圆内接四边形习题

圆内接四边形

一 、引入新课

1. 如图(1)，△ABC 叫⊙O 的____________三角形，⊙O 叫△ABC 的_ ____ _圆。

2. 如上图(1),若

的度数为1000

,则∠BOC=_______,∠A=__________.

3. 如图(2)四边形ABCD 中, 若∠B 与∠1互补,AD 的延长线与DC 所夹∠2=600

,则∠1=___,∠B=___.

二、探索交流

如图(3),四边形ABCD 的各顶点都在⊙O 上,所以四边形ABCD 是⊙O 的_____________四边形,

⊙O 叫四边形ABCD 的________________圆.

(1)如图3，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C,∠B 与∠D 分别是它的两组对角，∠A 所对的

弧是_______________, ∠C 所对的弧是________________.

（2）∠A 与∠C 所对的两条弧的度数之和是________________度，由此你发现∠A 与∠C 有怎样的

数量关系_______________，∠B 与∠D 呢_______________。

得到定理： ________________________ ___________________. （3）如右图，延长BC 到点E ，得到∠DCE, ∠DCE 是四边形ABCD 的一个 外角，∠A 称∠DCE 的内对角，它两个的大小有什么关系___________. 得到推论： __________________

三、练一练（一）

1、四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A+∠C=___________，∠B+∠ADC=____________;

若∠B=800

， 则∠ADC=___________ ∠CDE=___________(图1)、四边形AB CD 内接于⊙O ，∠BOD=1000，则∠BAD=___________，∠BCD=___________(图2)

3、梯形ABC D 内接于⊙O,AD ∥BC, ∠B=750

,则∠C=______________(图3)

2

1

E

D C

B

A

O

C B A

O

D

A

B

C

图3

图2

图1

O

E

D

C

B A

1题图

3题图

2题图

4、四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A:∠C=1: 3，则∠A=_______________,

5、圆内接平行四边形必为( )

A.菱形

B.矩形

C.正方形

D.等腰梯形 6、、在⊙O 中，∠CBD=30°, ∠BDC=20°,求∠A

四 、 练习

1、已知如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B=30°，则∠

D= _____ ． 2、已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD= 度．

3、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是AB 上两点，∠ADC=120°，则∠BAC 的度数是 度．

4、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD=110°，则∠BOD= 度．

5、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内OB 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为

6、如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是

7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C=36°，则∠A 的度数为

8、圆内接四边形ABCD 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：5，则∠D 等于 9、如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别 在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB 的度数为

1题图

3题图

4题图

5题图

6题图

7题图

10、如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23．

（1）求证：△CDE∽△CBA；

（2）求DE的长．

11、已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，

求证：

（1）四边形EFDC是平行四边形；

（2）弧CE = 弧DF

巩固加深

一、 选择题

1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有

①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. 个 个 个 个

2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 对 对 对 对

3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为

P

T2 T4 T5

4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB AB

a ∠==o

，则CD =

A.

3a B.2a C.12a D.13

a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有 对 对 对 对

6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为

A.

163 C.323

D.

D

T6 T7 T12

7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =

:1 :2 :1 D.以上结论都不对

8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = 二、填空题

9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .

12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=o

，则ADC ∠= . 三、解答题

13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o

，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.

14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ?=?+?.

15.在等边三角形ABC 外取一点P,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.

16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.

B

A

B

C

17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)求AC 和DB 的长； (2)求四边形

ACBD 的面积.

18.在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足. 求证：E 、B 、C 、F 四点共圆

.

B

C

19.如图，矩形ABCD 中，AD=8,DC=6,在对角线AC 上取一点O,以OC 为半径的圆切AD 于点E,交BC 于点F,交CD 于点G.

(1)求⊙O 的半径R ；

(2)设,BFE GED αβ∠=∠=，请写出,,90αβo

之间关系式，并证明.

(参考答案)

一、 选择题

1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题

9. 0 10.132

11.90o 12.110o

三、解答题

13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=??=o

在Rt 中， 1

2

AD AE DE ADE ACB AC AB BC ???

===∽ 法二：连接BE,?30ABE DE

∠=?o 的度数为60o 60DOE ?∠=o 即ODE ?为正? OD DE ?=

14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又

AE BC

ADE BDC AE BD AD BC AD BD

????=??=?∽ ①

1ADE ADB CDE ABD ACD ABD ECD

∠=∠?∠=∠∠=∠??又得∽

AB BD

BD EC AB CD EC CD

?

=?=?即 ② ①+②即可

15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，

则ADP ABP ABP ACD ????∠=∠?P 、A 、B 、C 四点共圆

16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=?= MDE DEM ?∠=∠

90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ?∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=o

17.(1)6,AC BD ==

A

C

(2)49ACB ADB ABCD S S S ??=+=四边形

18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥?∠+∠=+=o

o

o

?A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ?∠=∠?∠+∠

90180

BED DEF C DAF C =∠+∠+∠=+∠+∠=o

o

法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ?∠=∠ 9090AEF DEF DAF C ?∠=-∠=-∠=∠o

o

19.(1)1015

6104

OE AO R R AEO ADC R CD AC -???

=?=?=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠?+=o