数形结合思想在高中数学解题中的应用
第5讲数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
22
214
x y
如等式()()
-+-=
3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
例1.的取值范围。之间,求和的两根都在的方程若关于
k k kx x x 310322-=++
分析:0)(32)(2
=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0f >,
()()02b f f k a
-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立,解得,故,
例2. 解不等式x x +>2
解:法一、常规解法: 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>?????<+≥???
020
20202 解,得;解,得()()I x II x 0220≤<-≤<
综上可知,原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222
法二、数形结合解法:
令,,则不等式的解,就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+
在的上方的那段对应的横坐标,y x 2=如下图,不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<
而可由,解得,,,x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22
例3. 已知,则方程的实根个数为01<<=a a
x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
分析:判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数,画y a y x x a ==|||log |
出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B )。
例4. 如果实数、满足,则的最大值为x y x y y x ()()-+=2322
A B C D (1)
23
3
323 分析:等式有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,()x y -+=2322
圆心为,,半径,如图,而则表示圆上的点,与坐()()()20300
r y x y x x y ==-- 标原点,的连线的斜率。如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点()00A
在以,为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由图()203OA
可见,当∠在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最A OA
大值为°tg 603=
例5. 已知,满足,求的最大值与最小值x y x y y x 22
1625
13+=- 分析:对于二元函数在限定条件下求最值问题,常采用y x x y -+=31625
122
构造直线的截距的方法来求之。
令,则,y x b y x b -==+33
原问题转化为:在椭圆上求一点,使过该点的直线斜率为,x y 22
1625
13+= 且在轴上的截距最大或最小,y
由图形知,当直线与椭圆相切时,有最大截距与最小y x b x y =++=31625
122
截距。
y x b x y x bx b =++=????
??++-=3162511699616400022
22 由,得±,故的最大值为,最小值为。?==--01331313b y x
例6. 若集合,,集合,M x y x y N x y y x b ===???<????????
?==+()cos sin (){()|}330θθθπ 且≠,则的取值范围为
。M N b ? 分析:M x y x y y M =+=<≤{()|}(),,,显然,表示以,为圆心,2290100
以3为半径的圆在x 轴上方的部分,(如图),而N 则表示一条直线,其斜率k=1,纵截
距为,由图形易知,欲使≠,即是使直线与半圆有公共点,b M N y x b ?=+
显然的最小逼近值为,最大值为,即b b --<≤332332
例7. 点是椭圆上一点,它到其中一个焦点的距离为,为M x y F N 22
12516
12+= MF 1的中点,O 表示原点,则|ON|=( )
A B C D (3)
2248
分析:①设椭圆另一焦点为F 2,(如图), 则,而||||MF MF a a 1225+==
||||MF MF 1228==,∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、F 1F 2的中点,
∴ON 是△MF 1F 2的中位线, ∴×||||ON MF ===1212
842 ②若联想到第二定义,可以确定点M 的坐标,进而求MF 1中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量,方法较之①显得有些复杂。
例8. 已知复数满足,求的模的最大值、最小值的范围。z z i z ||--=222
分析:由于,有明显的几何意义,它表示复数对应的|||()|z i z i z --=-+2222
点到复数对应的点之间的距离,因此满足的复数对应点2+2i |()|z i z -+=222
Z z z ,在以,为圆心,半径为的圆上,如下图,而表示复数对应的()()||222
点到原点的距离,显然,当点、圆心、点三点共线时,取得最值,Z O Z C O z ||
||||min max z z ==232,,
∴的取值范围为,||[]z 232 例9. 求函数的值域。y x x =
+-sin cos 22
解法一(代数法):则得y x x y x y x =+--=+sin cos cos sin 2222, sin cos sin()x y x y y x y -=--++=--221222,?
∴,而sin()|sin()|x y y x +=--++≤??22
112
∴,解不等式得
||--+≤--≤≤-+22
114734732y y y ∴函数的值域为,[]---+473473
解法二(几何法):y x x y y y x x =
+-=--sin cos 222121
的形式类似于斜率公式
y x x P P x x =+--sin cos ()(cos sin )22
220表示过两点,,,的直线斜率 221P x y +=由于点在单位圆上,如图, 显然,k y k P A P B 00≤≤
设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-()
则有,解得±||
221147
32k k k ++==-即,k k P A P B 00473473
=--=-+ ∴--≤≤-+473473y ∴函数值域为,[]---+473473
例10. 求函数的最值。u t t =++-246
分析:由于等号右端根号内同为的一次式,故作简单换元,无法t t t m 24+=
转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。
解:设,,则x t y t u x y =+=-=+246
且,x y x y 2221604022+=≤≤≤≤()
所给函数化为以为参数的直线方程,它与椭圆在u y x u x y =-++=22
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第一象限的部分(包括端点)有公共点,(如图)
u min =22
相切于第一象限时,u 取最大值
y x u x y x ux u =-++=????-+-=2222216
342160 解,得±,取?=0==u u 2626
∴u max =26
三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效,复习中
要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。
四、强化训练
见优化设计。
【模拟试题】
一、选择题:
1. 方程lg sin x x =的实根的个数为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点,则实数a 的取值范围是( )
A. ()1,+∞
B. ()-11,
C. (][)-∞-+∞,,11
D. ()()-∞-+∞,,11
3. 设命题甲:03< A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 4. 适合||z -=11且arg z =π 4的复数z 的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 5. 若不等式x a x a +≥>()0的解集为{|}||x m x n m n a ≤≤-=,且,2则a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知复数z i z z z 121232=-=+,,则||||的最大值为( ) A. 102- B. 5 C. 210+ D. 222+ 7. 若x ∈()12,时,不等式()log x x a -<12恒成立,则a 的取值范围为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2] 8. 定义在R 上的函数y f x =-∞()()在,2上为增函数,且函数y f x =+()2的图象的对称轴为x =0,则( ) A. f f ()()-<13 B. f f ()()03> C. f f ()()-=-13 D. f f ()()23< 二、填空题: 9. 若复数z 满足||z =2,则||z i +-1的最大值为___________。