3.3二元一次方程组及其解法例题与讲解(2013-2014学年沪科版七年级上)
3.3 二元一次方程组及其解法
1．二元一次方程组 (1)二元一次方程
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy
＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2
x ＋
y ＝5中2
x
不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．
(2)二元一次方程组
①联立在一起的几个方程，称为方程组．
②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．
实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．
如下列方程组都是二元一次方程组：????
? x ＋5y ＝1，y －3＝0，?????
x ＝2，y ＝－3，?????
x －y ＝1，x ＋3y ＝9，
2x －y ＝4.
【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y
2
＝1；
④2????m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m
3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.
答案：D
【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．
A ．????? x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6
B ．?
????
x －y ＝1，x ＋y ＝4
C ．?
????
x ＋y ＝5，x ＝5
D ．???
x 2＋y
2
＝2y ，y ＝2
3x
解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.
答案：A
2．二元一次方程组的解
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如????? x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说?
????
x ＝12，y ＝5是二
元一次方程组?
????
x ＋y ＝17，
5x ＋3y ＝75的解．
谈重点 理解二元一次方程组的解
(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．
【例2】 二元一次方程组?
????
2x ＋y ＝2，①
－x ＋y ＝5②的解是( )．
A.?????
x ＝1
y ＝6 B.?????
x ＝－1
y ＝4 C.?
???? x ＝－3y ＝2
D.?
????
x ＝3y ＝2 解析：选项A ，将?????
x ＝1，
y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，
所以????? x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将????
?
x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6
＝4，右边＝4，左边＝右边，所以????? x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将?????
x ＝－1，y ＝4代入方程②得，
左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以?????
x ＝－1，
y ＝4是方程②的解，所以
????? x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组?????
2x ＋y ＝2，①
－x ＋y ＝5②
的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.
答案：B
3．代入消元法 (1)消元思想
二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
(2)代入消元法的概念
从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
解技巧 用代入法解二元一次方程组
(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．
(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．
(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；
②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；
④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解．
谈重点 运用代入法需注意的问题
运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．
【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.
解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝1
2
x －
3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .
答案：1
2
x －3 6＋2y
【例3－2】 解方程组?????
3x －5y ＝6，①
x ＋4y ＝－15.②
分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．
解：由②，得x ＝－15－4y ，③
把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，
把y ＝－3代入③，得x ＝－3.
所以原方程组的解是?
????
x ＝－3，
y ＝－3.
4．加减消元法
(1)加减消元法的概念
两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤
用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．
第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．
第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．
第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．
析规律 解二元一次方程组的方法
(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．
【例4】 解方程组：?
????
3x ＋2y ＝5，①
2x －y ＝8.②
分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．
解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21，
解得x ＝3.
把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8， y ＝－2.
所以原方程组的解是?
????
x ＝3，
y ＝－2.
5．解二元一次方程组的策略
解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．
解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．
(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．
(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．
【例5－1】 解方程组：?
???
?
3(x －1)＝y ＋5，5(y －1)＝3(x ＋5).
分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为?
????
3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．
解：原方程组化简，得 ?
????
3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.② ①＋②，得4y ＝28，y ＝7.
把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.
所以原方程组的解为?
????
x ＝5，
y ＝7.
【例5－2】 解方程组：?
???
?
53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②
分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．
解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③
于是原方程变为?
????
53x ＋47y ＝112，①
x ＋y ＝2，③
由③，得x ＝2－y ， ④
把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112，
106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，
所以原方程组的解为?
????
x ＝3，
y ＝－1.
6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：
(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．
例如????? x ＝1，y ＝1是方程组????? x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把?
????
x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b ＝0.
(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．
(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．
解技巧 用整体代入法解二元一次方程组 当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．
【例6－1】 已知2a y ＋3b 3x 和－3a 2x b 8－
2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.
解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x 和－3a 2x b 8－
2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x
＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组?
???
?
2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，
即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1
【例6－2】 已知????? x ＝2，y ＝1是方程组?????
2x ＋(m －1)y ＝2，nx ＋y ＝1
的解，则m ＋n 的值是__________．
解析：因为????? x ＝2，y ＝1是方程组?????
2x ＋(m －1)y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②
所以????
?
x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，
将?????
x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②， 可得?
????
4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④
由③和④可分别求出m ，n 的值为?
????
m ＝－1，n ＝0.
所以m ＋n ＝－1＋0＝－1.
答案：－1
【例6－3】 已知方程组????? ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组?
????
3x －y ＝5，
4x －7y ＝1的解相同，求a ，b 的值．
解：解方程组?????
3x －y ＝5，4x －7y ＝1得????? x ＝2，y ＝1.把?????
x ＝2，y ＝1 代入方程组?????
ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得?????
2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，
解这个方程组，得?????
a ＝52，
b ＝1.
7．求二元一次方程的正整数解
任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．
析规律 注重实际问题中的隐含条件
生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．
【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)．
用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y
3
，
当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1.
原方程所有的正整数解为 ?
???? x ＝1，y ＝7，????? x ＝6，y ＝4，?????
x ＝11，y ＝1. 答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题
(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．
(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．
【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得?
????
x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280. 解这个方程组，得?
????
x ＝960，y ＝360.
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．
最新沪科版七年级数学下册：分式方程
9.3分式方程 一、教学目标 1、了解分式方程的概念，能够区分分式方程与整式方程。 2、经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，初步了解分式方程产生增根的原因，并掌握验根的方法。 3、在探究分式方程解法的过程中，培养学生发现问题、解决问题的能力，体会数学的类比思想。 4、通过师生合作、生生合作培养学生的合作意识，体会成功感。 二、教学重难点 教学重点：分式方程的概念及解法 教学难点：去分母及增根产生的原因 三、教学方法 类比法 、自主探究法、精讲法 四、教学过程 （一）温故知新 1、什么是一元一次方程？ 2、判断下列方程是不是一元一次方程？ 3、（2） (4)（6）三个方程有什么共同之处？ 25 105161213242212522-=-++=---+=+x x y x x x x )()()(1 5235321314 3211=+-+=--=+)()()()(x x x x x
设计意图：通过对一元一次方程概念的回顾，帮助学生快速进入学习状态，同时经过对比发现分式方程的本质特征：分母中含有未知数。 （二）探究新知 1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、小游戏：将8个方程进行分类，帮他们找到自己的家。 3、勇于尝试：你会解 吗？你能从 的解题过程中获取一些灵感解出分式方程吗？ 设计意图：在未学习分式方程解法时，大多数学生不知如何下手，产生疑问。此时教师给出大家所熟悉的一元一次方程，同学们都会解，在回忆一元一次方程的解法过程中，学生会发现两个方程都含有分号，可以类比的解。从而得出解分式方程的关键是去分母。 4、合作交流 你能为下列方程去分母吗？ 用自己的语言概括如何去分母？ 设计意图：这三个方程难度依次加大，（2）中的两个分母互为相反数，需要通过改变符号变为同分母的分式，（3）应首先对分母进行因式分解，在经过小组讨论后学生得出去分母就是讲方程两边同乘以最简公分母。 12 325-+=+x x 32121x x =-+251051)3(13132)2()2)(1(311) 1(2-=++-=--+-=--x x x x x x x x x
二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)(1)
二元一次方程组常见题型
二元一次方程组应用题 （分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？ 解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人 题中的两个相等关系： 1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数 可列方程为：x-9= 2、抽5人后到甲工厂的人数=
可列方程为： （行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米 题中的两个相等关系： 1、同向而行：甲的路程=乙的路程+ 可列方程为： 2、相向而行：甲的路程+ = 可列方程为： （百分数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？ 解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人 题中的两个相等关系： 1、现在城镇人口+ =现在全市总人口 可列方程为： 2、明年增加后的城镇人口+ =明年全市总人口 可列方程为：（1+0.8％）x+ = （分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个 题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+ 可列方程为： 2、萍果总数= 可列方程为：
（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？ 解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。题中的两个相等关系：1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量= 可列方程为：10%x+ = 2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量= 可列方程为：x+y= （金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？解：设每千克售4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克 题中的两个相等关系： 1、每千克售4.2元的糖果销售总价+ = 可列方程为： 2、每千克售4.2元的糖果重量+ = 可列方程为： （几何分配问题）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米 题中的两个相等关系： 1、小长方形的长+ =大长方形的宽 可列方程为： 2、小长方形的长=
正数和负数练习题及答案
正数和负数 1．如果向南走5米，记作+5米，那么向北走8米应记作___________．【解】－8米 2．如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作____________．【解】－5℃ 3．海拔高度是+1356m ，表示________，海拔高度是-254m ，表示______．【解】超出海平面1356m ，低于海平面254m 。 4．一种零件的内径尺寸在图纸上是30±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸______毫米，最小不低于标准尺寸______毫米． 【解】－30.05；29.95 5．6，2005，212 ，0，-3，+1，41-，-6.8中，正整数和负分数共有…〖 〗【解】C A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 6．把下列各数分别填在相应的大括号里： +9，-1，+3，312-，0，213-，-15，4 5，1.7． 正数集合：{+9，+3， 45 ，1.7 …}， 负数集合：{ -1 312- 213- -15 …}． 7．如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，得分90分和80分应分别记作_________________________．【解】＋7；－3 8．如果把+210元表示收入210元，那么-60元表示______________．【解】支出60元 9．粮食产量增产11％，记作+11％，则减产6％应记作______________． 【解】－6% 10．如果把公元2008年记作+2008年，那么-20年表示______________．【解】1988年 11．如果向西走12米记作+12米，则向东走-120米表示的意义是___．【解】向西走120米。 12．味精袋上标有“500±5克”字样中，+5表示_____________，-5表示____________． 【解】不超过5克；不低于5克。 13．测量一座公路桥的长度，各次测得的数据是：255米，270米，265米，267米，258米．(1)求这五次测量的平均值；【解】263米； (2)如以求出的平均值为基准数，用正、负数表示出各次测量的数值与平均值的差； 【解】－8，7，2，4，－5 14．甲、乙两人同时从A 地出发，如果甲向南走50m 记为+50m ，则乙向北走30m 记为什么?这时甲、乙两人相距多少米？【解】－30m ；80m 15．张大妈在超市买了一袋洗衣粉，发现包装袋上标有这样一段字条：净重：800±5g ．张大妈怎么也看不明白是什么意思．你能给她解释清楚吗？
二元一次方程组的应用教学案例
从平时自测与正规考试分析，有的题型我们教师讲过，甚至几乎一模一样，但是学生仍然不会。学生存在“知其然，不知其所以然”现象。这是因为在备课时，我们往往只习惯于备教学内容，而忽视备学生。如果教师不去研究学生对所教内容的掌握情况，不去研究学生的个体差异，一切从本本出发，课堂教学的适切性就会大打折扣，课堂教学的高效更无从谈起。 案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题。 （一）提出问题，导入新课 1、问题1 解二元一次方程组 问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？ 解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。 由题意得 26+x=3x 解法二：设母亲的年龄为x岁。 由题意得 x=3（x－26） （二）精选讲例，探求新知 例某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？
巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。 （三）变式训练，激活学生思维 问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。 问题2 已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。 （四）课堂练习，巩固新知 1、A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B 地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲乙两人的速度。
(完整版)二元一次方程组试题及答案
第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________．
人教版初一数学下册解二元一次方程组导学案
8.2.2 加减消元法解二元一次方程组 学习目标： 用加减消元法解二元一次方程组. 学习重、难点： 消元的思想和方法 预习案 一．问题探究： 甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助.甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？ 二、探究讨论 我们知道，对于方程组 22 2 x y x y += ? ? += ? 可以用代入消元法求解. 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 导学案 1.问题的解决 上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 即x=18,把x=18代入①得y=4. 另外，由①－②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4. 2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 410 3.6 15108 x y x y += ? ? -=?
分析：这两个方程中未知数y 的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y ，从而求出未知数x 的值. 解：由①＋②得： _______ x= 5895 把x=5895 代入①得y=____________ ∴这个方程组的解为5895995x x ?=????=-?? 3.加减消元法的概念 从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以_______一个未知数，得到一个一元一次方程. 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 4.例题探究 用加减法解方程组34165633 x y x y +=??-=? 5.想一想 (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么? (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些? 练习案 1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法. (1) 32155423x y x y -=??-=? ,消元方法_________. (2) 731232m n n m -=??+=-?,消元方法_________. 2.用加减法解下列方程组:
二元一次方程组题型总结
二元一次方程组题型总结 类型一：二元一次方程的概念及求解 例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． （2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________． 类型二：二元一次方程组的求解 例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______． （4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 类型三：已知方程组的解，而求待定系数。 例（5）．已知???==1 2y x －是方程组???=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________． （6）．若满足方程组?? ?=-+=-6 )12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组? ??=++=-10)1(23 2y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。 若方程组?????=+=+52243y b ax y x 与?????=-=-524 3y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。 类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法． 例（7）．已知 2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12 1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组?? ???=+=+=+63432 3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______． 练习：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c = 。 由方程组?? ?=+-=+-0 4320 32z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1） 说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解． 当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。 类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．
正数和负数经典例题
1．正数、负数的概念： （1）大于0的数叫做，小于0的数叫做． （2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数． 2．正数和负数的表示方法： 一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为的．正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如5、7、 50、+14200等；负的量用小学学过的数前面放上“–”（读作负）号来表示，如–3、– 8、–47、–4745等． 3．正数和负数的意义： （1）正数和负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量．为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为的．负数是根据实际需要产生的． （2）描述一堆具有的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，盈利与亏损，收入与支出等． 4．注意： （1）小学学过的数，除了0以外，都是，在学习时为了简便把“+”都省略了． （2）用正数和负数表示相反意义的量时，规定哪种意义的量为正是可以任意选定的（如将上升2米规定为+2米或–2米都可以），一旦选定一种意义的量为正，则另一种相反意义的量就只能为． （3）带有“+”号的数不一定是正数，带有“–”号的数不一定是负数．如+（–2）是，–（–5）是． （4）0的意义：①小学学习了0可以表示；②现在我们知道，0比任何都小，比任何都大，0是正数和负数的分界点，因此0还常用来表示某个量的基准，如0°C不能理解为没有温度，而是温度中的一个值，也是零上和零下的分界点，在物理学中，0°C表示冰的熔点，0°C常用来作为计量温度的基准． （5）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”
二元一次方程组教学案例
二元一次方程组教学案 惠州市惠港中学郑志勇 教材、学生简析： 本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上进行的，它是一元一次方程的一种延伸和拓展.同时它又是本章用方程组解决实际问题的开篇.因此，本节课在教材中起着承上启下的作用. 在七年级上学期，学生学习了一元一次方程，并能够运用方程解决部分实际问题.经过一学期训练，学生的合作交流意识已经有显著提高.另外，七年级学生具有好奇心强、爱发表见解和注意力易分散等特点，对生活中的数学有较强的求知欲，但缺乏理性的认识和有效探究方法. 教学目标： 1.知识与技能： 理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，会检验一对数是不是它们的解. 2. 过程与方法： （1）在对一元一次方程已有认识的基础上学习二元一次方程实现从一元到多元的转化，使学生学会用类比的方法迁移知识. （2）在解决问题的过程中，体会方程是刻画现实世界的一个比较有效的模型，进而感受方程思想．初步体验用二元一次方程组解决实际问题的优势. 3. 情感态度与价值观： （1）通过问题情景，使学生明白数学学习来源于生活，学习数学是为了解决实际问题，进一步认识数学与生活的密切联系。 （2）通过探究学习，增强发现问题、解决问题的意识，养成合作交流的习惯，使学生在数学学习活动中感受到学习的快乐. 教学重难点： 1.重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。 2.难点：二元一次方程组解的理解和应用。 教学方法及教学手段： 教法：遵循以学生为本的原则，我采用情景教学法及活动探究法教学。 学法：引导学生采取讨论、交流、观察、类比、猜想的学习方法。 教学手段：采用多媒体教学，直观形象地创设情景，激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高课堂效率。用游戏作载体，使学生在游戏中愉快学习数学知识。 教学过程： 一、创设情境，引入新课：
《用代入法解二元一次方程组》教学案例
《用代入法解二元一次方程组》教学案例 一、教材分析 《代入法解二元一次方程组》是选自人教版《义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册》第八章《二元一次方程组》中的第2节内容，这节课的主要内容是用代入法解二元一次方程组，是在学生学习了一元一次方程后，又一次数学建模思想的教学，培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是为今后学生学习三元一次方程组，二元二次方程组、函数奠定基础。通过实际问题中二元一次方程组的应用，进一步增强学生学习数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义。 二、设计理念 《新课程标准》所主张的教育理念是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。我以建构主义理为指导，在教学过程中，以探究为主线，通过设置带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，引导学生思考、讨论，让学生亲身体验知识的产生过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。我也将采用多种形式诱导学生及时作出反馈，并利用学生的反馈信息，因势利导，及时调控教学进程，把教与学有机地统一在一
个最佳的程序之中，使课堂教学收到满意的效果。考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，提高课堂效率，我采用了多媒体辅助教学。
三、教学目标 知识与能力：体会消元的思想，会用代入法解二元一次方程组。过程与方法：引导学生通过观察、类比、对比、探索等活动，感受从已知知识中探求解决问题的过程，初步体验化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强解决问题的能力。 情感态度价值观：通过学生的自主探索活动，培养学生从已有知识出发探究新知的能力，激发他们自主创新、合作交流的热情，同时渗透化归的数学美的思想。 四:教学重点、难点 教学重点：会用代入法解简单的二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义。 教学难点：消元法的导入、“化归”思想的渗透。 四、教学过程 （一）温故知新
沪科版分式方程教案
§9.3 分式方程（第一课时） 授课班级：七（1） 授课地点：录播室 授课人：陈先宏 一、教学目标 1．使学生理解分式方程的意义． 2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 3．了解分式方程解的检验方法． 二、教学重点和难点 1．教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 2．教学难点：检验分式方程解的原因 3．疑点分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学方法 启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法． 四、教学手段： 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 五、教学过程 (一)复习引入 1．提问：什么叫一元一次方程？解一元一次方程的步骤是什么？ 答：含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程．解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 2.解方程：16 3242=--+x x (二)新知探索 为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列车运行速度；在相距1600km 的两地之间运行一列车，速度提高25﹪后，运行时间缩短了4h ，你能求出列车提速前的速度吗？)(vt s =
观察如下三个方程，找出其相同点： （1）3000150009000+=x x （2）4160016004 5=-x x （3）2050004800+=x x 总结出分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程（fractional equation ）．以前学过的方程都是整式方程． 1、判断下列各式哪个是分式方程． (1) 21-=x (2)22 =-x x (3)1214112-=+--x x x (4)05432=---x x 在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母． 2、探究活动 活动1. 解方程 41600160045=-x x 解：方程两边同乘以5/4 x ，得 2000—1600＝5x 解得 x ＝80 检验：把x ＝80代入上述分式方程检验： 左边=右边—==?480 600180160045，所以x=80是原分式方程的解。 活动2. 解方程 23132--=--x x x 解：方程两边同乘以（x －3），得 2－x ＝-1-2(x-3) 解得 x ＝3 把x ＝3代入检验时，方程中分式的分母为零，分式无意义，所以x=3不是原分式方 程的解，原分式方程无解。 x ＝3是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根 像x ＝3这样的根，称为增根.解分式方程时可能产生增根，所以必须验根. 验根的方法：通常只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零.使它不为零 的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去 .
消元解二元一次方程组教案
§8.1.2用代入消元法解二元一次方程组 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）会用代入法解二元一次方程组。 （2）能体会“代入法”解二元一次方程组的基本思路。 2、过程与方法： （1）通过代入消元，使学生初步了解把“未知”转化为“已知”，和把复杂问题转化为简单问题的思想方法。 （2）培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较为简单的方程进行变形。 3、情感与态度： （1）训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。 （2）通过本节课的学习，渗透化归的数学思想。 二、教学重点与难点 1、重点： 用代入消元法解二元一次方程组 2、难点： （1）消元的思想。 （2）探究如何用代入法将“二元”化为“一元” 三：教学过程设计 1、创设情境
问题：在1500年前，《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题，那就是雉 兔同笼问题，它是这样描述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问雉兔几何？把它翻译成现代汉语也就是说有若干只鸡和兔子同在一个笼子里， 从上面数，有35个头，从下面数，有九十四只脚，问鸡和兔子分别有多少只？ 2、新课引入 我们昨天已经初步学习二元一次方程组，所以对于上面的问题，我们知道可以用 二元一次方程组来解决。下面请大家自己在本子上列式，正好检验昨天大家是否 认真听课了，也请一个同学来帮帮老师列式： 解：设鸡有x 只，兔有y 只。 依题意得： ???=+=+9442 35y x y x 由①可得x -=35y 把③带入②中得 94x -354x 2=+）（ 解得23x = 把23x =带入③中得12y = 所以原方程的解为? ??==12y 23 x 3、新课讲解 （1）带入消元法：上面的解法，是把二元一次方程组中的一个方程的一个未知 数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求 得这个二元一次方程组的解，这种方法就叫做代入消元法，简称代入法。 （2）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数， 那么就把二元一次方程组转换为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个 未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决问题
二元一次方程组中常见的题型
二元一次方程组中常见的题型： 1、已知方程1024211=+--n m y x 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。 变式：已知方程()()023812=++--+m n y n x m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。 2、已知???==5 3y x 是方程22-=+y mx 的一个解，求m 的值。 变式1：已知???==1 2y x 是方程组???=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，求()2015n m +的值。 3、若x 、y 的二元一次方程组?? ?=-=+k y x k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，求k 的值。 变式1：若x 、y 的二元一次方程组?? ?=+=+6325y x k y x 的解也是二元一次方程k y x 9=-的解，求k 的值。 变式2：已知方程组???=--=+1653652y x y x 与方程组???-=+-=-8 4ay bx by ax 的解相同，求a 、b 的值。 变式3：已知方程组?? ?-=--=+4652by ax y x 与方程组???-=+=-81653ay bx y x 的解相同，求a 、b 的值。 变式4：已知方程组?????-=-+=-+=-22540253z by ax z y x y x 与方程组?? ???-=+=++=+-43258y x c z y x z by ax 的解相同，求a 、b 、c 的值。 4、某同学解方程组? ??-=+=+1321by ax by ax 时，因将第二个方程中的求知数y 的系数的正负号看错，解得???==1 2y x ，试求a 、b 的值。 变式1：甲、乙两人共同解关于x 、y 的方程组? ??-=-=+24155by x y ax ，由于甲看错了第一个方程中的a ，得到方程组的解为???-=-=13y x ；乙看错了第二个方程中的b ，得到方程组的解为???==4 5y x ，
(完整版)1.1正数和负数练习题
1.1正数和负数练习题(7.11) 1.如果气温上升3度记作+3度，下降5度记作-5度，那么下列各量分别表示什么？ （1）+5度；（2）-6度；（3）0度. 2.向东走-8米的意义是（） A.向东走8米 B.向西走8米 C.向西走-8米 D.以上都不对 3.某水库的平均水位为80米，在此基础上，若水位变化时，把水位上升记为正数；水库管理员记录了3月～8月水位变化的情况（单位：米）：-5，-4，0，+3，+6，+8.试问这几个月的实际水位是多少米？ 4．如果收入15?元记作+?15?元，?那么支出20?元记作________元. 5.某食品包装袋上标有“净含量385±5”，?这包食品的合格净含量范围是______克～300克. 6.下列说法正确的是（） A.正数和负数统称有理数 B.0是整数但不是正数 C.0是最小的数 D.0是最小的正数 7.下列不是具有相反意义的量是（） A.前进5米和后退5米 B.节约3吨和消费10吨 C.身高增加2厘米和体重减少2千克 D.超过5克和不足2克 8.某商店一周的收入、支出情况如下表 运用你学的知识，给商店简单的记一笔帐.
9.写出5个数，同时满足三个条件：（1）其中3个数属于非正数集合；（2）其中3个数属于非负数集合；（3）5个数都属于整数集合. 10.孔子出生于公元前551年，如果用-551年表示，则李白出生于公元701年可表示为安___________. 11.一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想. （1）±10%的含义是什么？ （2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格； （3）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，?该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 12.比-1小的整数如下列这样排列 第一列第二列第三列第四列 -2 -3 -4 -5 -9 -8 -7 -6 -10 -11 -12 -13 -17 -16 -15 -14 ………… 在上述的这些数中，观察它们的规律，回答数-100将在哪一列.
《二元一次方程组》案例分析
《二元一次方程组》案例分析 情景实录： 片段一：创设情境 教师：观察右图，你知道笼子里的鸡和兔 各有多少只（学生摇摇头）那么，老师 给你们一些提示.（多媒体展示问题） 今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何 ； 教师：请语文课代表把这一题的意思翻译一下. 学生：有一群鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数鸡头和兔头共35个，从下面看鸡脚和兔脚共94只，问鸡和兔各是多少 教师：根据实际问题列方程的关键是找相等关系，你能找到相等关系吗 学生（异口同声）：能. 学生：鸡的只数+兔的只数=35. 教师：还有吗 学生（异口同声）：鸡的只数×2+兔的只数×4=94. 教师：有几个未知数，如何设未知数 学生1：有两个未知数，分别是鸡的只数和兔的只数.可以设鸡x 只、兔y 只. 教师：根据题意，可以得到什么方程可以将相等关系中的未知量，换成x 、y. 《 学生2：x+y=35； 2x+4y=94. 评析：回顾两个二元一次方程的列出过程，学生按照教师设计好的程序，先找相等关系，再设未知数，最后列方程.整个过程没有停顿，十分流畅，列方程的目的顺利达成，为下一环节引出课题做好准备.反思这个过程，学生被教师“牵”着，完成了列方程的任务，不知学生的收获有多少是否获取了解决问题的经验 片段二：引出课题，生成概念 教师（板书这两个方程）：x 、y 表示什么意义 学生（异口同声）：x 表示鸡的只数，y 表示兔的只数. 教师：鸡的只数x 和兔的只数y 必须同时满足这两个方程，把这两个方程合起来，可以得到方程组.（用大括号把两个方程括起来）像这样，含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.（板书课题：二元一次方程组并用多媒体展示二元一次方程组的定义.） 议一议： 1、填空：含有 的 组成的方程组叫做二元一次方程组. 2、根据定义，判断下列方程组是不是二元一次方程组. ^ （1） (2) (3) (4) {1n -2m 32m n ==+{62y -x 3z y ==+{1x 52y x ==+{3n m 5 n m 2=+=+
沪科版七年级数学分式方程 应用题
沪科版七年级数学分式方程应用题 行程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。 1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？ 2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度 5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
6、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？ 水流问题 1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度 2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 3、某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。 其他问题 1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？ 2、一个正多边形的每个内角都是172度，求它的边数N应满足的分式方程。
二元一次方程组应用题 分类总结
二元一次方程组应用探索 二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下： 一、数字问题 例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数． 分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示： 解方程组 109 101027 x y x y y x x y +=++ ? ? +=++ ? ，得 1 4 x y = ? ? = ? ，因此，所求的两位数是14． 点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之． 二、利润问题 例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？ 分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10. 解方程组 0.920% 0.810 x y y x y -= ? ? -= ? ，解得 200 150 x y = ? ? = ? ，
二元一次方程组教教学案例
二元一次方程组教学设计 在学习二元一次方程组时，有这样一道题： “5.12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区。若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶。 （1）每条成衣生产线和每条童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？ （2）工厂满负荷全面生产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？ 同学们经过充分思考后，给出了不同的解答： （学生1） 解：设每条成衣生产线每天生产帐篷x顶，每条童装生产线每天生产帐篷y 顶，根据题意，得 x+2y=105 2x+3y=178 x=41 解得 y=32 答: 每条成衣生产线每天生产帐篷42顶, 每条童装生产线每天生产帐篷32顶. (学生2) 解:因为178—105=73(顶)105—73=32(顶)73-32=41(顶) 所以每条成衣生产线每天生产帐篷41顶, 每条童装生产线每天生产帐篷32顶. 当两位同学说完自己的解法后,同学们立即展开了激烈的讨论,有的同学说,学生1的解法符合题目的要求,用列方程组的方法解答,不容易出错; 有的同学说,学生2的解法简单,一目了然,可以口算出答案,而且还可以锻炼人的思维等等.经过一番激烈的点评之后,我都给予他们充分的肯定.
第一个问题刚讨论完,我就发现有一位平时学习不太好的同学把手举得高高的,急于要说话,我点头示意,他站起来后说,工厂满负荷全面转产,也不能够如期完成任务.如果我是厂长,我会动员工人加班生产,给他们多加工资,好早完工,支援灾区人民.听到这儿,我的心一颤,一位多有爱心的学生,多有社会责任感.想到这儿,我赞许地点了点头,表扬了这位同学,接下来,其他的同学都各抒己见,有的说,改进技术,提高效率;有的说,可以联系其它厂家支援等等. 课堂气氛十分活跃,学生以主人的地位参与评价,对自己的学习状况有比较全面客观的了解,能够进行反思与调控,并相应地改变自己的学习方式,其主体意识大大增强.一堂充满生机活力的课,一位位可爱的学生令人高兴,在这节课上,我给学生的评价是:你们都是好样的! 我认为,在教学中应引导学生积极地参与评价,这样既能培养学生勇敢自信的品质,又能锻炼学生分析判断问题的能力,从而使学生的主体意识进一步确立.
(完整)二元一次方程组题型汇总,推荐文档
二元一次方程组题型归类 题型一概念题： 1．方程2x m ＋1＋3y 2n ＝5是二元一次方程，则m ＝______，n ＝______． 2．下列各式中，是关于x ，y 的二元一次方程的是( )． (A)2x －y (B)xy ＋x －2＝0 (C)x －3y ＝－1 (D)02=-y x 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )． (A)???=-=+.31, 52x y x (B)???? -==-y x y x 423,1)(2 (C)? ??==+.1,122y y x (D)?????=-=.2,1y x x y 4．已知(k －2)x ｜k ｜－1－2y ＝1，则k ______时，它是二元一次方程；k ＝______时，它是一元 一次方程． 5、已知2a y ＋5b 3x 与b 2－4y a 2x 是同类项，那么x ，y 的值是( )． (A)? ??=-=.2,1y x (B)???-==.1,2y x (C)?? ????-==53,0y x (D)???==.0,7y x 题型二：消元思想 1．如果???==2 ,1y x 是二元一次方程3mx －2y －1＝0的解，则m ＝______． 2．若? ??==2,1y x 是方程组???=+=-3,0by x y ax 的解，则a ＝______，b ＝______． 3．若二元一次方程组?? ?=---=-043,1y nx y mx 的解中，y ＝0，则m ∶n 等于( )． (A)3∶4 (B)－3∶4 (C)－1∶4 (D)－1∶12 4．已知关于x ，y 的二元一次方程组? ??=+=+23,4y nx my x 的解是???-==,3,1y x 求m ＋n 的值． 5．已知???-==1 ,2y x 是二元一次方程mx ＋ny ＝－2的一个解，则2m －n －6的值等于_______．
正数和负数练习题(含答案)
第一章有理数 1.1 正数和负数 1．一个月内，小丽的体重增长–1千克，意思就是这个月内 A．小丽的体重减少–1千克B．小丽的体重增长1千克C．小丽的体重减少1千克D．小丽的体重没变化2．如果运入仓库大米10吨记为+10吨，那么运出大米8吨记为A．–8吨B．+8吨 C．–10吨D．+10吨 3．下列各数：5，?5 6 ，0.56，–22.5， 22 7 ，+3，–0.2，0.001．其中负数的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 4．若收入6元记作+6元，则支出10元记作 A．+4元B．–4元C．+10元D．–10元 5．钱塘江水库水位上升5cm记作+5cm，则水位下降3cm记作 A．–2 B．2cm C．–3cm D．3cm 6．一辆汽车向南行驶8千米，再向南行驶–8千米，结果是 A．向南行驶16千米B．向北行驶8千米 C．回到原地D．向北行驶16千米 7．春节联欢晚会上，导演要求小品的演出时间应为（14±2）分钟，下面4次排练所用的时间中不符合要求的是 A．13分钟B．14分钟 C．15分钟D．17分钟 8．下面是具有相反意义的量的是 A．向东走5m和向北走3m B．上升和下降 C．收入100元和支出50元D．长大1岁和减少3千克
9．水位上升3米，记做+3米，水位下降2米，记作__________；如果运进粮食3吨记作+3吨，那么–4吨表示__________． 10．吐鲁番盆地低于海平面155米，记作–155米，南岳衡山高于海平面1900米，则衡山记作__________米． 11．用正数和负数表示下列各量： （1）零上24°C表示为__________°C，零下3.5°C表示为__________°C． （2）足球比赛，赢2球可记作__________球，输1球可记作__________球． （3）如果自行车链条的长度比标准长度长2mm，记作+2mm，那么比标准长度短 1.5mm，记作__________mm． 12．七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作–5分，则小明同学得92分，可记为__________，李聪得90分可记为__________，程佳+8分，表示__________． 13．如表是国外部分城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻该城市比北京时间快的时数）：城市纽约巴黎东京芝加哥 时差/时–12 –6 +1 –12 如果现在北京时间是16：00，那么纽约时间是__________（以上均为24小时制）． 14．下列各对量中：①向东行2千米与向南行3千米；②胜3局与负2局；③气温上升3°C与气温为–3°C； ④增长2%与减少3%．其中具有相反意义的量有对． A．1 B．2 C．3 D．4 15．下列说法中：（1）带正号的数是正数，带负号的数是负数；（2）任意一个正数，前面加上负号就是一个负数；（3）0是最小的正数；（4）大于0的数是正数．其中正确的是 A．（1）（2）B．（2）（4） C．（1）（2）（4）D．（3） 16．物理竞赛成绩100分以上为优秀，老师将其中三名同学的成绩以100分为标准记为：+10，–6，0，这三名同学的实际成绩分别是__________．