二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形
1.已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形
为平行四边形,求D点的坐标;
2.如图,在坐标系xOy 中,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A (1,0),B (0,2),
抛物线221
2bx x y 的图象过C 点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l .当l 移动到何处时,恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分?
(3)点P 是抛物线上一动点,是否存在点P ,使四边形PACB 为平行四边形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由.
3.如图,抛物线32bx ax y 与x 轴相交于点A (﹣1,0)、B (3,0),与y 轴相交于点C ,
点P 为线段OB 上的动点(不与O 、B 重合),过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC
分别交于点E 、F ,点D 在y 轴正半轴上,OD=2,连接DE 、OF .
(1)求抛物线的解析式;
(2)当四边形ODEF 是平行四边形时,求点P 的坐标;(3)过点A 的直线将(2)中的平行四边形ODEF 分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)
4.如图,抛物线经过A )0,1(,B )0,5(,C )2
5,0(三点. (1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P ,使PA+PC 的值最小,求点P 的坐标;
(3)点M 为x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N ,使以A,C,M,N 四点构成的四边形为
平行四边形?若存在,求点N 的坐标;若不存在,请说明理由
.
5.综合与探究:如图,抛物线423412x x y 与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴
交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q
(1)求点A,B,C 的坐标。
(2)当点P 在线段OB 上运动时,直线l 分别交BD ,BC 于点M,N 。试探究m 为何值时,四边形CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM 的形状,并说明理由。
(3)当点P 在线段EB 上运动时,是否存在点 Q ,使△BDQ 为直角三角形,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由。
6.如图,抛物线c
y2与x轴交于A(1,0)、B(﹣4,0)两点,交y轴与C点.
bx
x
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D,使得△DBC的面积S最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设抛物线的顶点为点F,连接线段CF,连接直线BC,请问能否在直线BC上找到一个点M,在抛物线上找到一个点N,使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形?若存在,请写出点M和点N的坐标;若不存在,请说明理由.
7.将抛物线212x y 向右平移2个单位,得到如图抛物线2y 的图象,P 是抛物线2y 对称轴上
的一个动点,直线t x 平行于y 轴,分别与直线x y 、抛物线2y 交于点A 、B .若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t 的值,则t = .
二次函数与平行四边形存在性问题
老师 姓名 学生姓名学管师 学科 名称 年级上课时间月日_ _ :00-- __ :00 课题 名称 二次函数与平行四边形的存在问题 教学 重点 教学过程【知识梳理】 1、平行四边形的性质是什么? 2、在坐标系中,平行四边形又有哪些性质? 3、解决问题的策略: ①根据要求画出满足要求的图形,然后根据几何性质计算未知量 ②分类讨论,根据对角线“共中点”的性质直接计算。 1.(2011?盘锦)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过A(1,﹣1)、B(4,0)两点. (1)求这个二次函数解析式; (2)点M为坐标平面内一点,若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.
2.(2010?陕西)在平面直角坐标系中,抛物线A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣1)三点. (1)求该抛物线的表达式; (2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标. 3.(2011?阜新)如图,抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点,顶点为P. (1)求点A、B的坐标; (2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积,若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由; (3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,直接写出所有符合条件的点F的坐标.
4.(2007?玉溪)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的 图象交于A、B两点,其中点A的坐标为(3,4),点B在y轴上。 (1)求m的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P点作x轴的垂线交二次函数图象于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)D为直线AB与二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P (x1,y ),Q (x2,y ) (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式:221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式:已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直,则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系:两直线分别为:L1:y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 (1)当k1=k2,b1≠b2 ,L1∥L2 (2)当k1≠k2, ,L1与L2相交 (3)K1×k2= -1时, L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究: 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形,等边三角形,直角三角形 (一)三角形的性质和判定: 1、等腰三角形 性质:两腰相等,两底角相等,三线合一(中线、高线、角平分线)。 判定:两腰相等,两底角相等,三线合一(中线、高线、角平分线)的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质:满足勾股定理的三边关系,斜边上的中线等于斜边的一半。 判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质:具有等腰三角形和等边三角形的所以性质,两底角相等且等于45°。 判定:具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质:三边相等,三个角相等且等于60°,三线合一,具有等腰三角形的一切性质。 判定:三边相等,抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
中考最后冲刺《锐角三角函数与二次函数》精析精练
锐角三角函数精析精练 一、知识梳理 1. 三角函数的概念:在Rt △ABC 中,∠C=? 90, SinA=斜边 的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠, tanA=的邻边 的对边A A ∠∠ 例1:已知在Rt ABC △中,∠C 为直角,AC = 4cm ,BC = 3cm ,sin ∠A = . 例2:在Rt ABC △中,90C ∠=°,a b c ,,分别是A B C ∠∠∠,,的对边,若2b a =, 则tan A = . 例3:如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,AC =2,则cos A 的值是( ) A . 215 B .25 C .212 D .5 2 图1 图2 例4:如图2,在△ABC 中,∠C =90°,AB =10cm ,sinA = 5 4 ,则BC 的长为 ___cm . 例5:正方形网格中,AOB ∠如图3放置,则cos AOB ∠的值为( ) C. 12 D.2 2. 特殊角的三角函数值: 例6:若30α=∠,则α∠的余角是 °,cos α= . 例7:如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角,则tan α的值是( ) A B O 图3
A. 12 B. 2 C.1 例8: 45cos 45sin +的值等于( ) A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 例9:因为1sin 302= ,1sin 2102 =-, 所以sin 210sin(18030)sin30=+=-;因为2sin 452= ,sin 2252 =-, 所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-, 由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-, 由此可知:sin 240=( ) A .1 2 - B . C . D .3.锐角三角函数的应用 例10:《中华人民共和国道路交通管理条理》规定:“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时.”如图所示,已知测速站M 到公路l 的距离MN 为30米,一辆小汽车在公路l 上由东向西行驶,测得此车从点A 行驶到点B 所用的时间为2秒,并测得 60AMN ∠=,30BMN ∠=.计算此车从A 到B 的平均速度为每秒多少米(结果保 留两个有效数字),并判断此车是否超过限速. 1.732 ≈ 1.414≈) 二、巩固练习 (一)选择题: 1.已知ABC ?中,AC =4,BC =3,AB =5,则sin A =( ) A. 35 B. 4 5 C. 5 3 D. 34 M N B A l
二次函数与等腰三角形
以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题 【学习目标】 这类问题主要是以一点(或以一条线段)为依托,动点和函数思想相结合以几何图形为背景,以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目,应从相关图形的性质和数量关系分类讨 论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性. 【教学过程】解题思路:等腰三角形的存在性的解题方法:①几何法三步:先分类;再画图;后计算.② 代数法三步:先罗列三边;再分类列方程;后解方程、检验.再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中,这两种方法往往结合使用. 一、考点突破 12 例1、如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B两点,与y 轴相交于点C,若 4 已知 A 点的坐标为(﹣2,0). (1)求抛物线的解析式; 2)连接AC、BC,求线段BC 所在直线的解析式; P,使△ACP为等腰三角形?若存在,求出符合条件的(3)在抛物线的对称轴上是否存在 点P 点坐标;若不存在,请说明理
【例2】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴相交于A,B 两点,点C 的坐标是(8,4),连接AC,BC. (1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状; (2)动点P从点O出发,沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动;同时,动点Q 从点 B 出发,沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时, 另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t 秒,当t 为何值时,PA=QA? (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M ,使以A,B,M 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
二次函数中三角形存在问题(二)
二次函数中三角形存在性问题(二) 1.相似三角形 2.等腰直角三角形 例一: 1.如图,抛物线经过三点A(1,0),B(4,0),C(0,-2) (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以B,P,M为顶点的三角形与OBC△相似(相似比不为1)?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标. (2)试判断△BCD的形状,并说明理由. (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y=向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线3.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线2x ()k - =2,所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,顶点为D。 x y+ h (1)求h、k的值。 (2)判断△ACD的形状,并说明理由。 (3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由。 4.如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y 轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,2OB=OD,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q. (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式; (2)是否存在点P,使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.