正多面体外接球面上点的性质
正多面体外接球面上点的性质
福建福清三中 王钦敏
本文已发表于《中学数学》
文［1］、［2］分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质．本文就这类问题再行讨论．
为引申问题方便起见，我们用如下证法替代文［1］、［2］对下面的性质1、2的证明方法．
性质1 正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值．
证明 如图1，设正六面体ABCD －D C B A ''''的棱长为a ，外接球心为O ，P 为外接球面上任意一点．
显然，正六面体的对角线D B '通过球心Ｏ，故?='∠90PD B ．因此，在△PD B '中有
22223a D B DP P B ='=+' ①
同理可得
2223a AP P C =+'； ②
2223a BP P D =+'； ③
2223a CP P A =+'；
④ 将①、②、③、④相加得
22222222212a CP BP AP DP P A P D P C P B =++++'+'+'+'
性质２ 正四面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和为定值．
证明 由于在图１中，三棱锥AC D B '-'与三棱锥D C A B ''-都是正四面体，故欲证性质２，仅须证
222226a CP AP P D P B =++'+' ⑤
其中a 保持性质１中的原义．连结C B '，设其中点为O ，连结BP 、CP 、P C '、P B '和P O '．
在△PC B '中，利用三角形中线长公式得
)(22222C O P O CP P B '+'=+'；
同理，在△C BP '中有
)(22222C O P O P C BP ''+'='+．
因C O C O ''=',
故2222P C BP CP P B '+=+'；
同理可得 2222P A DP AP P D '+=+'.
将上面两式相加，利用性质１的结论可得结论⑤．
这里给出的新证法比原证法来得简洁且连贯．其中性质１的证法具有普遍性，由于正八、十二、二十面体的对角线均通过其外接球心，故用与性质１的证法相同的方法可证得
性质３ 正八、十二、二十面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和均为定值．
下面我们来证明极为有趣的
性质４ 正八面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和四次方和以及六次方和均为定值．
证明 如图２，为正八面体F ABCD E --外接球面上任一点，正八面体的边长设为a ，其中心为O ．
连结EO 、CO 、DO 、EP 、CP 、DP 和OP ．设
1θ=∠EOP ,2θ=∠COP ,3θ=∠DOP ．则
1θπ-=∠FOP ,2θπ-=∠AOP ,3θπ-=∠BOP ．又因EO 、CO 与DO 三线两两
垂直，
故1cos cos cos 322212=++θθθ．
易求得EO ＝CO ＝DO ＝OP ＝
a 22． 在△EOP 中使用余弦定理可得
)cos 1(cos 2121222θθ-=?-+=a EO OP EO OP EP ．
同样地，可以得到
)cos 1(222θ-=a CP ;
)cos 1(322θ-=a DP
)cos 1(122θ+=a FP
)cos 1(222θ+=a AP
)cos 1(322θ+=a BP
由以上各式通过计算可得
;62222222a FP EP DP CP BP AP =+++++
;84444444a FP EP DP CP BP AP =+++++
.126666666a FP EP DP CP BP AP =+++++
证毕．
采用与文［2］相类似的方式，可证得
性质５ 正八面体外接球面上任一点，
到各棱中点的距离的平方和为定值，到各面
中心的距离的平方和为定值．
性质４启发我们得到
性质６ 正六面体外接球面上任一点，
到各顶点距离的四次方和与六次方和均为定值．
证明 如图３，分别以正六面体
D C B A ABCD ''''-的中心为原点，以过
中心O 且平行于棱AB 的直线为x 轴，以平行于棱的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为2a ，通过计算，即可知正六面
体外接球面上任一点到各顶点距离的四次方和为定值3844a ;到各顶点距离的六次方和为定值34566a ．
由于在性质6的证明中，图形上三棱锥D B C A ''-是正四面体，故可知
性质7 正四面体外接球面上任一点到各顶点距离的四次方和为定值．
从性质7可以得
推论 O 为正四面体BCD A -的中心，P 为正四面体外接标面上任一点，设OP 与OA 、OB 、OC 、OD 所夹的角分别为1θ、2θ、3θ、4θ，则
0cos cos cos cos 4321=+++θθθθ；
3
4cos cos cos cos 42322212=+++θθθθ． 其证法参照性质4的证明．参考文献
1 胡耀宗．正四面体外接球面上点的有趣性质．中学数学，1994，8
2 高峰．正方体钼接球面上点的有趣性质．福建中学数学，1995，5
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连 1 线垂直于弦的性质，确定球心. 二：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为 a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3 ）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得 2 a R=； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中 点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得a R 2 2 =。（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角 面 1 AA作截面图得，圆O为矩形C C AA 1 1 的外接圆，易得a O A R 2 3 1 = =。 2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a，O也是球心）内切球半径为：6 r a = 外接球半径为：a R 4 6 = 三：常见题型 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 图1 图2 图3
专题 多面体的外接球问题
专题 多面体的外接球问题 一、考点分析： 有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积： 3 4 13球、V R π= 224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等(R ) 2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型： (一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题） 例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是 111120ABC A B C -∠1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（ ） (二)对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱； A A 1 C 1B B C 1 A
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d = . ∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一 . 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =. 寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球 心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . C D A B S O 1 图3
(完整版)立体几何多面体与外接球问题
1 立体几何多面体与外接球问题 1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 2、一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____. 3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2,3，则此球的表面积为_____ 4、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( ) A .16π B .20π C.24π D .32π 5、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9 答案 C 7、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______. 9、 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π D.6π 10、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 11、 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?, 可得BC =由正弦定理,可得ABC ? 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '? 中，易得球半径R = 为2 420R ππ=. 12、正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 答案 8 13、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．
多面体外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧
，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两 两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R，则有2R= 变式1： 变式2：三棱锥O ABC -中，,, OA OB OC两两垂直，且
多面体的外接球半径的几种求法
多面体外接球半径常见的几种求法 白维亮 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直
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简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点 . ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点 . ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点 . ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 . ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心 . 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥 . ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥 . ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体 . ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体 . 3.由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O 1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性 质，确定球心 . 二、典型例题 1、已知点 P 、 A 、B 、C 、D 是球 O 表面上的点， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边 长为 2 3 的正方形 .若 PA 2 6 ，则 OAB 的面积为多少 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面 积为多少 3 、已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上 .若 PA, PB , PC 两两互 相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为多少 4、三棱锥 S ABC 中， SA 平面 ABC ， SA 2 ， ABC 是边长为 1 的正三角形，则其 外接球的表面积为多少 5、点 A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上， AB BC 2，AC 2 ，若四面体 ABCD 体 积的最大值为 2 ，则这个球的表面积为多少 3 6 、四面体的三组对棱分别相等，棱长为 5, 34, 41 ，求该四面体外接球的体积 . 7 、正四面体 ABCD 外接球的体积为 4 3 ，求该四面体的体积 . 8、若底面边长为 2 的正四棱锥 P ABCD 的斜高为 5 ，求此正四棱锥外接球的体积 . 9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 8
简单多面体的外接球问题优秀教案
1 简单多面体的外接球问题 【学习目标】 能求简单多面体的外接球半径。 【问题】 1.什么是多面体的外接球？ 2.外接球的球心有什么特点？ 一、棱柱的外接球问题 【思考1】正方体的外接球球心在哪里？外接球半径是多少？长方体呢？ 答案： 2223122 a a b c ++例1．直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，求该三棱柱的外接球半径。 答案：132 【思考2】如果底面是“边长为6的等边三角形”呢？ 答案：43 例2．右图是某空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图是矩形，俯视图是等腰三角形，求该几何体的外接球半径。 13 例3．正六棱柱所有棱长均为1，求它的外接球的体积。 答案：555,26 R V = = 【思考3】是不是所有的棱柱都有外接球？ 二、棱锥的外接球问题 班级 姓名 C 1 A 1 B 1 C B A 4 4 22 22 正视图 侧视图 俯视图
2 例4．已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA 垂直于底面ABC ，若2,3,3AB AC PA ===，且AB AC ⊥，求该三棱柱的外接圆半径。 答案：2 【变式】右图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是直角三角形，俯视图是一个等腰直角三角形， 若该几何体外接球的表面积为6π，则正视图中三角形的高x =（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 答案：D 【思考4】如果底面是“边长为2的等边三角形”呢？ 答案：63 例5．正四棱锥V ABCD -的底面是边长为22的正方形，侧棱长为4， 求该四棱锥的外接球半径。 答案： 43 3 【思考5】 （1）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为22”呢？ （2）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为6”呢？ 答案：（1）2；（2） 32 【变式】右图是某多面体的三视图，其中正视图和侧视图是棱形， C A B P 正视图 3 3 侧视图 1 x 正视图 侧视图 俯视图
多面体外接球半径常见的几种求法
多面体外接球半径常见的几种求法
多面体外接球半径常见的几种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 263,1,2936,38 x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离3 2 d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43 V π∴= 球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有 2416x =，解得2x =. ∴222222426,6R R =++=∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，3则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱3锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()2 2 2 2 23339R =++=.∴ 294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2222R a b c =++.
多面体与外接球的三种题型
多面体与外接球的三种题型 题型一（直接找直径） 1、在三棱锥 S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。 2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。 题型二（作轴截面构造Rt △） 1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。 2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。 题型三（补形法） 1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为 2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。 3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。 23⊥3233⊥⊥2
4、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为 5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。 题型四（割补法） 1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若 在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。 2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。 3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。 2219⊥2⊥⊥
专题 多面体的外接球问题讲课教案
专题多面体的外接 球问题
专题 多面体的外接球问题 一、考点分析： 有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积： 3 4 13球、V R π= 224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等(R ) 2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型：
(一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题） 例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是 111120ABC A B C -∠o 1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2， BAC=，则此球的表面积等于（ ） (二)对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱； ()22222222 222222 22 228 a b x x y z x y z b c y R a b c R a c z ?+=?+++++=?=++= =??+=? 222第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程， 例3：三棱锥A-BCD 中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为（ ） （三）墙角模型（三条两两垂直的棱） 解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可： A 1 C 1 B B C 1 A C B D A
简单几何体外接球半径的求法及答案
简单几何体外接球半径的求法 一、补成正方体或长方体型 有三维垂直的条件或者正四面体或者三对相对棱分别相等的三棱锥。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度 2，则其外接球半径为。 分别为3，5，2 2，则其外接球表面积为。 2、正四面体棱长为2 3、已知三棱锥A-BCD的三对相对棱分别长为5 , 13， 10 , 则其外接球表面积为。 二、补成圆柱型 底面有外接圆的直棱柱都可以补成圆柱求外接球半径。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA垂直于底面ABC， 120，PA=3， AB=BC=2，∠B=0 其外接球表面积为。 2、三棱锥P-ABC中，PC垂直于底面ABC，
AB=3，BC=23，∠B=060， 其外接球表面积为π28，则PC=。 三、正棱锥型 外接球球心在正棱锥高所在直线上，在直角三角形中求解。 练习：1、如图，正三棱锥A-BCD 底面边长BC=6，高AH=8，则其 外接球表面积为。 2、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为112 ，则其外接球表面积为。 四、面面垂直型 找出互相垂直的这两个面的外心21,O O ，分别过21,O O 作所在平面的垂线21,l l ，21,l l 的交点即为外接球的球心。在直角三角形中求外接球的半径。 练习：1、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ和PBC Δ都是边长为6的正三角形， 则其外接球半径为。
2、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为BC 的直角三角形，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 3、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为AB 的直角三角形，AC=4，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 4、四棱锥P-ABCD 中，面PBC 垂直于面ABCD ，其中PBC Δ都是边长为6的正三角形，底面ABCD 是矩形， AB=8，则其外接球半径为。
(完整版)立体几何多面体与外接球问题.doc
立体几何多面体与外接球问题 1、若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 2、一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 ____. 3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2,3 ，则此球的表面积为 _____ 4、一个四棱柱的底面是正方形, 侧棱与底面垂直 , 其长度为 4, 棱柱的体积为16, 棱柱的各顶点在一个球面上 , 则这个球的表面积是( ) A .16 π B.20 π C.24π D.32 π 5、正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1 ∶ 3 B. 1∶ 3 C. 1∶ 3 3 D. 1∶ 9 答案 C 7、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱 的表面积为cm2. 答案 2 4 2 8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是______. 9、一个正四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一个球面上, 则此球的表面积为 ( ) A. 3π B.4 π C.3 3 π D.6 π 10、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正 三棱锥的体积是（） A．3 3 B ． 3 C ． 3 D ． 3 4 3 4 12 11、直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ，则此球 的表面积等于。 解 :在ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得BC 2 3 ,由正弦定理,可得ABC 外接圆半径r=2, 设此圆圆心为O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径R 5 ，故此球的表面积为4 R2 20 . 12 、正三棱柱ABC A1 B1C1内接于半径为2 的球，若A, B 两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为． 答案8 13、如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是________． 1
多面体外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见的求法
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多面体外接球半径常见求法 知识回顾: 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。３、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上,且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式2 2 2 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例２ 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为1６,则这个球的表面积是 Ａ.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧
棱长均为3，则其外接球的表面积是． 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其 外接球的半径为R，则有222 =++. 2R a b c 变式1：
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法word版本
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =
多面体的外接球半径常见求法
多面体的外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体 的。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体 的。 球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关 系：． 球的表面积表面积S＝；球的体积V＝． 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底 8面周长为3，则这个球的体积为 . 小结本题是运用公式222 =+求球的半径的，该公式是求球的半 R r d 径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、寻求轴截面圆半径法 例3 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都 S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的 体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为332π ，则该三棱柱 的体积为 C D A S O 1 图3
四、确定球心位置与球心在截面上的投影 例4：三棱锥P ABC ?是边长为2的正三角形，PA⊥底-中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为（） 21 A．2 B．5C．2 D． 3 变式1：三棱锥P ABC ?中AB=3，BC=4，AC=5 PA⊥底 -中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为 变式2：三棱锥P ABC ?中AB=4，BC=5，AC=6 PA⊥底 -中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为 变式3：已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O的表面积为 . 五、补形法 例5 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心得确定 一、知识点总结 1。由球得定义确定球心 ⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、 ⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、 ⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点. ⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、 ⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形,则公共斜边得中点就就是其外接球得球心. 2、构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥。 ⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥。 ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体。 ⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。 3.由性质确定球心 利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结 1、设正方体得棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(３)与棱相切得球半径、 (1)截面图为正方形得内切圆,得; (２)与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。 (3)正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得、 2、正四面体得外接球与内切球得半径(正四面体图1 图2 图3
棱长为,也就是球心) 内切球半径为: 外接球半径为: 三:常见题型 1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为４,体积为16,则这个球得表面积就是 解析:本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、 补形法 2。若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是 . 解析:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥 补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径.设其外接球得 半径为,则有. ３.正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上,则此球得体积 为、 解析:寻求轴截面圆半径法 4.在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为( ) 解析:确定球心位置法 四:练习 1、已知点、就是球表面上得点,平面,四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少? 2、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少？ ３、三棱锥中,平面,,就是边长为１得正三角形,则其外接球得表面积为多少? ４、点在同一个球得球面上,,,若四面体体积得最大值为,则这个球得表面积为多少？ 5、四面体得三组对棱分别相等,棱长为,求该四面体外接球得体积。 6、正四面体外接球得体积为,求该四面体得体积. ７、若底面边长为2得正四棱锥得斜高为,求此正四棱锥外接球得体积、 8、一个六棱柱得底面就是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,
多面体与球的内切和外接常见类型归纳
多面体与球的内切和外接常见类型归纳 在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生 的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下： 一．正四面体与球 如图所示，设正四面体的棱长为a ，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高SE=3 2 a,斜 高SD=4 3a ，OE=r=SE-SO ，又SD=BD,BD=SE-OE, 则在 r= a 126。R=SO=OB=a 4 6 特征分析： 1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球 心为同一个。 2． R=3r. r= a 126 R=a 4 6 。此结论可以记忆。 例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则 此球的表面积为（ ） 分析：借助结论，R= a 46=4 6 2= 2 3 ,所以S=42R π=3π。 2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是 C
（ ） 分析：借助R=3r ，答案为9：1。 二、特殊三棱锥与球 四个面都是直角三角形的三棱锥。 SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形，面, 因为SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，球心落在SC 的中点处。所以R= 2 SC 。 三．正方体与球。 1．正方体的外接球 即正方体的8个定点都在球面上。 关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角 面。设正方体的边长为a ，则AB=2a ，BD=2R ， AD=a ， R= 2 3 a 。 C 2． 正方体的内切 球。 （1）与正方体的各面相 切。如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。 R=2 a （2）与正方体的各棱相切。 C B D B A
立体几何多面体与外接球问题专项归纳-
立体几何多面体与外接球问 题专项归纳- -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
立体几何多面体与外接球问题专项归纳 1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是() A.16π B.20π C.24π D.32π 2、一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为() A.3π B.4π C.33π D.6π 3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
4.一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为() A.3π B.4π C.33π D.6π
1、答案:C 解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球 的半径R .所以球的表面积是S =4πR 2=24π. 2、答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于 球,正方体棱长为1,则体对角线长等于球的直径,即2R 所以S 球=4πR 2=3π. 3、解 将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a ,球的半径为R ,则根据长方体的对角线性质,得(2R )2=a 2+a 2+(2a )2,即4R 2=6a 2. 所以R . 从而V 半球=2π3R 3=3 2π3?????3, V 正方体=a 3. 因此V 半球∶V 正方体3∶a 3∶2. 4 答案:A
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心的确定 一.知识点总结 t由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心長上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到? ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形, 则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2.构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体.三条侧棱两两垂宜的正三棱锥、四个面都是宜角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体? ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂宜，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心0与截面圆圆心q的连线垂直于截面圆及球心0与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心? 常见几何体的外接球小结 K设正方体的棱长为"，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。 ⑴截面图为正方形￡心的内切圆，得"即 (2＞与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图, 附为正方形EFGH的外接圆，易得看亍 (3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5,以对角面必I作截面图得，圆0 Ji 为矩形A4,C,C的外接圆，易得R = AQ = + 厶
D1 IVi — 厂 01 :「 < -D /J J 2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为"，0也是球心） 1?已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是 解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 2.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是 解析：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂亶，且其长度分别为b 、C,则就可以 将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径?设其 外接球的半径为R,则有2/^ = y/a-+b-+e-. C1 内切球半径为: 12 外接球半径为: 三：常见题型 图3