抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“
()f x ”有关问题解法
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号
()f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地
掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:
一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出
()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生
的灵活性及变形能力。
例1:已知
(
)211x
f x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u
-=+=--∴
2()1x
f x x
-=
- 2.凑合法:在已知
(())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求()f x .此解法简洁,
还能进一步复习代换法。
例2:已知
33
11()f x x x x
+=+,求
()f x
解:∵
22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11
||||1||
x x x x +=+≥
∴
23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)
3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设
()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22
222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4
1321
,1,2222
a c a a
b
c b +=??=?===??=?
∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵
()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
∵
()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴
lg(1),0
()lg(1),0x x f x x x +≥?=?
--
例5.一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1
()1
g x x =
-, 求()f x ,()g x . 解:∵
()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换
()f x +()g x =
1
1
x - ………①中的x ,
∴
1()()1f x g x x -+-=
--即()f x -1
()1
g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1
x
g x x =-
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出()f x 的表达式
例6:设()f x 的定义域为自然数集,且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x
解:∵
()f x 的定义域为N ,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++
∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+
以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1
()(1),2
f x x x x N =+∈
二、利用函数性质,解
()f x 的有关问题
1.判断函数的奇偶性: 例7 已知
()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明:令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①
在①中令
y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例8:奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解:由
2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-
又∵()f x 在(-1,1)内递减,∴221111110111m m m m m -<-?
-<-<?->-?
3.解不定式的有关题目 例9:如果
()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小
解:对任意t 有
(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴
又∵其开口向上∴f
(2)最小,
f
(1)=
f
(3)∵在[2,+∞)上,
()f x 为增函数
∴
f
(3)<
f
(4),∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0,f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数f (x )是
的抽象函数,因此求函数f (x )的值域,关键在于研究它的单调性。
解:设,∵当,∴,
∵,
∴,即,∴f(x)为增函数。
在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴f(0)=0,故f(-x)=f(x),f (x)为奇函数,
∴f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4,
∴f(x)的值域为[-4,2]。
例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不
等式的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设,∵当,∴,则
,
即,∴f(x)为单调增函数。∵
,又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴
,∴,即,解得不等式的解为-1 < a < 3。
2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,
成立。求:
(1)f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负。
分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。
解:(1)令y=0代入,则,∴
。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。
例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。
分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:
(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。
(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。
综上所述,x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:
(1)f(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。
分析:由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。
解:(1)∵,∴f(1)=0。
(2),从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),
即,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故
,解之得:8<x≤9。
例6、设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)=g(a)·g(b)正确。
解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而
,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a +b)=g(a)·g(b)。
4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当是定义域中的数时,有;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0。
试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。
(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。
分析: 由题设知f(x)是的抽象函数,从而由及题设条件猜想:f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这里把a看成进行猜想)。
解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且是定义域中的数时有
,∴在定义域中。∵
,
∴f(x)是奇函数。
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知中的,于是f(x1)<f(x2),∴在(0,2a)上f(x)是增函数。
又,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,
,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。设2a<x1<x2<4a,则0<x2
-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵,∴,即f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当时,。(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若,求a的取值范围。
分析:由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。
解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴
f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设,∴,,
∵时,,∴,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在0,+∞)上是增函数。
(3)∵f(27)=9,又,
∴,∴,∵,∴,
∵,∴,又,故。
抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:
一、定义域问题
例1. 已知函数的定义域是[1,2],求f(x)的定义域。
解:的定义域是[1,2],是指,所以中的满足
从而函数f(x)的定义域是[1,4]
评析:一般地,已知函数的定义域是A,求f(x)的定义域问题,相当于已知中x的取值范围为A,据此求的值域问题。
例2. 已知函数的定义域是,求函数的定义域。
解:的定义域是,意思是凡被f作用的对象都在中,由此可得
所以函数的定义域是
评析:这类问题的一般形式是:已知函数f(x)的定义域是A,求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解
此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为的函数f(x),同时满足下列条件:①;②,求f(3),f(9)的值。
解:取,得
因为,所以
又取
得
评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取,这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4. 设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,总成立,且存在,使得,求函数的值域。
解:令,得,即有或。
若,则,对任意均成立,这与存在实数,使得成立矛盾,故,必有。
由于对任意均成立,因此,对任意,有
下面来证明,对任意
设存在,使得,则
这与上面已证的矛盾,因此,对任意
所以
评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题
例5. 设对满足的所有实数x,函数满足,求f(x)的解析式。
解:在中以代换其中x,得:
再在(1)中以代换x,得
化简得:
评析:如果把x和分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题
例6. 设f(x)定义于实数集上,当时,,且对于任意实数x、y,有,求证:在R 上为增函数。
证明:在中取,得
若,令,则,与矛盾
所以,即有
当时,;当时,
而
所以
又当时,
所以对任意,恒有
设,则
所以
所以在R上为增函数。
评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有,试判断函数f(x)的奇偶性。
解:取得:,所以
又取得:,所以
再取则,即
因为为非零函数,所以为偶函数。
七、对称性问题
例8. 已知函数满足,求的值。
解:已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点(2002,0)对称。
所以
将上式中的x用代换,得
评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设a、b均为常数,函数对一切实数x都满
足,则函数的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9. 定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有,且当x>0时,0 (1)判断f(x)的单调性; (2)设, ,若,试确定a的取值范围。 解:(1)在中,令,得,因为,所以。 在中,令 因为当时, 所以当时 而 所以 又当x=0时,,所以,综上可知,对于任意,均有。 设,则 所以 所以在R上为减函数。 (2)由于函数y=f(x)在R上为减函数,所以 即有 又,根据函数的单调性,有 由,所以直线与圆面无公共点。因此有,解得。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数 概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量 表示原自变量x 的代数式,从而求出 ()f x , 这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1:已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+= --∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法:在已知 (())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求 ()f x .此解法简洁,还能进一步复习代换法。 例2:已知 33 11()f x x x x +=+,求 ()f x 解:∵ 22211111 ()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+ ≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1) 3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++,则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下: 指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 抽象函数补充练习题 1.已知函数)12(+x f 的定义域为()+∞,1,求)(x e f 的定 义域_________. 2.设函数)(x f 满足()01(2)(≠=-x x x f x f ,求)(x f 的值域____________. 3.已知定义在R 上的函数)(x f 在区间()2,∞-上单调递减,在区间()+∞,2上单调递增,求)lg (x f -的单调增区间____________和单调减区间_____________. 4.已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减,0)2(=f ,则 0)1(>-x f 的解集为_____________. 5.若偶函数)(x f 在()+∞,0上是减函数,且0)2(=f ,则不等式 0) ()(>-+x f x f 的解集为____________. 6.已知)(x f 是定义在()1,1-的奇函数,且)(x f 在[)1,0上是减函数,如果0)32()2(>-+-m f m f ,那么实数m 的取值范围为____________. 7.已知函数)(x f 定义域为R 且在R 上是增函数, ()()2,3,2,0B A -是其图像上的两点,那么2 )1(<+x f 的解集为______________. 8.已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 的奇函数,且在()∞+,0上为增函数,0)2(=-f ,则不等式0)( 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____. 分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-,∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25) x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2 (25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14 x > .∴x 的取值范围是1 4 ?? + ??? , ∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解:由题意可得2 16 0x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 令2 6x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2 061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数的值域是[)01, . 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 整理:河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 指数函数习题精选精讲 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____. 分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则3 21x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵22 25(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14x >.∴x 的取值范围是14??+ ??? ,∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 令26x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴206 1x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数的值域是[)01, . 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x >0时,f(x)>1,且对任意的a 、b∈R,有f(a+b )=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x ) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x )>1>0,当x <0时,-x>0,f (-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x1)>0,x 2-x1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f (x 1) ∴f(x )在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x2 +3x)又1=f (0), f(x)在R上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在 R 上有定义,对任意的,x y R ∈有 ()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠ (1)求证:()f x 为奇函数 (2)若(1)(2)f f =, 求(1)(1)g g +-的值 解(1)对x R ∈,令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u )-g(v)f(u )=f(u-v)=-[f(u )g (v )- g(u)f(v )]=-f(x) ? ? ?? ? (2)f(2)=f{1-(-1)}=f (1)g (-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f (1){g (-1)+g(1)}抽象函数习题精选精讲
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