2019-2020年高二数学《2频率分布折线图、总体密度曲线及茎叶图》教学设计

2019-2020年高二数学《2频率分布折线图、总体密度曲线及茎叶图》教学

设计

一、内容与解析

《用样本的频率分布估计总体分布》是普通高中新课程标准人教A版必修三第二章2.2.1的内容，属于概率统计知识的一部分。概率统计是高中新课标的重要内容，也是高考重点考查的内容之一，统计思想方法是数学中的一个重要思想方法。本节课，是在初中学习了统计初步知识和前面研究了随机抽样、数据收集方法的基础上。通过对样本分析估计总体的过程，突出了统计的实用性，体现了统计的思想及其在实际问题中的应用价值，真正体现出数学知识与现实生活的联系。本节，主要研究对收集样本如何进行处理，突出对数据描述、处理的方法。特别是，频率分布直方图画法。后面，接着研究总体密度曲线、用样本的数字特征估计总体的数字特征以及正态曲线等。可以说，本节课内容承上启下，地位非常重要。

二、教学目标及解析

1.能够根据频率分布直方图画出频率分布折线图，并最终得到总体密度曲线。

2.能够根据样本数据,画出茎叶图,并通过茎叶图估计总体的分布情况.

3.正确理解频率折线图、总体密度曲线和茎叶图的特点及随机性。

三、问题诊断分析

在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是能通过样本的频率分布估计总体的分布，体会统计的思想、方法.

四、教学过程

问题1.复习:作频率分布直方图的步骤有哪些?频率分布直方图有什么特点?

第一步，求极差.

第二步，决定组距与组数.

第三步，确定分点，将数据分组.

第四步，统计频数，计算频率，制成表格.

第五步，画平面直角坐标系,在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度,以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.

特点:

(1)随机性:频率分布表和频率分布直方图由样本决定,因此它们会随着样本的改变而改变.

(2)规律性:若固定分组数,随着样本容量的增加,频率分布表中的各个频率会稳定在总体相应分组的概率之上,从而频率分布直方图中的各个矩形高度也会稳定在特定的值上.

设计意图:

师生活动(小问题):

问题 2. 频率分布直方图能够很容易地表示大量的数据,非常直观地表明分布形状.但它不能保留原来的数据信息,在精确要求较高的情况下不适用.那么当题目要求精度较高时,我们该怎么做呢?

一般地,类似于频数分布折线图,只要我们把频率分布直方图中各个小矩形上端的中点连接起来,就得到了频率分布折线图.那么当组数增大到大时,相应的频率分布折线图就变成一条光滑的曲线.这条曲线在统计中就叫做总体密度曲线,它反映了总体在各个范围内的取值,能提供更多更详细的信息.

1.你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？

2.当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市居民月均用水量），随着样本容量的增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？

3.当总体中的个体数比较少或样本数据不密集时，是否存在总体密度曲线？为什么？

不存在，因为组距不能任意缩小.

4.对于一个总体，如果存在总体密度曲线，这条曲线是否惟一？能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线？

(1)有的总体没有密度曲线;(2)尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但在实际应用中我们并不知道它的具体表达形式,需要用样本来估计.由于样本是随机的,它的频率分布折线图并不是惟一的,而是随着样本的容量和分组情况的变化而变化的,因此不能由样本的频率分布折线图准确估计密度曲线.

问题3.频率分布表、频率分布直方图和折线图的主要作用是表示样本数据的分布情况，此外，我们还可以用茎叶图来表示样本数据的分布情况.

【问题】某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：

甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；

乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.

1.在统计中，上图叫做茎叶图，它也是表示样本数据分布情况的一种方法，其中“茎”指的是哪些数，“叶”指的是哪些数？

练习:对于样本数据：3.1，2.5,2.0，0.8，1.5，1.0，4.3，2.7，3.1，3.5，用茎叶图如何表示？

2.一般地，画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何？

第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；

第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧；

第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.

3.用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法，你认为茎叶图有哪些优点？

（1）保留了原始数据，没有损失样本信息；（2）数据可以随时记录、添加或修改.

4.比较茎叶图和频率分布表，茎叶图中“茎”和“叶”的数目分别与频率分布表中哪些数目相当？

5.对任意一组样本数据，是否都适合用茎叶图表示？为什么？

不适合样本容量很大或茎、叶不分明的样本数据.

五、课堂小结

1.用样本的频率分布估计总体分布，当总体中的个体数取值很少时，可用茎叶图估计总体分布；当总体中的个体数取值较多时，可将样本数据适当分组，用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布.

2.总体密度曲线可看成是函数的图象，对一些特殊的密度曲线，其函数解析式是可求的.

3.茎叶图中数据的茎和叶的划分，可根据样本数据的特点灵活决定.

六、目标检测

课本61页练习1

2019-2020年高二数学《一元二次不等式解法》教学设计

一、内容及其解析

（一）内容：一元二次不等式解法

（二）解析：本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

二、目标及其解析

（一）目标：

1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程

2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系

3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图

（二）解析：

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学

2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性

三、问题诊断分析

1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想

2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观

四、教学过程

问题与题例

师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Servi c e Provider ）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用

某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择，公司A 每小时收费1.5元；公司B 的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以

后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）

一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少？

假设一次上网x 小时，则A 公司收取的费用为1.5x ，那么B 公司收取的费用为多少？怎样得来？

生 结果是元，因为是等差数列，其首项为 1.7，公差为-0.1，项数为x 的和，即

.

20

)

35()1.0(2)1(7.1x x x x x -=--+

师 如果能够保证选择A 公司比选择B 公司所需费用少，则如何列式？

生 由题设条件应列式为＞1.5x(0＜x ＜17)，整理化简得不等式x 2

-5x ＜

推进新课

师 因此这个问题实际就是解不等式：x 2

-5x ＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点

什么叫做一元二次不等式？

含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式

是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.例如2x 2-3x-2＞0，3x 2-6x ＜-2，-2x 2

+3＜0等都是一元二次不等式 那么如何求解呢？

师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知

识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数y=2x-7，当x 为何值时，

y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？

它的对应值表与图象如下：

x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0

1 2 3 由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；

当x ＜3.5时，y ＜0，即2x-7＜0； 当x ＞3.5时，y ＞0，即2x-7＞

师 一般地，设直线y=a x+b 与x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果：

（1）一元一次方程a x+b =0的解是x 0；

（2）①当a ＞0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＞x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＜x

②当a ＜0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＜x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集

是{x|x＞x

师在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.

能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？

生函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.

a＞0 a＜0

一次函数

y=a x+b(a

的图象

一元一次方程a x+b=0的解集{x|x=} {x|x=}

一元一次不等式a x+b＞0的解集{x|x＞} {x|x＜}

一元一次不等式a x+b＜0的解集{x|x＜} {x|x＞}

师在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？

生当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的

二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：

x -1 0 1 2 3 4 5 6

y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

由对应值表与图象（如上图）可知：

当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；

当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；

当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞

这就是说，若抛物线y=x 2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，

则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2

一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞

［教师精讲］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集

如何讨论一元二次不等式的解集呢？

我们知道，对于一元二次方程a x2+b x+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x2+b x+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三

种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2

+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论

（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2

+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2

+b x+c =0(a

＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2

+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，

或x ＞x

2}；不等式a x 2

+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2

（2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2

+b x+c =0(a

＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠}；不等式a x 2

+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是

(3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2

+b x+c =0(a

＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2

+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.

Δ=b 2

-4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0

二次函数

y=a x 2

+b x+c (a ＞0)的

图象

a x 2+

b x+

c =0的根 x 1=x 2= a x 2+b x+c ＞0的解集 {x|x ＜x 1或x ＞x 2} {x|x≠} R a x 2+b x+c ＜0的解集 {x|x 1＜x ＜x 2}

对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解

［知识拓展］

【例1】 解不等式2x 2

-5x-3＞

生 解：因为Δ＞0，2x 2

-5x-3=0的解是x

1=-,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜，或x ＞

【例2】 解不等式-3x 2

+15x ＞

生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2

-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜

【例3】 解不等式4x 2

+4x+1＞

生 解：因为Δ=0，方程4x 2

+4x+1=0的解是x 1=x 2=.所以不等式的解集是 【例4】 解不等式-x +2x-3＞

生 解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2

-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是

师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下：

（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2

+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞

（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况： ①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，??

?≠.

,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若

②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，??

?

??==?∈≠.

,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数则＞若

③Δ＜0时，方程无解，

（3）写出解集

师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将

判断框和处理框中的空格填充完整 ［学生活动过程］

［方法引导］

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神

五、目标检测

《优化设计》 ------《自我测评》

六、课堂小结

1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不

等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2

+b x+c ＜0（a

≠0） 2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序 七、配餐练习

《优化作业》