最小二乘法在解决实际问题中的应用
最小二乘法在解决实际问题中的应用
摘要
最小二乘法是从拟合方面入手，多用于参数估计系统检测等多个地方。然而，最小二乘法通常由于其抽象而无法准确理解。在本文中，讨论了最小二乘法的基本原理及其各种拟合方法，这其中有：一元线性的最小二乘法拟合，多元的线性拟合，多项式的拟合，非线性的拟合和可转化成为线性拟合的非线性拟合。
关键词：数据拟合；数学工具；分析应用；误差项；层次分析法
Abstract
The least squares method is used to estimate or identify the regression model from the perspective of error fitting. It is widely used in many fields such as parameter estimation, system identification and forecasting and forecasting. However, the least squares method is usually not easily understood due to its abstraction. In this paper, the basic principle of least squares method and its various fitting methods are discussed. There are one linear linear least squares fitting, multiple linear fitting, polynomial fitting, nonlinear fitting and Can be transformed into linear fitting of linear fitting, and the application of least squares method in practice is shown by examples. On this basis, the design principle of several least squares procedures is given.
Keywords: Least square method; Weighted least square method; Linear fitting; Curve fitting ;Application example
目录
TOC \o "1-3" \h \z \u 摘要I
Abstract II
目录III
1引言1
1.1研究意义与现状：1
1.2最小二乘法的定义：2
1.3主要性质和定理2
1.4最小二乘法的优点和缺点2
2运用2
2.1 曲线性拟合2
2.1.1一元线性拟合2
2.1.2多元线性拟合5
2.1.3指数函数拟合5
2.1.4 非线性最小二乘法拟合6
2.1.5 可化为线性拟合的非线性拟合 7
2.2 加权最小二乘法8
2.2.1加权最小二乘法定义8
2.2.2加权最小二乘法原理8
2.3一元线性拟合实例9
2.4用最小二乘法分析国民经济的增长趋势11
2.4.1.问题背景11
2.4.2大致数据11
2.4.3问题求解11
2.5武器装备批量生产成本费用研究12
总结14
参考文献16
谢辞18
1引言
最小二乘法第一次出现的时间是1805年，天文学家勒让德是出书的人，而且附录里边是计算彗星的轨道的新方法，并且它作为计算方法，它也处于应用数学的初级阶段。现如今，最小二乘法的理论研究变得很成熟了，慢慢分为多种专业方向。而且最小二乘法所应用的地方非常多，这就是为什么要研究最小二乘法的原因。
1.1研究意义与现状：
最小二乘法最早是在十九世纪初创立的，是最重要的统计方法。他延伸出了许多知识，例如：加权最小二乘法，一元线性拟合等等。所以研究最小二乘法是有必要的。
朱赛普·皮亚齐发现了被命名为“谷神星”的小行星，这个科学家进行了长达40多天的观察研究，但是因为这颗小行星运转到了太阳的背面，皮亚齐找不到它的位置了。然后有非常多的科学家来找寻这颗小行星，结果没有一个人能根据计算找到，最后海因里希·奥尔伯斯利用高斯的方法找到了。
经过二百多年的发展，最小二乘法在科学的实验中还有工程技术里面得到了非常广泛的应用，随着现代电子计算机的应用和发展，这种方法就显得非常强大。
利用最小二乘法所得到的观测值在各领域的应用还不完善，观测的精确度从始至终都是极限值，假如超过了这个极限的值，那么就会引起失效，或者数学模型的表达和测量仪器的分辨力都失效。超过这个精度极限，反复观察的结果将不会相互重合。
例如，如果我们用眼睛去看和用米尺去测量工作台的长度，那么极限的精确度可能就是毫米了。如果我们把结果记录到最接近0的0.1，那么它们就会不一致。我们想要的精度通常超过我们观察到的精度极限值。在这种情况下，我们无法知道我们观察到的物理量的真实数值。我们只能估计真实数值是多少。我们希望这个估值是独一无二的（即使用一种标准方法来确定估值，当给出相同的观察值时，这种方法得到的是相同的估值），我们想知道估值的优度怎么样。
处理不一致数据的科学方法称为统计学，
我们除了用最小二乘法让不符合的值的平方之和最小这个方法，还可以用别的方法来确定唯一的估计值。
1.2最小二乘法的定义：
定义1.1(残差)：。要使尽可能的小，我们比较常见的方法有：
（1）有，偏差最大绝对值最小，
（2）有，偏差绝对值之和最小，
（3）有，偏差平方和最小，，
则称（3）为最小二乘法原则。
1.3主要性质和定理
y与变量之间的关系式为:。
其中个待定参数是,记，是测量值, 是由已经求解得到的和实验点集而得到的函数值。用最小二乘法转换过的方程组叫做正规方程组，其中方程式数等于待定参数的数目。我们可以通过正规方程组得到。
1.4最小二乘法的优点和缺点
优点：最小二乘法可以有效处理大量数据，提高运算的效率，将混乱的数据你合成一条直线来反映出数据的趋势。
缺点：在使用过程中应需注意下面几个问题：在解决实际问题中一定要非常谨慎的选择拟合关系，我们一定要借助现有的知识以及经验，选择最合适的拟合关系。
2运用
2.1 曲线性拟合
2.1.1一元线性拟合
假设变量与之间是有线性关系的,就是：.现在已知个实验点,求解两个未知的参数. [方法一] 从最小二乘法原理得到,参数应该使得
取得极小值.根据极小值的求解方法,和必须满足
,
,
解得,即
(1)
其中
,
线性的相关系数,该式中
,
[方法二] 把代入中得矛盾方程组
(2)
令
,,
则（2）式可写成
,
则有
,
所以
.
称为结构矩阵,称为数据矩阵, 称为常数矩阵. 称为信息矩阵,为了量化实验数据与线性关系的一致程度，我们可以使用相关系数进行测量。它被定义为
.
时，越接近1，之间的线性关系就很好。为正数，直线的斜率就是正的，就叫做正相关;对于是负数时，直线的斜率就是负的，就叫做负相关;当接近0时，测量的数学点分散就称作为非线性。称之为最小值的相关系数和测量次数，如图所示：
3 1.000 9 0.798 15 0.641
4 0.990 10 0.76
5 1
6 0.623
5 0.959 11 0.735 17 0.606
6 0.91
7 12 0.70
8 18 0.590
7 0.874 13 0.684 19 0.575
8 0.834 14 0.661 20 0.561
应该先求出的值，再来进行一元线性的拟合,最后与相比较,如果,那么和则具有线性的关系,就可以求回归直线；否则则不行。
2.1.2多元线性拟合
个变量与有线性关系，,假如第个是,对应的是，偏差平方和是：
为了让得到极小的值,那么正规方程组为:
,
即
,.
将实验数据转化为上述形式的方程里,我们可以得到未知参数.
2.1.3指数函数拟合
此时的拟合函数具有以下形式：（是未确定的系数）。式子的两端取自然对数有
令
则（*）式化成线性形式为
则可以求出。
从而有。所以
2.1.4 非线性最小二乘法拟合
把非线性关系代入偏差平方和表达式中，然后展开成泰勒级数，忽略高次项，化成线性形式后按线性拟合的方法求出参数,经多次逼近可得到满足精度要求的结果。
计算步骤:
(1) 假设我们需要求得的参数的真值是,然后另外取一个初值,它的差值就是,那么.
(2) 将函数
在处展开成为泰勒级数。由于初始值和真值应该非常接近,所以可以省略高阶项的泰勒展开式,以获得一阶近似展开式:
,
式中
(3) 令,那么展开式可以写成:
,
这是线性关系式的特殊形式。
(4)将拟合的多元线性最小二乘法的正规方程应用于上述式子以获得其正规方程组[2]：令
,
那么上式成为:
。
(5)利用高斯消元法或其他方法来求解出正规方程，我们可以得出结论就是,然后求解出,该式是一个近似式, 也是近似的值。将第一次获得的值分配给作为新的初始值，重复该过程，并获得新的值，并且获得新的初始值直到得到的精度足够准确为止。
2.1.5 可化为线性拟合的非线性拟合
对于实际的曲线拟合问题，我们通常根据观察值绘制笛卡尔坐标平面上的散点图，看看哪一类曲线类型与散点图近似。
下表列出了几种经过适当转换为线性拟合求解的拟合方程和变换关系：
曲线拟合方程变换关系变换后线性拟合方程
图3-1显示了几种常见的数据拟合。图，数据接近于直线，适合使用线拟合；图接近抛物线的数据分布，适合使用拟合; 图数据分布的特点是曲线开始上升迅速上升然后逐渐的减速，适合使用或；图数据分布的特点是曲线开始迅速下降，然后逐渐减速，适合使用或或其他函数拟合。
2.2 加权最小二乘法
2.2.1加权最小二乘法定义
该方法适用的拟合方法是在实验测量值不等精度的情况下，误差因素消除程度的不同，
结果会趋向于准确。
令拟合函数为,当值取时的实测值为,取，加权偏差平方之和：
,
是个实验点的权重因子.选取合适的权重因子可以获得高精度的拟合参数[22]。
2.2.2加权最小二乘法原理
根据实际需要，经常对于更高的精确度或更重要的数据，应给予更大的权利。
对于给定的一组测试数据，需要在中，查找一个函数
使
是中的任一函数是正数，称作为权，大小反映的地位强弱，
显然：求可归结为求多元函数
的极小点
同理可求。但其中：
特例：如果选用的拟合曲线为
则，相应的方法方程组为
=。
2.3一元线性拟合实例
例如：铜导体在温度（℃）下的电阻如表6-1所示，求解电阻R与温度T之间的近似函数关系。
表4-1
i 0 1 2 3 4 5 6
(℃) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10
解：画出散点图，数据接近一条直线，让n=1，拟合函数就为
列表如下
表4-2
i
0 19.1 76.30 364.81 1457.330
1 25.0 77.80 625.00 1945.000
2 30.1 79.25 906.01 2385.425
3 36.0 80.80 1296.00 2908.800
4 40.0 82.3
5 1600.00 3294.000
5 45.1 83.90 2034.01 3783.890
6 50.0 85.10 2500.00 4255.000
245.3 565.5 9325.83 20029.445
正规方程组为
解方程组得
故得R与T的拟合直线为
例如，当R = 0时T = -242.5，就是预测温度T = -224.5℃的时候，铜线没有电阻。
2.4用最小二乘法分析国民经济的增长趋势
2.4.1.问题背景
通过GDP的发展我们可以大致分析近几年我国的经济发展趋势，估计国内的经济发展趋势以及GDP 的增长速率。
2.4.2大致数据
大致下面是我国的近十年的GDP 数据：
表中单位：亿元
2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003
78，894.0 78，579.0 78，388.0 77，510.0 77，046.0 76，531.0 76，315.0 76，120.0 75，290.0 74，911.0
2.4.3问题求解
横轴代表年份
纵轴代表GDP，单位：亿元
拟合曲线如下：
我们可以得到方程：y = 450.36x –827147作为问题的回归大约为450.36 亿元。
2.5武器装备批量生产成本费用研究
引用了武器系统的实际生产相关数据[7]。见表1。
生产序号材料1的耗费材料2的耗费生产工时总成本
1 1435 426 421 1975
2 1295 339 289 1615
3 1162 277 248 1421
4 1212 301 237 1462
5 1233 300 23
6 1540
6 1111 310 239 1366
7 1072 289 209 1290
8 1020 301 220 1288
9 995 268 188 1193
10 1001 264 167 1212
从表1可以看出，材料1，材料2的消耗或生产时间都随着批量增加而减少和趋向于稳定，并且它们在数量之间呈现负的指数关系。我们以材料1为例，运用批量生产公式拟合，将非线性问题转化成为线性问题。将变量设置为生产序列号，变量设为相应的材料消耗。可以通过函数变换得到回归方程，并对材料1消耗曲线方程的参数和显着性检验。这里使用检验，分别记作、，在给定显著性水平的情况下，通过了变量的显著性检验[6]。
同样地，我们将材料2的耗费和生产时间做了类似的处理，就得到了表2
科目回归公式下次预测
材料1耗费89.3% 370.80 -25.7889 998
材料2耗费72.7% 184.32 -14.6048 264
生产工时90.7% 179.59 -28.0087 178
用OLS方法和WLS方法来分别求解。预测模型有：
加权最小二乘法：
一般最小二乘法：
是材料1的耗费，是材料2的耗费，是生产工时，是总成本。比较二者拟合结果所得到的差异如表3所示：
OLS OLS OLS WLS WLS WLS
拟合值绝对误差相对误差/% 拟合值绝对误差相对误差/%
1959.8 -15.2 -0.77 1976.2 1.2 0.06
1639.9 24.9 1.54 1599.2 -15.8 -0.978
1420 -1 -0.07 1421 0 0
1482.7 20.7 1.42 1455.5 -6.5 -0.445
1502.2 -37.8 -2.46 1594.8 54.8 3.56
1309.6 -56.4 4.12 1344.3 -21.7 -1.59
1390.5 100.5 7.79 1277.5 -12.5 -0.97
1276.3 -11.7 0.91 1298 10 0.78
1197.4 4.4 0.37 1191.4 -1.6 -0.13
1183.5 -28.5 -2.35 1252.2 40.2 3.32
从表3可以看出，跟实际的值更接近并且得到的结果更加精确的是WLS方法它的最大误差是3．56％，然而OLS方法的最大误差为7．79％，所以WLS方法的拟合性更好。与此同时，可知1170为下一次的总成本预测值，跟这个实际值更加接近，然而OLS 方法预测结果为1173．4，所以WLS方法的外推性也比OLS要更好。图1更清晰的表明了这一点。
总结
从我拿到论文题目开始，我就开始准备完成论文的前期工作了，直到现在，我的论文已经基本完成。刚开始拿到论文题目的时候，完全没有一丁点儿的头绪，不知道该从何下手。关于最小二乘法的资料实在太多，又写不出来大纲，完全不知道该怎么办，也不知道该查哪方面关于最小二乘法的资料。大部分人都有这样的问题，所以齐成辉老师给我们开了一个小会，来指导每个人的论文该如何去写，我们每一个人该从哪方面下手，查哪方面的资料，还将学姐学长的终稿论文给我们让我们研究，我这才慢慢理清我应该怎么写论文，通过查看相关文献以及资料，构建一个大致的框架，也就是大纲，然后慢慢补添东西，最后完成了论文。在完成论文的这一段时间里，我深刻的意识到只要你付出了就会得到回报，学到了很多知识，尽管还研究的不是那么透彻，但是让我受益匪浅。十二月的中旬，我拿到了我的论文题目，最小二乘法与高等代数相关联，最小二乘法的核心就是曲线拟合，所以我翻阅了大量的关于最小二乘法曲线拟合方面相关资料，首先明白了曲线拟合是什么东西，才能和最小二乘法相关联。
从一月份查资料开始，我先是去了学校图书馆，在知网上下了大量的论文参考资料，通过整理资料查阅资料，我对我的论文有了一个更深刻的理解，了解到最小二乘法的广泛应用，虽然没有在本文中研究，但是也学习到了很多。
本文先是介绍了最小二乘法的研究现状以及意义，其次开题是从最小二乘法的定义以及基本原理入手的，分别介绍加权最小二乘法和最小二乘法的拟合问题，最后通过几个例子说明实践中应用最小二乘法的方法。
在实际应用中，利用拟合曲线研究了在物理关系中铜丝和导线之间的关系的应用，又从经济问题中，研究了国民经济的增长趋势，最后基于加权最小二乘法研究了武器装备批量生产成本费用。
通过研究这些让我对最小二乘法有了更深刻的认识，尽管研究的不是非常透彻，但是对我以后的学习也非常的有帮助，虽然写论文的过程中遇见了很多困难，但是一一克服之后非常开心，非常有成就感。
最小二乘法相对来说比较古老，有非常多的人研究它，最令人着迷的是在大量的混乱的数据中找到一定的规律，并拟合成一条反映总体趋势的曲线，这是一个非常有效的数据处理方法，虽然存在着数据量大容易出错的弊端，但是随着现代电子技术的发展，它更展现出它强大的生命力以及实效性。
参考文献
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利用Eviews软件进行最小二乘法回归实例
例题中国居民人均消费支出与人均GDP（1978-2000），数据（例题1-2），预测，2001年人均GDP为4033.1元，求点预测、区间预测。（李子奈，p50）解答： 一、打开Eviews软件，点击主界面File按钮，从下拉菜单中选择Workfile。 在弹出的对话框中，先在工作文件结构类型栏（Workfile structure type）选择固定频率标注日期（Dated – regular frequency），然后在日期标注说明栏中（Date specification）将频率（Frequency）选为年度（Annual），再依次填入起止日期，如果希望给文件命名（可选项），可以在命名栏（Names - optional）的WF项填入自己选择的名称，然后点击确定。 此时建立好的工作文件如下图所示：
在主界面点击快捷方式（Quick）按钮，从下拉菜单中选空白数据组（Empty Group）选项。 此时空白数据组出现，可以在其中通过键盘输入数据或者将数据粘贴过来。 在Excel文件（例题1-2）中选定要粘贴的数据，然后在主界面中点击编辑（Edit）按钮，从下拉菜单中选择粘贴（Paste），数据将被导入Eviews软件。
将右侧的滚动条拖至最上方，可以在最上方的单元格中给变量命名。 二、估计参数 在主界面中点击快捷方式（Quick）按钮，从下拉菜单中选择估计方程（Estimate Equation） 在弹出的对话框中设定回归方程的形式。
在方程表示式栏中（Equation specification ），按照被解释变量（Consp ）、常数项（c ）、解释变量（Gdpp ）的顺序填入变量名，在估计设置（Estimation settings ）栏中选择估计方法（Method ）为最小二乘法（LS – Least Squares ），样本（Sample ）栏中选择全部样本（本例中即为1978－2000），然后点击确定，即可得到回归结果。 以上得到的回归结果可以表示为： 201.1190.3862(13.51)(53.47)Consp GDPP =+? 如果你试图关闭回归方程页面（或Eviews 主程序），这时将会弹出一个对话框，询问是否删除未命名的回归方程，如下图所示
最小二乘法及其应用..
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）
最小二乘法在系统辨识中的应用
最小二乘法在系统辨识中的应用 王文进 控制科学与控制工程学院 控制理论与控制工程专业 2009010211 摘要：在实际的工程中，经常要对一个系统建立数学模型。很多时候，要面对一个未知的系统，对于这些未知系统，我们所知道的仅仅是它们的一些输入输出数据，我们要根据这些测量的输入输出数据，建立系统的数学模型。由此诞生了系统辨识这门科学，系统辨识就是研究怎样利用对未知系统的输入输出数据建立描述系统的数学模型的科学。系统辨识在工程中的应用非常广泛，系统辨识的方法有很多种，最小二乘法是一种应用及其广泛的系统辨识方法。本文主要讲述了最小二乘估计在系统辨识中的应用。 首先，为了便于介绍，用一个最基本的单输入单输出模型来引入系统辨识中的最小二乘估计。 例如：y = ax + （1） 其中：y、x 可测，为不可测的干扰项，a未知参数。通过N 次实验，得到测量数据y k和x k ，其中k=1、2、3、…，我们所需要做的就是通过这N次实验得到的数据，来确定未知参数a 。在忽略不可测干扰项的前提下，基本的思想就是要使观测点y k和由式（1）确定的估计点y的差的平方和达到最小。用公式表达出来就是要使J最小： 确定未知参数a的具体方法就是令： J a = 0 , 导出 a 通过上面最基本的单输入单输出模型，我们对系统辨识中的最小二乘法有了初步的了解，但在实际的工程中，系统一般为多输入系统，下面就用一个实际的例子来分析。在接下来的表述中，为了便于区分，向量均用带下划线的字母表示。 水泥在凝固过程中，由于发生了一系列的化学反应，会释放出一定的热量。若水泥成分及其组成比例不同，释放的热量也会不同。 水泥凝固放热量与水泥成分的关系模型如下： y = a0+ a1x1+…+ a n x n + 其中，y为水泥凝固时的放热量（卡/克）；x1~x2为水泥的几种成分。
偏最小二乘法
偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用 于近红外 、 红外 、拉曼 、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法 〔1, 2〕 。近年来 , 随着 PLS 方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外 、 红外和拉曼中应用 的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别 、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题 。 由于 PLS 方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果 〔3 ～ 5〕 。 本文主要介绍PLS 方法在光谱定性分析方面的原理及应用 实例 。 偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。如美国Tripos 公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS 。在PLS 方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS 特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。 §§ 6.3.1 基本原理 6.3 偏最小二乘（PLS ） 为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。 在主成分回归中，第一步，在矩阵X 的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X 矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。事实上，Y 中亦可能包含非有用的信息。所以很自然的一种想法是，在矩阵X 因子的测试中应同时考虑矩阵Y 的作用。偏最小二乘正是基于这种思想的一种回归方法。 偏最小二乘和主成分分析很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。为了实现这一点，在数学上是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子，与此同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。其数学模型为： E P T X +'=F Q U Y +'=
最小二乘法及其应用
最小二乘法及其应用 最小二乘法是一个比较古老的方法，早在十八世纪，就由高斯首先创立并成功地应用于天文观测和大地的测量工作中。此后，近三百年来，它已被广泛应用于科学实验与工程技术中。随着现代电子计算机的普及与发展，这个古老的方法更加显示出其强大的生命力。 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可以用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 最小二乘法拟合曲线的基本原理是：成对等精度地测得一组数据x，只(i=l，2，…，n)，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条拟合曲线上的各点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。所谓“拟合”，即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。曲线拟合的几何解释是：求一条曲线，使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。 用最小二乘法拟合的曲线较为精确，接近于实际曲线。因而，最小二乘法拟合曲线在实际生活和科学研究中有着重要的意义，并渗透到各个领域，在物理、气象、化学、医学等方面有着广泛的应用。例如，在物理方面，我们通常通过实验测得数据，然后根据这些实验数据拟合曲线，从而总结出某种现象的规律或者变化趋势，进而采取相应的措施避免或加强其变化程度。这对于指导我们了解物理现象，并深刻理解物理知识是非常有帮助的。又如，在气象方面，在温室效应的研究中，科学家们通过对1860年到1980年的11个地球平均温度增加值的分析,利用最小二乘法进行曲线拟合,通过精确计算,建立了地球平均温度增加值与时间之间的函数关系。从而得出在2080年左右,地球的平均温度会比1980年上升约6℃,从而会引起诸如冰川后退、海平面上升等一系列严重的环境问题。到时极地冰盖就会融化,从而引起大量的洪水泛滥和大片的陆地被淹没,这一认识对进行环境质量评价和提出保护地球的措施具有重要的理论意义。
系统辨识-最小二乘法MATLAB仿真
《系统辨识》基于MATLAB的最小二乘法（一阶）的仿真 clc clear % ①白噪声的生成过程如下：e=randn(1,500); e=e/std(e); e=e-mean(e); A=0; %白噪声的均值为0 B=sqrt(0.1); %白噪声的方差为0.1 e=A+B*e; %绘制白噪声图 k=1:500; subplot(4,1,1) %画四行一列图形窗口中的第一个图形 plot(k,e,'r'); xlabel('k'), ylabel('e');title('(0,1)均匀分布的随机序列') % ②生成M序列的过程如下：X1=1;X2=0;X3=1;X4=0; %移位寄存器输入Xi初始状态（0101）， Yi寄存器的各级输出 m=500; %M序列的总长度 for i=1:m Y4=X4; Y3=X3; Y2=X2; Y1=X1; X4=Y3; X3=Y2; X2=Y1; X1=xor(Y3,Y4); %异或运算 if Y4==0 U(i)=-1; else U(i)=Y4; end end M=U; u=U; %绘制M序列图? i1=i k=1:1:i1; subplot(4,1,2) %画四行一列图形窗口中的第二个图形 plot(k,U,k,U,'rx') stem(M) xlabel('k') ylabel('M序列') title('移位寄存器产生的M序列') % ③参数估计的过程如下： %绘制参数估计的相关图形 z=zeros(1,500); %定义输出观测值的长度 for k=2:500 z(k)=0.9*z(k-1)+u(k-1)+e(k);%用理想输出值作为观测值 end subplot(4,1,3) %画四行一列图形窗口中的第三个图形 i=1:1:500; %横坐标的范围从1到500，步长为1 plot(i,z) %图形的横坐标是采样时刻i，纵坐标是输出观测值Z， 图形格式为连续曲线
1、曲线拟合及其应用综述
曲线拟合及其应用综述 摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。 关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断 1背景及应用 在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。 曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。 2 基本原理 2.1 曲线拟合的定义 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2 曲线拟合的方法 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2.1 有理论模型的曲线拟合 有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者观测得到的数据对（x i,y i）（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映x、y之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…c n是待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。 2.2.1.1 线性模型的曲线拟合 线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为： ε β β+ + =x y 1 （1） 式中，β0，β1未知参数，ε服从N(0，σ2)。 将n个实验点分别带入表达式（1）得到： i i i x yε β β+ + = 1 （2） 式中i=1,2,…n，ε1, ε2,…, εn相互独立并且服从N(0，σ2)。 根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小： 2 1 1 ) ( i i n i i x y Jε β β- - - =∑ = （3） 将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即： ) ( 2 1 1 = - - - - = ? ?∑ = i i n i i x y J ε β β β （4）
Matlab最小二乘法曲线拟合的应用实例
MATLAB机械工程 最小二乘法曲线拟合的应用实例 班级: 姓名: 学号: 指导教师:
一，实验目的 通过Matlab上机编程，掌握利用Matlab软件进行数据拟合分析及数据可视化方法 二，实验内容 1.有一组风机叶片的耐磨实验数据，如下表所示，其中X为使用时间，单位为小时h，Y为磨失质量，单位为克g。要求： 对该数据进行合理的最小二乘法数据拟合得下列数据。 x=[10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 2 0000 21000 22000 23000]; y=[24.0 26.5 29.8 32.4 34.7 37.7 41.1 42.8 44.6 47.3 65.8 87.5 137.8 174. 2] 三，程序如下 X=10000:1000:23000; Y=[24.0,26.5,29.8,32.4,34.7,37.7,41.1,42.8,44.6,47.3,65.8,87.5,137.8,17 4.2] dy=1.5; %拟合数据y的步长for n=1:6 [a,S]=polyfit(x,y,n); A{n}=a;
da=dy*sqrt(diag(inv(S.R′*S.R))); Da{n}=da′; freedom(n)=S.df; [ye,delta]=polyval(a,x,S); YE{n}=ye; D{n}=delta; chi2(n)=sum((y-ye).^2)/dy/dy; end Q=1-chi2cdf(chi2,freedom); %判断拟合良好度 clf,shg subplot(1,2,1),plot(1：6,abs(chi2-freedom),‘b’) xlabel(‘阶次’)，title(‘chi2与自由度’) subplot(1,2,2),plot(1：6,Q,‘r’,1：6,ones(1,6)*0.5) xlabel(‘阶次’),title(‘Q与0.5线’) nod=input(‘根据图形选择适当的阶次（请输入数值）’)； elf,shg, plot(x,y,‘kx’)；xlabel(‘x’),ylabel(‘y’)； axis([8000,23000,20.0,174.2])；hold on errorbar(x,YE{nod},D{nod},‘r’)；hold off title(‘较适当阶次的拟合’) text(10000,150.0,[‘chi2=’num2str(chi2(nod))‘~’int2str(freedom(nod))])
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用 一、研究背景 在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。 其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。 二、最小二乘法的原理 人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。 通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。 其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。 确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：
系统辨识最小二乘参数估计matlab
最小二乘参数估计 摘要： 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。这种算法在使用时，占用内存大，离线辨识，观测被辨识对象获得的新数据往往是逐次补充到观测数据集合中去的。在应用一次完成算法时，如果要求在每次新增观测数据后，接着就估计出系统模型的参数，则需要每次新增数据后要重新求解矩阵方程()Z l T l l T l ΦΦΦ-∧=1θ。 最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。 关键词： 最小二乘（Least-squares ），系统辨识（System Identification ） 目录： 1.目的 (1) 2.设备 (1) 3引言 (1) 3.1 课题背景 (1) 4数学模型的结构辨识 (2) 5 程序 (3) 5.1 M 序列子函数 ................................................................................. 错误！未定义书签。 5.2主程序............................................................................................... 错误！未定义书签。 6实验结果： ................................................................................................................................... 3 7参考文献： ................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.目的 1.1掌握系统辨识的理论、方法及应用 1.2熟练Matlab 下最小二乘法编程 1.3掌握M 序列产生方法 2.设备 PC 机1台（含Matlab 软件） 3引言 3.1 课题背景 最小二乘理论是有高斯（K.F.Gauss ）在1795年提出：“未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。”这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最
最小二乘法原理及应用【文献综述】
毕业论文文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。
曲线拟合的最小二乘法matlab举例
曲线拟合的最小二乘法 学院：光电信息学院 姓名：赵海峰 学号： 200820501001 一、曲线拟合的最小二乘法原理： 由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 S( x) a 0 0 ( x) a 1 1(x) ... a n n ( x) 称为曲线拟合的最小二乘法。 若记 m ( j , k ) i (x i ) j (x i ) k (x i ), 0 m (f , k ) i0 (x i )f (x i ) k (x i ) d k n 上式可改写为 ( k , jo j )a j d k ; (k 0,1,..., n) 这个方程成为法方程，可写成距阵 形式 Ga d 其中 a (a 0,a 1,...,a n )T ,d (d 0,d 1,...,d n )T , 、 数值实例： 下面给定的是乌鲁木齐最近 1个月早晨 7:00左右(新疆时间 )的天气预报所得 到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。 它的平方误差为： || 2 | 2 ] x ( f
(2008 年 10 月 26~11 月 26) F 面应用Matlab 编程对上述数据进行最小二乘拟合 三、Matlab 程序代码: x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1]; %三次多项式拟合% %九次多项式拟合% %十五次多项式拟合% %三次多项式误差平方和 % %九次次多项式误差平方和 % %十五次多项式误差平方和 % %用*画出x,y 图像% %用红色线画出x,b1图像% %用绿色线画出x,b2图像% %用蓝色o 线画出x,b3图像% 四、数值结果： 不同次数多项式拟和误差平方和为: r1 = 67.6659 r2 = 20.1060 r3 = 3.7952 r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和 拟和曲线如下图: a 仁polyfit(x,y,3) a2= polyfit(x,y,9) a3= polyfit(x,y,15) b1= polyval(a1,x) b2= polyval(a2,x) b3= polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).A 2) r2= sum((y-b2).A2) r3= sum((y-b3).A2) plot(x,y,'*') hold on plot(x,b1, 'r') hold on plot(x,b2, 'g') hold on plot(x,b3, 'b:o')
最小二乘法综述及举例
最小二乘法综述及算例 一最小二乘法的历史简介 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。 二最小二乘法原理 最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据),...,2,1(,n i y x i i =，是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。 设物理量y 与1个变量l x x x ,...,2,1间的依赖关系式为:)(,...,1,0;,...,2,1n l a a a x x x f y =。 其中n a a a ,...,1,0是n +l 个待定参数,记()2 1 ∑=- = m i i i y v s 其中 是测量值, 是由己求 得的n a a a ,...,1,0以及实验点),...,2,1)(,...,(;,2,1m i v x x x i il i i =得出的函数值 )(,...,1,0;,...,2,1n il i i a a a x x x f y =。 在设计实验时, 为了减小误差, 常进行多点测量, 使方程式个数大于待定参数的个数, 此时构成的方程组称为矛盾方程组。通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组(此时方程式的个数与待定参数的个数相等) 。我们可以通过正规方程组求出a 最小二乘法又称曲线拟合, 所谓“ 拟合” 即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点, 只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。 三曲线拟合 曲线拟合的几何解释: 求一条曲线, 使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。 （1）一元线性拟合 设变量y 与x 成线性关系x a a y 10+=,先已知m 个实验点),...,2,1(,m i v x i i =，求两个未知参数1,0a a 。 令()2 1 10∑ =--=m i i i x a a y s ，则1,0a a 应满足1,0,0==??i a s i 。 即 i v i v
最小二乘法应用实例
数值计算方法 实际应用（论文） 题目最小二乘法原理实际生活应用 学院信息工程学院 专业软件工程 姓名张同 班级 13级2班 学号1402130235
摘要 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，是利用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种计算方法[1]，目前在测量学、城市道路规划、物理学、地质勘探学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。本文对最小二乘法进行了深入细致的研究，利用Visual C++编制程序实现最小二乘法的界面化设计，通过实验数据的输入，实现线性和二次拟合曲线的输出，并利用设计的程序实现了一些实际问题的求解和处理。 关键词：最小二乘法曲线拟合Visual C++
最小二乘法在实际生活中的应用 一．实际问题描述： 早在19世纪后期，英国生物学家Galton 在研究父母身高与子女身高关系时，观察了1078个家庭中父亲、母亲身高的平均值x 和其中一个成年儿子身高y,建立了x 与y 之间的线性关系。 二．提出问题： 通过父母平均身高推算出成年儿子身高 三．分析问题： 平时我们在实验过程中会遇到两量y x ,如果存在b ax y +=的线性关系时，其中b a ,为线性函数的参数。当实验数据存在这种线性关系时，通常我们运用作图法对其参数进行处理运算、进而求出实验结果。但是作图法很难得到好的结果，而运用最小二乘法可以得到比较好的线性拟合 [19] 。对其两种方法比较可以最小二乘法的数据处理方法是比较理想的办法。 四．实验原理: 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 最小二乘法拟合:对给定数据点{(Xi ，Yi)}(i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ 中，求p(x)∈Φ ,使误差的平方和E ^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi ，Yi)}(i=0,1,…，m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 五．解决方案： 运用数值计算方法中的最小二乘法处理数据，计算出a 与b ，得到y=a+bx 关系式。 1.根据实验数据列以下表格： 表1 实验数据收集 父母平均身高x （cm ） 155 160 165 170 175 180 成年儿子身高y （cm ） 158 164 168 175 178 188 2.主要程序代码： #include
2003版系统辨识最小二乘法大作业
西北工业大学系统辩识大作业 题目：最小二乘法系统辨识
一、 问题重述： 用递推最小二乘法、加权最小二乘法、遗忘因子法、增广最小二乘法、广义最小二乘法、辅助变量法辨识如下模型的参数 离散化有 z^4 - 3.935 z^3 + 5.806 z^2 - 3.807 z + 0.9362 ---------------------------------------------- = z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187 噪声的成形滤波器 离散化有 4.004e-010 z^3 + 4.232e-009 z^2 + 4.066e-009 z + 3.551e-010 ----------------------------------------------------------------------------- = z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187 采样时间0.01s 要求：1.用Matlab 写出程序代码； 2.画出实际模型和辨识得到模型的误差曲线； 3.画出递推算法迭代时各辨识参数的变化曲线； 最小二乘法: 在系统辨识领域中 ,最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法 ,可用于动态 ,静态 , 线性 ,非线性系统。在使用最小二乘法进行参数估计时 ,为了实现实时控制 ,必须优化成参数递推算法 ,即最小二乘递推算法。这种辨识方法主要用于在线辨识。MATLAB 是一套高性能数字计算和可视化软件 ,它集成概念设计 ,算法开发 ,建模仿真 ,实时实现于一体 ,构成了一个使用方便、界面友好的用户环境 ,其强大的扩展功能为各领域的应用提供了基础。对 4324326.51411.5320120232320 Y s s s s G U s s s s ++++== ++++432 120120232320 E N W s s s s == ++++
最小二乘法原理及其简单应用_邹乐强
科技信息 SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第23期y (%) 1.000.90.90.810.60.560.35x (%) 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 最小二乘法原理及其简单应用 邹乐强 （河南工程技术学校河南 焦作 454000） 【摘要】最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识，并在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用。然而，最小二乘法因其抽象、难懂常常被大家所忽视。本文就最小二乘法的引入，原理的证明，简单的应用进行归纳和总结，使读者对最小二乘法有更为清晰、系统、全面地认识。 【关键词】最小二乘法；回归模型；参数估计；系统辨识最小二乘法作为一种传统的参数估计方法，早已经被大家所了解。然而大多同学对最小二乘法的认识都比较模糊，仅仅把最小二乘法理解为简单的线性参数估计。事实上，最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域都有着广泛的应用。本文就最小二乘法的引入、最小二乘法原理的简单证明、最小二乘法在线性参数估计、欧氏空间、多项式拟合以及经济领域的模型参数估计等应用方面进行具体的阐释。本文的一些理论建立在学习过高等代数、数值分析及了解简单的经济计量学的基础上。本文的理论简明易懂，仅对现实中常见的问题用最小二乘法理论结合阐释。 1问题的引入 例 已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种化学成分x 有关。下列表中记载了某工厂生产中y 与相应的x 的几次数值： 我们想找出y 对x 的一个近似公式。 解把表中数值划出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线。因此我们决定选取x 的一次式ax+b 来表达。当然最好能选到适当的a ，b 使下面的等式 3.6a+b -1.00=03.7a+b -0.9=03.8a+b -0.9=03.9a+b -0.81=0 4.0a+b -0.60=04.1a+b -0.56=04.2a+b -0.35=0 都成立。实际上是不可能的，任何a ，b 代入上面各式都会发生误差。于是想找a ，b 使上面各式的误差的平方和最小，即找到a ，b 使 (3.6a+b -1.00)2+(3.7a+b -0.9)2+(3.8a+b -0.9)2+(3.9a+b -0.81)2+(4.0a+b -0.60)2+(4.1a+b -0.56)2+(4.2a+b -0.35)2 最小。这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为最小二乘法。现在转向为一般的最小二乘法问题： 实系数线性方程组 a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n - b 1=0 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n - b 2=0………… a m 1x 1 +a m 2x 2+…+a mn x n -b m = 1.1 可能无解。即任何一组实数x 1,x 2,……,x s 都可能使 m i =1 Σ(a i 1x 1+a i 2x 2+…+a in x n -b i )2 （*） 不等于零。 我们设法找到实数组x 0 1,x 0 2,…,x 0 s 使最小，这样的x 0 1,x 0 2,…,x 0 s 称为方程组的最小二乘解。这样问题就叫最小二乘法问题。 [1] 2 最小二乘法原理的证明 2.1 最小二乘法原理的初等证明 定理：X =(x 1,x 2,……x n )T 是矛盾方程组（1.1）的最小二乘解的充要条件是X 是方程组 (m i =1Σa 2 i 1)x 1+ m i =1Σa i 1a i 211x 2+…+ m i =j Σa i 1a in 11x n =m i =1 Σa i 1b i m i =1Σa i 2a i 1 1 1x 1+ m i =1Σa 2 i 2 11x 2+…+m i =1Σa i 2a in 11x n = m i =1Σa i 2b i m i =1 Σa in a i 11 1x 1+m i =1Σa in a i 211x 2+…+ m i =1 Σa 2 in 11x n = m i =1 Σa in b i 2.2 的解[2] 证明：设Y = m i =1Σ b i -n k =1 Σa ik x k 11 2 2.3 把Y 整理为关于x j (1≦j ≦n)的二次函数得 Y = m i =1 Σa 2ij 1 1x 2 j +2m i =1 Σ(a j (a i 1x 1+…+a i ,j -1x j -1+a i ,j +1x j +1+…+a 1n x n b j ))x j +m i =1 Σ(a i 1x 1+…+a i ,j -1x j -1+a i ,j +1x j +1+…+a in x n -b j )2 j=1,2,3,……,n 必要性：设X =(x 1,x 2,……,x n )T 是方程组⑴的最小二乘解，由定义1知⑴式中Y 有最小值，且X 是最小值点。由二次函数的性质得知二次函数 m i =1 Σa 2ij 〉0（j=1,2,……,n ），故a ij 不全部为零（与A 列满秩的假设一 致），且X 满足： X = m i =1 Σ[a ij (a i 1x 1 +…+a i ,j -1x i,j -1 +a i ,j +1x i,j +1+…+a in x n -b n )] m i =1 Σa ij (j=1,2,……,n) 2.4 化简得： m i =1 Σa ij a i 111x 1+m i =1Σa ij a i 211x 2+…+ m i =1Σa ij a i,j-111x j -1+ m i =1 Σa 2 ij 11x j + m i =1Σa ij a i,j+111x j +1+…+m i =1Σa ij a in 1 1x n =m i =1 Σa ij b i (j=1,2,…n) 这就是方程组⑵。不难看出方程组⑵的系数矩阵为A T A （A T 表示A 的转置矩阵），由A 列满秩知|A T A |≠0，故⑵有唯一解。必要性得证。 充分性：设X 是方程组（2）2.2的解，由x j (j =1,2,...,n )满足方程组2.2，也就是满足⑷式，再由于A 列满秩，a ij (i =1，2，...，m )不全为零，故⑶中二次项系数 m i =1 Σa 2 ij ＞0，因此，⑷中式Y 有最小值且最小值点为X =(x 1 ， x 2，...，x n )，所以X 是方程组⑴的最小二乘解。 2.2利用欧氏空间证明最小二乘法下面我们利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件。令 A ＝ a 11a 12…a 1n a 21a 22 …a 2n … ……… a m 1 a m 2… a mn ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠B = b 1b 2… b m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ X = x 1x 2… x m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ Y =n j =1Σa 1j x 1n j =1Σa 2j x 2n j =1 Σa mj x m ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ ≠ ≠≠≠≠ ≠ ≠≠≠≠≠ ≠≠ ≠ =AX 2.5 ○职校论坛○ 282