2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)2.2 基本不等式(解析版)
2.2 基本不等式
运用一 直接运用公式
【例1】（1）（2019·新疆高一期中）已知0x >，函数4
y x x
=+的最小值是 （ ） A ．5
B ．4
C ．8
D ．6
（2）若0＜x ＜
12
5
，则函数y ＝x (12－5x )的最大值为________． （3）（2019·天津高考模拟（理））若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为______．
【答案】（1）B （2）
36
5
（3）4 【解析】（1）由均值不等会死，
，当且仅当
时不等式取
，故选B 。
（2）因为0＜x ＜125，所以y ＝15?5x (12－5x )≤215125(
)52x x +-＝36
5
，当且仅当5x ＝12－5x ，即x ＝65时取等号．故填365
（3）因为1xy
=，所以()2222422244x y x y x y xy +=+≥??==，当2x y =时取“=”，
所以224x y +的最小值为4，故答案为4. 【触类旁通】
1．（2019·新疆高二期末）已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．
1
2
C ．
13
D ．
14
【答案】D
【解析】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2
11
1()24x y xy =+≥≤=
，当且仅当12
x y ==时取等号，故本题选D.
2．（2019·黑龙江高一期中）函数1
5(1)1
y x x x =++>-的最小值为( ) A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C 【解析】
1x >，10x ->，
∴函数151y x x =+
+-1(1)61x x =-++-2(1)6x -8=， 当且仅当2x =时取等号，因此函数1
51
y x x =+
+-的最小值为8答案选C 运用二 条件型
【例2】（1）（2019·云南高一月考）已知正数x 、y 满足41x y +=，则11
x y
+的最小值为（ ） A ．8
B ．12
C ．10
D ．9
（2）（2019·贵州高一期末）已知正实数a ，b 满足4
1a b +=，则1b a
+的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．9
D ．10
（3）．若正数x y 、满足40x y xy +-=，则
4
x y
+的最大值为（ ） A ．
25
B ．
49 C ．
12
D ．
47
【答案】（1）D （2）C （3）B 【解析】（1）正数x 、y 满足 41x y +=，根据不等式性质得到：
(
)111144441559.x y x y x y x y x y y x y x ??+=++=+++=++≥+= ??? 等号成立的条件为
4x y
y x
= 故答案为：D. （2）∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ????+=++ ???????45529ab ab ab =+++=，当且仅
当
4,41ab ab
a b ?
=???
?+=??
时，即1,36a b ?=???=?时取“=”.故答案选C （3）∵正数x y 、满足40x y xy +-=， ∴04
x
y x =
>-，解得4x >，
∴44444
449145444x x y x x x x x x ===≤=
++++-++---，当且仅当444
x x -=
-时，等号成立，∴4x y +的最大值为49．故选：B ．
【触类旁通】
1．（2019·新疆高一月考（理））已知0,0,2a b a b >>+=，则14
y a b
=+的最小值是（ ） A ．
92
B ．
72
C ．5
D ．4
【答案】A
【解析】∵a ＞0，b ＞0，a +b ＝2， ∴y 1412a b =
+=（14a b +）（a +b ）12=（1+44b a a b ++
）12≥（）92=， 当且仅当b ＝2a 时等号成立，故选：A ．
2．（2019·河北高一期末）设0,0a b >>，且4a b +=，则a b
ab
+的最小值为 （ ） A ．8 B ．4 C ．2
D ．1
【答案】D
【解析】
111111122214
44a b b a
b a
a b
ab a b a b a b a b
，
当且仅当
b a
a b
=，即2a b ==时""=成立，故选D 。 3．（2019·福建高二期末（文））已知0,0,42a b a b >>+=，则
11
a b
+的最小值是 A ．4 B ．
9
2
C ．5
D ．9
【答案】B
【解析】因为114(
)(4)4159b a a b a b a b ++=+++≥+= ， 又42a b +=，所以119
()2
a b +≥， 当且仅当12
,33
a b ==时取""=，故选：B 。
运用三 配凑型
【例3】（1）（2019·河北高一期末）已知1x >-，则3
31
x x +
+的最小值是_______. （2）已知1x >-，则函数2710
1
x x y x ++=+的值域为________．
（3）（2019·四川高一期末）已知正数x 、y 满足1x y +=，则
14
1x y
++的最小值为（ ） A ．2
B ．
92
C ．
143
D ．5
（4）（2019·云南高二期中（理））已知0a b >>，则41
2a a b a b
+
++-的最小值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．3
D ．【答案】（1）3（2）[9,)+∞（3）B （4）B 【解析】（1）因为1x >-，所以10x +>，
所以()3333133311x x x x +
=++-≥=++（当且仅当0x =时，等号成立）.
（2）设1t x =+由1x >-知，0t >，1x t =-，
故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t
++-+-+===+++，
∵4
4t t
+
≥ （当且仅当2t =时，等号成立）． ∴函数2710
(1)1
x x y x x ++=>-+的值域为[9,)+∞．
（3）
1x y +=，所以，(1)2x y ++=，
则141441412()[(1)]()52591111x y x y
x y x y x y y x y +++
=+++=+++=++++， 所以，
14
912
x y +
+， 当且仅当4111
x y y x x y +?=?+??+=?，即当23
13x y ?
=????=??
时，等号成立，
因此，141x y ++的最小值为92
，故选：B ． （4）∵0a b >
>，∴4141
2()()a a b a b a b a b a b a b
+
+=
+++-++-+- ∵4()4a b a b ++≥=+，1()2a b a b -+≥=- ∴4126a a b a b
+
+≥+-，当且仅当2,1a b a b +=-=时等号成立. 【触类旁通】
1．（2019·宁夏高一期末）当1x ≤-时，1
()1
f x x x =++的最大值为__________. 【答案】-3.
【解析】当1x ≤-时，()11
[(1)]111
f x x x x x =+
=--+--++ 1
(1)21x x -+-
≥+ ()11
[(1)]1311
f x x x x x =+=--+--≤-++故答案为：-3
2．（2019·广东高二期中（文））已知1,0,2a b a b >>+=，则
11
12a b
+-的最小值为（ ）
A ．
3
2
B ．
34 C ．3+D ．
12+
【答案】A
【解析】由题意知1,0,2a b a b >>+=，可得：(1)1,10a b a -+=->，
则
11111133[(1)]()1121222122
a b a b a b a b b a -+=-++=+++≥+=+---， 当且仅当
121a b
b a -=-时，等号成立，
则
1112a b +-的最小值为3
2
+。故选：A ． 3．（2019·江西高二期末（文））已知正数x ，y 满足5x y +=，则
11
12
x y +++的最小值为________. 【答案】
12
【解析】由5x y +=，可得()()128x y +++=且10,20x y +>+>，
则()()111111212812x y x y x y ??+=++++?? ???++++??
12111
11281282
y x x y ???++=+++≥+= ? ++???，（当且仅当2112y x x y ++=++即3,2x y ==时取“=”）. 故
1112x y +++的最小值为1
2
. 运用四 换元型
【例4】（2019·浙江高一月考）若正数a ，b 满足111a b +=，则19
11
a b +--的最小值为（ ） A ．6 B ．9
C ．12
D ．15
【答案】A 【解析】由
111a b +=得：1111a b a a -=-=，即：1
a
b a =- 0b >，0a > 10a ∴->
()
19191916
11111
1
a a a
b a a a ∴
+=+=+-≥=------ 当且仅当
()1911a a =--，即4
3
a =时取等号 min
1
9611a b ??∴+= ?--??本题正确选项：A
【触类旁通】
1．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则2+a b 的最小值为
A ．5+
B ．
C ．5
D ．9
【答案】A
【解析】由21a b ab +=-得3
102
a b =+
>-，解得2b >.所以2+a b (
)
3522552b b =+
+-≥+=+-当且仅当()3222b b =-
-，即22
b =+时等号成立.故本小题选A.
2已知正实数a ，b 满足a 2
－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b 的最小值为________．
【答案】
145
【解析】 ∵a 2
－b ＋4≤0，∴b ≥a 2
＋4，∴a ＋b ≥a 2
＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴
a
a ＋
b ≤
a a 2
＋a ＋4，∴－a a ＋b ≥－a
a 2＋a ＋4
，
∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a
a 2＋a ＋4
＝3－
1
a ＋4a
＋1≥3－1
2
a ·4
a
＋1
＝14
5， 运用五 利用不等式求参数
【例5】（2019·河北高一期末）已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24m
x y
+≥恒成立，则m 的取值范围是 A ．)
+∞
B ．[)2,+∞
C ．(
D ．(]
0,2 【答案】B
【解析】因为0m >，0xy >，2x y +=，
所以
()21
212222m m mx y x y m x y x y y x ????+=++=+++≥ ? ?????
()
1
22m ++.因为不等式24m x y +≥恒成立，所以()
1
242
m ++≥，整理得
0≥
≥2m ≥.
【触类旁通】
1．（2019·黑龙江高二期末（理））若两个正实数,x y 满足
21
1x y
+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()[),24,-∞-+∞
B ．()[),42,-∞-+∞
C ．()2,4-
D ．()4,2-
【答案】D
【解析】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ??+=++=++≥=
???
， 当且仅当4y x
x y
=，由于0x >，0y >，即当2x y =时，等号成立， 所以，2x y +的最小值为8，由题意可得228m m +<，即2280m m +-<， 解得42m -<<，因此，实数m 的取值范围是()4,2-，故选：D. 2．（2019·吉林高一月考）已知21
0,0,1,x y x y
>>+=且若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(,2)[4,)-∞-?+∞
B ．(,4)[2,)-∞-+∞
C ．(-2,4)
D ．(-4,2)
【答案】D
【解析】由
211x y +=，可得()21224448x y x y x y x y y x ??+=++=++≥+= ???
， 而2
22x y m m +>+恒成立()2
22min m m x y ?+<+，
所以228m m +<恒成立，即2280m m +-<恒成立， 解得42m -<<，故选D ．
3．（2019·黑龙江高一月考（文））已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．(,12]-∞ B ．(,14]-∞
C ．(,16]-∞
D ．(,18]-∞
【答案】D
【解析】由280x y xy +-=得：
2810y x +-=，即82
1x y
+= ()8228288210x y x y
x y x y x y y x y x ??∴+=++=+++=++ ???
0x
，0y > 20x y ∴
>，80y x
>
288x y y x ∴
+≥=（当且仅当28x y y x =，即2x y =时取等号） 10818x y ∴+≥+=（当且仅当2x y =时取等号）
18a ∴≤本题正确选项：D
运用六 实际应用
【例6】（2019·四川高一期末）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ） A ．30 B ．36
C ．40
D ．50
【答案】C
【解析】设矩形的长为()x m ，则宽为
100
()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有10022y x x
=+?，根据
基本不等式可知：1002240y x x =+?≥=，
（当且仅当10022x x =?时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C. 【触类旁通】
1．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m ，深度为3m .如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m . 【答案】160
【解析】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为4800
3m x
， 由题意可得水池总造价()48004800150120232333f x x x ?
?=?
+?+?? ???
()16002400007200x x x ?
?=++> ???
，
则()1600720240000720240000f x x x ?
?=+
+≥? ??? 720240240000297600=??+=
当且仅当1600
x x
=
，即40x =时，()f x 有最小值297600， 此时另一边的长度为4800
403m x
=， 因此，当水池的底面周长为160m 时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元， 故答案为160．
1（2019·黑龙江高一期中）函数1
5(1)1
y x x x =++>-的最小值为( ) A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C 【解析】
1x >，10x ->，
∴函数151y x x =+
+-1(1)61x x =-++-2(1)6x -8=， 当且仅当2x =时取等号，因此函数1
51
y x x =++-的最小值为8答案选C 2．（2019·吉林高一期末（文））若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）
A ．3
B ．1
C ．1
D ．4
【答案】A
【解析】当2x >时，20x ->，则()()
11
222=422
f x x x x x =+=-++≥-- 当且仅当()1
222
x x x -=
>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选：A. 3．（2019·河南高二开学考试（理））当4x >时，不等式4
4
x m x +
≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m <
C ．8m ≥
D ．8m >
【答案】A
【解析】∵4x >，∴40x ->，
∴44444844x x x x +
=-++≥=-- 当且仅当4
44
x x -=
-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式4
4
x m x +
≥-恒成立， ∴只需min 484m x x ?
?≤+= ?-?
?．∴m 的取值范围为：(8],-∞．故选：A ．
4．（2019·上海高二期末）若正数,a b 满足11
1a b +=，则1411
a b +--的最小值为（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】∵11
0,0,
1a b a b
>>+= ；∴1,1,a b a b ab >>+= ∴
140,011a b >>--
∴1442411(1)(a b a +==--- 当且仅当
1411a b =--，即3
,32
a b =
=时，等号成立.故选B. 5．（2019·湖北高一期末）任意正数x ，不等式21
ax x ≤+恒成立，则实数a 的最大值为 A ．1 B
C ．2
D ．
2
【答案】C
【解析】
20
11x x a x x x
>+∴≤=+
又
12x x +
≥=（当且仅当11x x x =?=取到等号）2a ∴≤
6．（2019·黑龙江高一月考）设正实数, x y 满足1
,12
x y >>，不等式
224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为 （ ）
A ．8
B ．16
C ．
D ．【答案】A
【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()1
10,102
y b b x a a =+>=
+> 所以
()()2
2
22
111114
121
a b a b ab a b x y
y x b
a
++++++++
=
+
≥=--
()
222228
?=≥=?+= ?
当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号
所以22
4121
x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A 7．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件 【答案】充分不必要
【解析】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +≥，
当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性是成立的； 例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件.
8．已知,0a b >，且1a b +=，则2
ab ab
+的最小值为___________． 【答案】
334
【解析】因为,0a b >，且1a b +=，所以21
0(
)24
a b ab +<≤=，当且仅当12a b ==时，取等号，设
1(0)4ab t t =<≤，所以设21()(0)4f t t t t =+<≤，'22
()1f t t
=-，显然当
1
04t <≤时，'()0f t <，所以()f t 在104t <≤上，是单调递减函数，
所以min 1
33()()44
f t f ==
. 9．（2019·云南高一期末）已知0m >，0n >，且2m n +=，则21
n m n
+的最小值为________. 【答案】
52
【解析】因为2m n +=，所以2122n n m n m n m n ++=+211522222
n m m n =++≥+=，当且仅当4
3m =，23n =
时取等号.
10．（2019·浙江高二期末）已知正数x y ，满足23x y +=，则
212y x y
+的最小值____________．
【解析】
23x y +=，
∴
212226y y x y x y x y ++=+ 212126363
y x y x x y x y =
+++
=
，
当且仅当26y x x y =，即x y =时取等号，
∴
212y x y +．
． 11．（2019·山西高一期末）已知0a >，0b >，a ，b 的等比中项是1，且1m b a =+，1
n a b
=+，则m n +的最小值是______. 【答案】4
【解析】a ，b 的等比中项是11ab ?=
11
224m n b a b a a b
+=+
++=+≥= 当1a b ==时等号成立. 故答案为4
12．（2019·甘肃高二期末（理））已知,,(0,)a b c ∈+∞，且1a b c ++=，则111
a b c
++的最小值为________. 【答案】9
【解析】1a b c ++=，111111a b c a b c a b c b c a c a b a b c a b c a a b b c c
++++++++=++=++++++++ ()()()322239b a c b a c
a b b c c a
=++++++≥+++= 当1
3
a b c ===时等号成立.
故答案为9
13．（2019·安徽高一期末）已知正数a 、b 满足226a b +=，则__________． 【答案】5
【解析】2
2
6a b +=，22452
b a ++≤=
当b =1,a b ==. 故答案为：5
14．（2019·浙江高一期末）已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________． 【答案】6
【解析】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（,
所以
2
)4(x y x y +-+≥（）-120， 所以
6)(2)0x y x y +-++≥（， 所以x+y ≥6或x+y ≤-2(舍去)， 所以x+y 的最小值为6. 当且仅当x=y=3时取等. 故答案为：6
15．（2019·浙江高一期末）设正数,a b 满足2
2
1
44a b ab
++=，则a =_____；b =_____． 【答案】1
1
2
【解析】(
)2
22114244a b a b ab ab ab ++
=-++≥= 当且仅当20a b -=且21ab =即1
1,2
a b ==时，“=”成立. 所以11,2
a b ==
. 16．（2019·湖北高一期中）已知,a b ∈R ，且280a b -+=，则1
24
a
b +的最小值为______． 【答案】
18
【解析】∵280a b -+=，
则11248
a b +
≥===. 当且仅当2a b =-即2b =，4a =-时取等号， 故答案为：
1
8
． 17．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212m a b a b
+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 【答案】9.
【解析】由212m a b a b +≥+得()212m a b a b ??≤++ ???恒成立，而()212225a b a b a b b a ??
++=++ ??
?
5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9. 18．（2019·天津高三月考（文））已知x y ，为正实数，则
22x x y
x y x
+++的最小值为_________.
【答案】
3
2
+ 【解析】原式12
21y
y x x
=
+++，令0y t x =>，则上式变为
1212t t +++()113121222
t t =++++
3322≥+=+
()111
12,122
2
t t t =+=+
时等号成立，故最小值为3
2
+. 19．已知0, 0, 223x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为_____．
【答案】2
【解析】由题可得：()2
223232x y x y x y +??+=-?≥- ?
??
（当且仅当2x y =时取等号）
， 整理得：()()2
242120x y x y +++-≥， 即：()()22260x y x y +-++≥， 又：20x y +>，
所以：22x y +≥ （当且仅当2x y =时取等号）， 则：2x y +的最小值是2． 故答案为：2．
20．已知a ＞b ＞c ，求证：114
0a b b c c a
++---. 【答案】见证明
【解析】证明：因为a ＞b ＞c ， 所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.
所以4(a －b )(b －c )≤[(a －b )＋(b －c )]2＝(a －c )2.
所以
4()()
a c
a b b c a c ----，即
()()4
0()()b c a b a b b c a c
-+-----. 所以
114
0a b b c c a
++---. 21．（2019·江苏高二期末）已知a ，b 是正数，求证：2
2
1
44a b ab
++. 【答案】见证明
【解析】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +. 所以2
2
11
44244a b ab ab ab
+++=. 即2
21
44a b ab
++
. 当且仅当1a =，1
2
b =时取等号
22（2019·重庆高一期末）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31
k
x m =-
+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销
售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）16
281
y m m =-
-+ ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大 【解析】（1）由题意可知，当0m =时，1x = （万件）， 所以13-k =，所以2k =，所以2
31
x m =-+， 每件产品的销售价格为8161.5x
x +?
（万元）， 所以年利润81616
1.581648281
x y x x m x m m x m +=??---=+-=--+ 所以16
281
y m m =-
-+，其中0m ≥. （2）因为0m ≥时，
16181m m ++≥+，即16
71
m m +≥+ 所以28721y ≤-=，当且仅当
16
11
m m =++，即3m = （万元）时，max 21y = （万元）. 所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
23．（2019·黑龙江高二期末（文））（1）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，求1
28a
b
+的最小值。 （2）已知,a b 是正数，且满足1a b +=，求14
a b
+的最小值。 【答案】（1）14
；（2）9. 【解析】（1）
360a b -+=，36a b ∴-=-，
由基本不等式可得31122284
a
a b b -+
=+≥===， 当且仅当336a b a b =-??
-=-?，即当31
a b =-??=?时，等号成立，所以，128a b +的最小值为14；
（2）由基本不等式可得
()14144559a b a b a b a b b a ??+=++=++≥= ???，
当且仅当410,0
a b
b a a b a b ?=??+=??>>??
，即当13
23a b ?=????=??
时，等号成立，所以，14a b +的最小值为9.
24．（2019·湖北高一期中）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
【答案】当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元． 【解析】设沼气池的底面长为x 米，沼气池的总造价为y 元，
因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米， 因为底面长为x 米，所以底面的宽为
16
x
， 依题意有16300015016120222y x x ??=+?+?+? ???165400480x x ?
?=++ ??
?，
因为0x >
，由基本不等式和不等式的性质可得1654004805400480x x ?
?++≥+? ?
??
即5400480y ≥+?， 所以9240y ≥， 当且仅当16
x x
=
，即4x =时，等号成立， 所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元． 25．（2019·江西高二期末（理））已知,,a b c ∈R ,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）2
2
2
1
3
a b c ++≥
； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【解析】证明(Ⅰ)
a ，
b ，
c +∈R ，且1a b c ++=，
()
22222221()2223a b c a b c ab bc ac a b c ∴=++=+++++≤++， 2221
3
a b c ∴++≥
，当且仅当a b c ==时，等号成立. （Ⅱ）
22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a
+≥， ()222
2a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 222
1a b c a b c b c a ∴++≥++=， 222
1a b c b c a
∴++≥ 26．（1）对一切正整数n ，不等式
2x?1x
>
n
n+1
恒成立，求实数x 的取值范围构成的集合.
（2）已知x,y 都是正实数，且x +y ?3xy +5=0，求xy 的最小值及相应的x,y 的取值. 【答案】（1）{x|x <0,或x ≥1}；（2）25
9 【解析】（1）由n
n+1=1?1
n+1<1，由题意知
2x?1x
≥1，即
x?1x
≥0，解得x <0或x ≥1，
∴x 的取值范围构成的集合为：{x|x <0或x ≥1}. （2）解：由x +y ?3xy +5=0，得x +y +5=3xy ， ∴2√xy +5≤x +y +5=3xy ，3xy ?2√xy ?5≥0， ∴(√xy +1)(3√xy ?5)≥0, ∴√xy ≥5
3，即xy ≥
259
，
等号成立的条件是x =y ，此时x =y =53，故xy 的最小值是25
9