二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
●教学目标与要求
通过学习,使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法,为更好地描绘函数图形打好基础,同时,理解拐点的定义和意义。
●教学重点与难点
教学重点:利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。
教学难点:理解拐点的定义和意义。
●教学方法与建议
证明曲线凹凸性判定定理时,除了利用“拉格朗日中值定理”证明外,还可用“泰勒定理”来证明;如果利用“拉格朗日中值定理”证明,则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路,切忌脱离图形,机械证明,让学生领悟不到思想,摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时,要强调凹凸性并不是曲线的固有性质,而是函数的性质,与所选的坐标系有关;而拐点是曲线的固有性质,与所选的坐标系无关。
●教学过程设计
1. 问题提出与定义
函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用,但仅仅由单调性
还不能准确描绘出函数的图形。比如,如果在区间上,
,则我们知道在区间上单调增,但作图(参见
图1)的时候,我们不能判断它增加的方式(是弧,还是弧
),即不能判断曲线的凹凸性,所以研究曲线的凹凸性对于把
握函数的性态、作图等是很有必要的!
在图1中,对于上凸的曲线弧,取其上任意两点,不妨取
作割线,我们总会发现不论两点的位置,割线段总位于弧段的下方,这种位置关系可以用不等式
来描述。同理,对于上凹的曲线弧,总可用不等式
来描述。由此,我们想到对曲线的凹凸性做如下定义:
凹凸性定义 设
在区间I 上连续,如果对I 上任意两点
,
,恒有
则称
在I 上的图形是(向上)凹的,简称为凹弧;如果恒有
则称
在I 上的图形是(向上)凸的,或简称为凸弧。
如果沿曲线从左向右走,则图形是(向上)凸的曲线的几何意义相当于右转弯,图形是(向上)凹的曲线相当于左转弯,而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点,我们把这样的点称为拐点。
2. 凹凸性判定定理的引入
y
O
x y
O y f x =()
曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性,但实际使用起来需要取两个点,且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此,我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的
符号确定,而对于凹凸性它束手无策,所以我们猜想凹凸性是否和
有关?
经过分析,并利用泰勒公式,可证实我们的猜想是正确的,函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到
了判断曲线凹凸性的定理。
定理4.3设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么:
(1)若在内>0,则在上的图形是凹的; (2)若在
内
<0,则
在
上的图形是凸的。
3. 判别凹凸性和拐点举例 例1.判断曲线y =x 3的凹凸性. 解:y '=3x 2,y ''=6x .由y ''=0,得x =0.
因为当x <0时,y ''<0,所以曲线在(-∞,0]内为凸的;
因为当x >0时,y ''>0,所以曲线在[0,+∞)内为凹的.
例2.求曲线y =2x 3+3x 2
-2x +14的拐点.
解:y =6x 2+6x -12, )2
1(12612+=+=''x x y .令y ''=0,得21-=x .
因为当2
1-
例3求函数14334+-=x x y 的凹凸区间和拐点. 解:函数的定义域为),(+∞-∞,
且321212y x x '=-,2
2362436()3
y x x x x ''=-=-,
令0=''y ,得3
2,021==x x . 列表:
由表可知,当3,021=
=x x 时,曲线有拐点(0,1)A 和(,)327
B ,表中?表示曲线是凹的,⌒表示曲线是凸的.函数的图像如图(3)所示.
4. 确定曲线y =f (x )的凹凸区间和拐点的步骤:
(1)确定函数y =f (x )的定义域;(2)求出在二阶导数f`''(x ); (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点; 注:根据具体情况(1)(3)步有时省略. 5 学生黑板练习
练习 1.判定下列曲线的凹凸性及拐点.
(1)2
4x x y -=,(2)162
3
-+-=x x x y ,(3)3
2
x y =。
6.小结
1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明,使导数符号与曲线形态特征相结合,加深对判别法的理解。
2 对于函数凹凸性、拐点,要注意借助几何图形进行直观说明,使导数符号与曲线形态特征相结合,加深对判别法的理解。
作业 P75:1,2,3
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点 教学目标与要求 通过学习,使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法,为更好地描绘函数图形打好基础,同时,理解拐点的定义和意义。 教学重点与难点 教学重点:利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。 教学难点:理解拐点的定义和意义。 教学方法与建议 证明曲线凹凸性判定定理时,除了利用“拉格朗日中值定理”证明外,还可用“泰勒定理”来证明;如果利用“拉格朗日中值定理”证明,则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路,切忌脱离图形,机械证明,让学生领悟不到思想,摸不着头脑。 在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时,要强调凹凸性并不是曲线的固有性质,而是函数的性质,与所选的坐标系有关;而拐点是曲线的固有性质,与所选的坐标系无关。 教学过程设计 1. 问题提出与定义 函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用,但仅仅由单调性还 不能准确描绘出函数的图形。比如,如果在区间上,, 则我们知道在区间上单调增,但作图(参见图1)的时 候,我们不能判断它增加的方式(是弧,还是弧),即 不能判断曲线的凹凸性,所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性 态、作图等是很有必要的! 在图1中,对于上凸的曲线弧,取其上任意两点,不妨取 作割线,我们总会发现不论两点的位置,割线段总位于弧段的下方,这种位置关系可以用不等式
来描述。同理,对于上凹的曲线弧,总可用不等式 来描述。由此,我们想到对曲线的凹凸性做如下定义: 凹凸性定义设在区间I上连续,如果对I 上任意两点,,恒有 则称在I上的图形是(向上)凹的,简称为凹弧;如果恒有 则称在I上的图形是(向上)凸的,或简称为凸弧。 如果沿曲线从左向右走,则图形是(向上)凸的曲线的几何意义相当于右转弯,图形是(向上)凹的曲线相当于左转弯,而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点,我们把这样的点称为拐点。 2. 凹凸性判定定理的引入 y O y f x =() x y O y f x =() 曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性,但实际使用起来需要取两个点,且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此,我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的符号确定,而对于凹凸性它束手无策,所以我们猜想凹凸性是否和有关 经过分析,并利用泰勒公式,可证实我们的猜想是正确的,函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了判断曲线凹凸性的定理。 定理设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么: (1)若在内>0,则在上的图形是凹的; (2)若在内<0,则在上的图形是凸的。 3. 判别凹凸性和拐点举例 例1判断曲线y x3的凹凸性
2021年二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用曲线的凹凸性与 拐点 欧阳光明(2021.03.07) 教学目标与要求 通过学习,使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区 间上凹凸性的方法,为更好地描绘函数图形打好基础,同时,理解 拐点的定义和意义。 教学重点与难点 教学重点:利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。 教学难点:理解拐点的定义和意义。 教学方法与建议证明曲线凹凸性判定定理时,除了利用“拉格朗日中值定理”证明外,还可用“泰勒定理”来证明;如果利用“拉格朗日中值定理”证明,则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路,切忌脱离图形,机械证明,让学生领悟不到思想,摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时,要强调凹凸性并不是曲线的固有性质,而是函数的性质,与所选的坐标系有关;而拐点是曲线的固有性质,与所选的坐标系无关。 教学过程设计 1. 问题提出与定义 函数的单调性对于描绘函数 图形有很大作用,但仅仅由单 调性还不能准确描绘出函数的 图形。比如,如果在区间 上,,则我们知道 在区间上单调增,但作图 (参见图1)的时候,我们不 能判断它增加的方式(是弧,还是弧),即不能判断曲线的凹凸性,所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性态、作图等是很有必要的! 在图1中,对于上凸的曲线弧,取其上任意两点,不妨取 作割线,我们总会发现不论两点的位置,割线段总位于弧段的下方,这种位置关系可以用不等式 来描述。同理,对于上凹的曲线弧 ,总可用不等式来描述。由此,我们想到对曲线的凹凸性做如下定义:凹凸性定义设在区间I上连续,如果对I上任意两点,,恒有
则称在I上的图形是(向上)凹的,简称为凹弧;如果恒有 则称在I上的图形是(向上)凸的,或简称为凸弧。 如果沿曲线从左向右走,则图形是(向上)凸的曲线的几何意义相当于右转弯,图形是(向上)凹的曲线相当于左转弯,而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点,我们把这样的点称为拐点。 2. 凹凸性判定定理的引入 曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性,但实际使用起来需要取两个点,且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此,我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的符号确定,而对于凹凸性它束手无策,所以我们猜想凹凸性是否和有关? 经过分析,并利用泰勒公式,可证实我们的猜想是正确的,函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了判断曲线凹凸性的定理。 定理 4.3设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么: (1)若在内>0,则在上的图形是凹的; (2)若在内<0,则在上的图形是凸的。 3. 判别凹凸性和拐点举例 例1. 判断曲线y x3的凹凸性. 解y3x 2,y6x.由y0, 得x0
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用 作者:祝红丽 指导老师:邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向,通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析,着重探讨了函数凹凸 性的判别方法以及在解题中的应用,如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并 结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变 量变化而变化的快慢程度,如果结合函数的其它性质,可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解,随着自变量x 的稳定增 加,当函数y 的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增量越来越小时,函数图 形是凸的,当函数y 的增量保持不变时,函数图象是直线,对于减函数我们可以作类似的分 析. 作为研究分析函数的工具和方法,它在许多学科里有着重要的应用.长期以来,很多学 者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来,关于函数凹凸性的判定与应用的研 究取得了一些成果,使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点,直观上观察函数图象的弯曲方向,从而引出函 数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征,接着介绍函数凹 凸性的几种判别方法,如:用定义去判别函数的凹凸性,利用二阶导函数判别函数的凹凸性, 及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判 别方法,利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函 数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都 能利用函数的凹凸性证明,但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式,是其它方法不可替代 的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法,开阔了解题思路.利用导数分析函 数的上升、下降,图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的 函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.
二阶导数与函数凹凸性证明
二阶导数与函数凹凸性证 明 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020