式（ y n +1 = y n + h f (x n , y n ) ）解初值问题

证明其数值解为

2(1)n n y h =-，并证明它收敛于准确解

()2n x n y x e -=

讨论该数值方法的绝对稳定条件。 13）设

{}∞=0

)(k k x q 是区间[]1,0上带权x =ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，试求1()q x 。

(0)2

y y

y '=-??

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。注：差分格式：（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法：构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有

数值计算方法课程设计

重庆邮电大学数学与应用数学专业《数值计算方法》课程设计姓名：李金徽王莹刘姝楠班级： 1131001 1131002 1131002 学号： 2010213542 2010213570 2010213571 设计时间： 2012-6-4 指导教师：朱伟

一、课程设计目的在科学计算与工程设计中，我们常会遇到求解线性方程组的问题，对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组，可以用直接法进行消元，而对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的情况，直接法就显得比较繁琐，而迭代法比较适用。比较常用的迭代法有Jacobi 迭代与Gauss － seidel 迭代。本文基于两种方法设计算法，并比较他们的优劣。二、课程设计内容给出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组的算法思想和MATLAB 程序实现，并对比分析这两种算法的优劣。三、问题的分析（含涉及的理论知识、算法等） Jacobi 迭代法方程组迭代法的基本思想和求根的迭代法思想类似，即对于线性方程组Ax = b( 其中n n n R b R R A ∈?∈,），即方程组 )1(2211222221211 1212111?? ???? ?=+?++??=+?++=+?++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 将系数矩阵A 写为 )2(000000 21122 12122 11U L D a a a a a a a a a A n n n n nn --≡??? ?? ? ? ??---- ??????? ??----??????? ??= 若选取D M =，则U L A M N +=-=，方程组)1(转化为等价方程组 b x U L Dx ++=)(

数值分析(计算方法)总结

第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。科学计数法：记有n位有效数字，精确到。由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从 x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|< 为止，此时取 x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。 2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。 3.比例法一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则： 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。事先估计: 事后估计局部收敛性判定定理：局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式： Newton法： Newton下山法：是下山因子弦割法：

数值计算方法课程报告

课程报告课程名称______《数值计算》 __ 学生学院_____机电工程学院___ 专业班级_____微电子（1）班____ 学号________ 学生姓名_______________ 指导教师_____ ________ XXXX年XX月XX日

姓名：线学号：订装专业：学院：广东工业大学考试试卷( A ) 课程名称: 数值计算试卷满分100 分考试时间: 2015 年 12 月 26 日(第 17 周星期六) 题号一二三四五六七八九十总分评卷得分评卷签名复核得分复核签名 “数值计算”考试要求 “数值计算”考试以开卷形式进行。在“数值计算”课程考试日（2015 年12 月 19 日，第 12 周星期五）考试时间，在考试教室领取试题，在 2015 年12 月 26 日（第 17 周星期六）进行答辩。不参加答辩者将取消考试成绩。 “数值计算”考试结果要求独立在计算机上完成，可使用Matlab或 C 程序编程实现。考试结果将以报告书形式提交，内容包括对问题描述、计算程序以及算例、计算结果、分析组成。计算程序要求具有通用性，能够处理异常情况，可以输入问题、算法参数、算例及初始值，在计算过程中显示当前计算状态、计算完成后显示计算结果。上述内容将作为试卷成绩的主要评定依据。特别提醒，不得使用教师在讲课和实验时的范例作为考试结果。报告书具体格式参考毕业设计手册。以考生学号命名的文件夹存放程序及报告书电子版，以班级为单位刻录在一张光盘中，与打印版报告书一起由班长和学习委员一起上交任课教师。数值计算课程总成绩将由试卷成绩（70%）、平时成绩（30%）组成。

数值计算方法大作业

目录第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法第一章非线性方程求根 1.1迭代法程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）

1.2牛顿法程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）

太原理工大学数值计算方法实验报告

本科实验报告课程名称：计算机数值方法实验项目：方程求根、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最小二乘拟合多项式实验地点：行勉楼专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日

y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"

心得体会使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。

数值计算方法学习心得

数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比思维本身更重要。我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项目对自己发展的巨大帮助了。同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种保护。再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据集放在上面都更方便一些。

然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述，就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量可以参考的文献。最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析，不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。数值分析学习心得体会

数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题第一章绪论一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。 3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 . 8、精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3

数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-

MATLAB与数值分析课程总结

MATLAB与数值分析课程总结姓名：董建伟学号：2015020904027 一：MATLAB部分 1.处理矩阵－容易矩阵的创建（1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等 c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖（2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等向量的生成（1）用冒号生成向量（2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对数等分向量矩阵的标识和引用（1）向量标识（2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识（3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用字符串数组（1）字符串按行向量进行储存（2）所有字符串用单引号括起来（3）直接进行创建矩阵运算（1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂

（2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母（3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵 2.绘图－轻松 plot－绘制二维曲线（1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线 plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线 x,y为向量或矩阵（2）plot（x1,y1,x2,y2，。。。。。。）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色（3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起 hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形（5）subplot在同一窗口画多个子图三维图形的绘制 (1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字符串 (2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点 (3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵 (4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色 (5)contour绘制二维等高线 (6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围 3．编程－简洁（1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点（2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用（3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构

《数值计算方法》试题及答案

数值计算方法考试试题一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为（ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法（ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ；二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值；解：1.用复化梯形公式计算取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分分分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x

计算流体力学常用数值方法简介[1]

计算流体力学常用数值方法简介李志印　熊小辉　吴家鸣 (华南理工大学交通学院) 关键词　计算流体力学　数值计算一　前　言任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的,这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程,揭示流体运动的物理规律,研究流体运动的时一空物理特征,这样的学科称为计算流体力学。计算流体力学是一门由多领域交叉而形成的一门应用基础学科,它涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程的数学理论、数值方法等学科。一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的,大致经历了四个发展阶段:无粘性线性、无粘性非线性、雷诺平均的N-S方程以及完全的N-S方程。随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展,利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高,现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。经过40年来的发展,计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段,在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题,其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形,确定其气动载荷,从而有效地提高了设计效率,减少了风洞试验次数,大大地降低了设计成本。此外,计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域,显示了计算流体力学强大的生命力。随着计算机技术的发展和所需要解决的工程问题的复杂性的增加,计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线,包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。目前计算流体力学主要向二个方向发展:一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理,开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究;另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动,解决工业生产中的各种问题。二　计算流体力学常用数值方法流体力学数值方法有很多种,其数学原理各不相同,但有二点是所有方法都具备的,即离散化和代数化。总的来说其基本思想是:将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区

数值分析心得体会

数值分析心得体会篇一：学习数值分析的经验数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。

首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式 ) 2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设 1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=?07f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。

8、给定方程组?? ?=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且 20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设 ?? ??? ?????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数 ) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8≥n ，（2）7≥n ，（3）10≥n ，（4）6≥n ， 3、有下列数表