【技术】颜色矩阵应用和公式总结
颜色矩阵应用
作者声明
本文大部分都是自己测试所得的结果,前面的颜色基础多半是摘自百度百科里面的,还有更多的色彩方面的一些专业术语就不多加介绍了,颜色是感性的,我们可以用数字描述它，但是却要通过眼睛感受它的美丽.
所以推荐大家多多测试一下,就是了.
夜色之下--2012/7/8
前言
颜色矩阵的使用是十分简单而直观的,功能是十分强大的,有很多功能都是imagetint和greyscale所不能实现的,本文会介绍颜色矩阵总结的公式,并且简单的介绍一些色彩的概念.
好吧,我们先了解一下一些,RM中要知道的色彩的一些基本概念吧!
色彩基础
色相
色相是色彩的首要特征，是区别各种不同色彩的最准确的标准。事实上任何黑白灰以外的颜色都有色相的属性，而色相也就是由原色、间色和复色来构成的。色相，色彩可呈现出来的质的面貌。自然界中各各不同的色相是无限丰富的，如紫红、银灰、橙黄等。色相即各类色彩的相貌称谓。
色调
色调指的是一幅画中画面色彩的总体倾向，是大的色彩效果。在大自然中，我们经常见到这样一种现象：不同颜色的物体或被笼罩在一片金色的阳光之中，或被笼罩在一片轻纱薄雾
似的、淡蓝色的月色之中；或被秋天迷人的金黄色所笼罩；或被统一在冬季银白色的世界之中。这种在不同颜色的物体上，笼罩着某一种色彩，使不同颜色的物体都带有同一色彩倾向，这样的色彩现象就是色调。
灰度
灰度使用黑色调表示物体。每个灰度对象都具有从0%（白色）到
灰度条
100%（黑色）的亮度值。使用黑白或灰度扫描仪生成的图像通常以灰度显示。
所谓灰度色，就是指纯白、纯黑以及两者中的一系列从黑到白的过渡色。我们平常所说的黑白照片、黑白电视，实际上都应该称为灰度照片、灰度电视才确切。灰度色中不包含任何色相，即不存在红色、黄色这样的颜色。灰度共有256级
一般，像素值量化后用一个字节（8b）来表示。如把有黑-灰-白连续变化的灰度值量化为256个灰度级，灰度值的范围为0~255，表示亮度从深到浅，对应图像中的颜色为从黑到白。黑白照片包含了黑白之间的所有的灰度色调，每个像素值都是介于黑色和白色之间的256种灰度中的一种。
对比度
对比度指的是一幅图像中明暗区域最亮的白和最暗的黑之间不同亮度层级的测量，差异范围越大代表对比越大，差异范围越小代表对比越小，好的对比率120:1就可容易地显示生动、丰富的色彩，当对比率高达300:1时，便可支持各阶的颜色。但对比率遭受和亮度相同的困境，现今尚无一套有效又公正的标准来衡量对比率，所以最好的辨识方式还是依靠使用者眼睛。
对比度是最白与最黑亮度单位的相除值。因此白色越亮、黑色越暗，对比度就越高。
对比度对视觉效果的影响非常关键，一般来说对比度越大，图像越清晰醒目，色彩也越鲜明艳丽；而对比度小，则会让整个画面都灰蒙蒙的。高对比度对于图像的清晰度、细节表现、灰度层次表现都有很大帮助。
有两种提高对比度的方法：
1.提高白色画面的亮度。
2.让黑色更黑，降低最低亮度，这个也许有些不好理解，首先，需要知道控制液晶显示
器光线的明暗变化，是不可能通过发光灯管开、关来实现的，而液晶又是不能做到100%不漏光的，所以即使调整至纯黑画面，液晶显示器还是会有一些亮度的。这是个分母、分子的问题，分子小了对比度自然就高了。
亮度
亮度是指发光体（反光体）表面发光（反光）强弱的物理量。人眼从一个方向观察光源，在这个方向上的光强与人眼所“见到”的光源面积之比，定义为该光源单位的亮度，即单位投影面积上的发光强度。亮度的单位是坎德拉/平方米（cd/m2）亮度是人对光的强度的感受。它是一个主观的量。与亮度不同的，由物理定义的客观的相应的量是光强。这两个量在一般的日常用语中往往被混淆。
简而言之, 亮度(lightness)是颜色的一种性质，或与颜色多明亮有关系的色彩空间的一个维度。
饱和度
饱和度可定义为彩度除以明度，与彩度同样表征彩色偏离同亮度灰色的程度。注意，与彩度完全不是同一个概念。但由于其代表的意义与彩度相同，所以才会出现视彩度与饱和度为同一概念的情况。
饱和度是指色彩的鲜艳程度，也称色彩的纯度。饱和度取决于该色中含色成分和消色成分(灰色)的比例。含色成分越大，饱和度越大；消色成分越大，饱和度越小。
RM中总结的颜色矩阵公式
基本声明
声明一下,本文里面假定颜色矩阵生效前的任意一个像素的RGBA值分别为,R,G,B,A.生效后分别为,r,g,b,a. 颜色矩阵对背景色无效就是solidcolor,必须对图片使用，另外说一下的是颜色矩阵每一个值大小不局限于-1到1之间,比如你可以是m11=4或者其他的都是可以的。
颜色矩阵是对一个个像素进行控制,每一个像素都包含有RGBA这四个分量,因而通过控制他们我们可以实现很多的效果.比如说实现alpha白,aplha白就是将某个颜色分量的透明度a 设置一下,比如设置为0那么这个颜色就不可见了,就是透明的.这个是用imagetint和geryscale实现不了的,比如说纯色的实现等等.总之利用颜色矩阵可以实现大部分ps对于色彩的控制效果.
还有不一定每次非要写5行来表示你的颜色矩阵,自己通过下面的学习灵活运用下就是了.
(颜色的缩放,旋转,削减,偏移这些就不扯了,本文只想诠释直观的实用颜色矩阵)
颜色矩阵基本定义:
颜色颜色的参数是由5*5的矩阵表示的,用来改变相应的meter=image类型的meter 的指定的image图片的色彩表达方式用的，默认的矩阵如下:
ColorMatrix1=1; 0; 0; 0; 0
ColorMatrix2=0; 1; 0; 0; 0
ColorMatrix3=0; 0; 1; 0; 0
ColorMatrix4=0; 0; 0; 1; 0
ColorMatrix5=0; 0; 0; 0; 1
主对角线上的值,从左上到右下,依次是.红，绿，蓝，alpha,和一个占位符，0.0表示的是none，1.0表示的是正常,矩阵中允许一种颜色的值来修改另外一种颜色(比如:红色的值可能有蓝色值的一半),最后一行(ColorMatrix5),这个偏移量会直接添加给颜色( 比如:colormatrix=0.5;0;0;0;1那么红色的值就增加了50%)
占位符是神马呢?这个你不用做太多理解,实际上占位符没有什么实际的含义,你可以理解为占个位置你发现上面矩阵是5*5的,如果没有占位符就会变成5*4的了,可能在颜色矩阵内在运算的时候就引入了占位符这个概念,在RM里面写法是固定的.你不要改就是了
颜色矩阵规范式
R G B A V
m11 m12 m13 m14 m15
m21 m22 m23 m24 m25
m31 m32 m33 m34 m35
m41 m42 m43 m44 m45
m51 m52 m53 m54 m55
综合公式:
r=R*m11+G*m21+B*m31+A*m41+m51*255
g=R*m12+G*m22+B*m32+A*m42+m52*255
b=R*m13+G*m23+B*m33+A*m43+m53*255
a=R*m14+G*m24+B*m34+A*m44+m54*255
负运算
前面就是只有对角线有值的情况下面
b的负运算值为b=B*m33=64*(-1)=192,但是加上了一个削减量和偏移量这个值会发生变化,比如加上0.1的偏移，这个问题有两个解决方案:
(1).缩放后值192的基础上面加上偏移量0.1*255等于218
(2).做连续的运算,b=B*m33=64*(-1)+255*0.1=-38(饱和处理后大小为0)
Colormatrix的方案使用的是(2)
亮度，对比度和饱和度的实际矩阵
Brightness Matrix Contrast Matrix Saturation Matrix
(亮度矩阵) (对比度矩阵) (饱和度矩阵)
R G B A W R G B A W R G B A W
R [1 0 0 0 0] R [c 0 0 0 0] R [sr+ssrsr 0 0]
G [0 1 0 0 0] G [0 c 0 0 0] G [ sgsg+ssg 0 0]
B [0 0 1 0 0] B [0 0 c 0 0] B [ sbsbsb+s 0 0]
A [0 0 0 1 0] A [0 0 0 1 0] A [ 0 0 0 1 0]
W [b bb 0 1] W [t tt 0 1] W [ 0 0 0 0 1]
b = brightness
c = contrast s = saturation
t = (1.0 - c) / 2.0 sr = (1 - s) * lumR
Legend sg = (1 - s) * lumG
R = red sb = (1 - s) * lumB
G = green
B = blue lumR = 0.3086 or 0.2125
A = alpha lumG = 0.6094 or 0.7154
W = white lumB = 0.0820 or 0.0721
亮度矩阵其实是一个RGB分量的简单的表达矩阵
对比度矩阵是一个由RGB分量值缩放的矩阵,对于矩阵的一个额外的参数的用途是转移基础色调(当c=0的时候),从黑到灰.
饱和度矩阵重新调整RGB颜色的分配,在s=0的时候,R=G=B=luminance brightness（亮度）表示的是灰度的亮度层级.
(声明一点的是,无论是神马矩阵,归根结底都是颜色矩阵,只是表现的方式不同,起到的作用不同而已,所谓的亮度,对比度,和饱和度矩阵是总结出来的矩阵,是一种经验使然的矩阵)
亮度，对比度和饱和度矩阵相乘之后的矩阵
R G B A W R G B A W R G B A W
R [1 0 0 0 0] R [c 0 0 0 0] R [sr+ssrsr 0 0]
G [0 1 0 0 0] G [0 c 0 0 0] G [ sgsg+ssg 0 0]
B [0 0 1 0 0] X B [0 0 c 0 0] X B [ sbsbsb+s 0 0]
A [0 0 0 1 0] A [0 0 0 1 0] A [ 0 0 0 1 0]
W [b bb 0 1] W [t tt 0 1] W [ 0 0 0 0 1]
Brightness Matrix Contrast Matrix Saturation Matrix
R G B A W
R [c(sr+s) c(sr) c(sr) 0 0 ]
G [ c(sg) c(sg+s) c(sg) 0 0 ]
===>B [ c(sb) c(sb) c(sb+s) 0 0 ]
A [ 0 0 0 1 0 ]
W [t+bt+bt+b 0 1 ]
Transformation Matrix
那么我们只想对亮度进行控制,直接使用亮度矩阵就是了,复制亮度矩阵的表现形式,之后定义一个变量b，控制一下b的值就是了.同理我们可以这么使用其他的矩阵,其实都是颜色矩阵,不过相应控制的色彩表现是不同的.
亮度，对比度和饱和度矩阵使用范例
比如你可以设定几个变量在[variables]节点下
?Brightness = 0
?Contrast = 1
?Saturation = 1
之后编辑代码如下:
[Variables]
Brightness=-0.2
Contrast=1.2
Saturation=1.5
[b]
Measure=Calc
Formula=#Brightness#
[c]
Measure=Calc
Formula=#Contrast#
[s]
Measure=Calc
Formula=#Saturation#
[t+b]
Measure=Calc
Formula=((1.0-c)/2)+b
[c(sr)]
Measure=Calc
Formula=c*((1-s)*0.3086)
[c(sg)]
Measure=Calc
Formula=c*((1-s)*0.6094)
[c(sb)]
Measure=Calc
Formula=c*((1-s)*0.0820)
[c(sr+s)]
Measure=Calc
Formula=c*(((1-s)*0.3086)+s)
[c(sg+s)]
Measure=Calc
Formula=c*(((1-s)*0.6094)+s)
[c(sb+s)]
Measure=Calc
Formula=c*(((1-s)*0.0820)+s)
[Image]
Meter=IMAGE
ImageName=cats.jpg
ColorMatrix1=[c(sr+s)];[c(sr)];[c(sr)];0;0
ColorMatrix2=[c(sg)];[c(sg+s)];[c(sg)];0;0
ColorMatrix3=[c(sb)];[c(sb)];[c(sb+s)];0;0
ColorMatrix4=0;0;0;1;0
ColorMatrix5=[t+b];[t+b];[t+b];0;1
DynamicVariables=1
那么你就可以通过控制相应的变量从而控制我们想控制的图片的亮度,对比度和饱和度了。说明一下的是如果对比度为0就是c=0的时候,那么就没有色相了,那时候可以利用b控制灰度的层级,0表示纯灰.c<0的时候是纯黑.c>0的时候就情况多了。
颜色矩阵实现greyscale
先看下面代码:
[Variables]
Saturation=0
[sr]
Measure=Calc
Formula=(1-s)*0.3086
[sg]
Measure=Calc
Formula=(1-s)*0.6094
[sb]
Measure=Calc
Formula=(1-s)*0.0820
[sr+s]
Measure=Calc
Formula=((1-s)*0.3086)+s
[sg+s]
Measure=Calc
Formula=((1-s)*0.6094)+s
[sb+s]
Measure=Calc
Formula=((1-s)*0.0820)+s
[image]
meter=image
imagename=1.png
x=200
ColorMatrix1=[sr+s];[sr];[sr];0;0
ColorMatrix2=[sg];[sg+s];[sg];0;0
ColorMatrix3=[sb];[sb];[sb+s];0;0
ColorMatrix4=0;0;0;1;0
ColorMatrix5=0;0;0;0;1
DynamicVariables=1
这个就相当于greyscale，相当灰度显示我们就应该想到饱和度,那么我们单独使用饱和度的矩阵就可以灰度显示了（但是不能调整灰度级别(亮度)和对比度）, 我们只需要将饱和度设定为0就是了
在亮度,对比度和饱和度使用范例里面也可以实现去色效果实现灰度显示,你只需要将饱和度设定为了,就行了,其他的你可以通过设定亮度和对比度实现一些其他效果,这里就不说了,自己去多弄弄.
或者你了解一些综合式的运算,那么你只需要将:
ColorMatrix1=m11:m12:m13;0;0
ColorMatrix2=m21;m22;m23;0;0
ColorMatrix3=m31;m32;m33;0;0
这个矩阵里面设定为,m11=m12=m13 m21=m22=m23 m31=m32=m33 就是了,之后通过对各行值的不同设定实现灰度级别的更改.不过推荐亮度,对比度和饱和度使用范例,用这个的控制简单直观一点.
Imagetint深入分析
情况一:单独使用imagetint
先声明一下imagetint的格式:
Imagetint=R’,G’,B’,A’,在这里透明度aplha设定A’就不讨论了
公式有:
r=R/255*R’g=G/255*G’b=B/255*B’
( 另外说明一下,R’,G’,B’的取值有效范围在-255到255,不过可以不考虑-255到0之间的区域,因为这部分功能用0-255这个区间就可以实现.自己试试就知道了)
情况二:使用imagetint+greyscale
这里面又要分两种情况:
1.R’,G’,B’只有一个不为0的情况
有公式:
r=R*2* R’/255
g=G*2* G’/255
b=B*2* B’/255
2.R’,G’,B’有至少两个不为0的情况
这里面又有两种情况:
(1).R’不为零
r=R*2*R’/255
g=R*2*G’/255
b=R*2*B' /255
(2).R’为零
r=0
g=G*2*G’/255
b=G*2*B' /255
颜色矩阵实现imagetint
直接上公式:
m11=R’/255
m22= G’/255
m33= B’/255
比如:
[image14]
meter=image
imagename=1.png
y=300
x=200
imagetint=127.5,127.5,127.5
[image15]
meter=image
imagename=1.png
y=300
x=300
ColorMatrix1=0.3921;0;0;0;0
ColorMatrix2=0;0.3921;0;0;0
ColorMatrix3=0;0;0.3921;0;0
ColorMatrix4=0;0;0;1;0
ColorMatrix5=0;0;0;0;1
上面是等同的.
那么就是说颜色矩阵实现imagetint的表现形式是:
ColorMatrix1= R’/255;0;0;0;0
ColorMatrix2=0; G’/255;0;0;0
ColorMatrix3=0;0; B’/255;0;0
ColorMatrix4=0;0;0;1;0
ColorMatrix5=0;0;0;0;1
至于怎么实现imagetint+greyscale自己参照上面的自己试试就是了.
尾声
正如上面所描述的一样,相信大家已经知道颜色矩阵的相对于imagetint和greyscale的强大之处了.本文都是经过自己的测试所得到的总结.难免有所纰漏,还望各位爱好者能够不吝赐教.利用颜色矩阵你可以做得更多.
总结求矩阵的逆矩阵的方法
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快 捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成
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两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a -
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线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式
⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
数学三角函数公式大全
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
反三角函数公式(完整)
反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π，上的反函数，叫做反余弦函数。记作x cos arc ，表示一个 余弦值为x 的角，该角的范围在]0[π，区间内。定义域]11[， - ， 值域]0[π，。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π，上的反函数，叫做反余切函数。记作x arc cot ，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在)0(π，区间内。定义域R ，值域)0(π，。
反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π
x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系
加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ?? ?? x ′＝ax ＋by ， y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换 称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?? ?? ?? a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]??????b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵???? ? ? a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律， 不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ?? 1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝?? ?? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变 换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ?? k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝?????? 1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ?? x 2y 2，规定 向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λM α，②M (α＋β)＝M α＋M β. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
逆矩阵的几种常见求法
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
总结求矩阵的逆矩阵的方法
总结求矩阵的逆矩阵的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数 研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素 在矩阵中的位置。比如，或表示一个 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称 为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶
矩阵秩重要知识点总结_考研必看
一． 矩阵等价 行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示 Case1：向量b r 能由向量组A 线 性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示 充要条件： R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示 充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E) 三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一. （3） R(A)=R(A,B) 高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 反三角函数公式 反三角函数图像与特征 1 ： 反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用 A →B 表示，并称矩阵B 与A 是等价的. （下面我们把）第i 行和第j ， ”；把第i 行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”. 例如，矩阵 A = ????? ?????321321321c c c b b b a a a ???? ? ?????321 3 21321 c c c a a a b b b ???? ??????32 1 321321c c c b b b a a a ???? ? ?????32 1321321 kc kc kc b b b a a a ???? ? ?????32 1 321321 c c c b b b a a a ??? ? ? ??? ??+++32 1 332 2113 21 c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即 ( A , I )初等行变换 ?→???( I , A -1 ) 例1 设矩阵 A = ???? ? ?????--23 2 311111 ③k ①，② ②+①k 求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→ 三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；高中三角函数公式大全
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