伍德里奇《计量经济学导论》(第6版)复习笔记和课后习题详解-高级面板数据方法【圣才出品】

第14章高级面板数据方法

14.1复习笔记

考点一：固定效应估计法★★★★★

1．固定效应变换

固定效应变换又称组内变换，考虑仅有一个解释变量的模型：对每个i，有

y it ＝β1x it ＋a i ＋u it ，t＝1，2，…，T

对每个i 求方程在时间上的平均，便得到

＿y i ＝β1＿x i ＋a i ＋＿u i 其中，11T it t y T y

-==∑（关于时间的均值）。因为a i 在不同时间固定不变，故它会在原模型

和均值模型中都出现，如果对于每个t，两式相减，便得到

y it －＿y i ＝β1（x it －＿x i ）＋u it －＿

u i ，t＝1，2，…，T

或1 12it it it y x u ,t ,,,T

=+=&&&&&&L β其中，it it i y y y =-&

&是y 的除时间均值数据；对it x &&和it u &&的解释也类似。方程的要点在于，非观测效应a i 已随之消失，从而可以使用混合OLS 去估计式1 12it it it y x u ,t ,,,T =+=&&&&&&L β。

上式的混合OLS 估计量被称为固定效应估计量或组内估计量。

组间估计量可以从横截面方程＿y i ＝β1＿x i ＋a i ＋＿

u i 的OLS 估计量而得到，即同时使用y 和

x的时间平均值做一个横截面回归。如果a i与＿x i相关，估计量是有偏误的。而如果认为a i 与x it无关，则使用随机效应估计量要更好。组间估计量忽视了变量如何随着时间而变化。在方程中添加更多解释变量不会引起什么变化。

2．固定效应模型

（1）无偏性

原始的非固定效应模型，只要让每一个变量都减去时间均值数据，即可得到固定效应模型。

固定效应模型的无偏性是建立在严格外生性的假定下的，所以FE模型需要假定特异误差u it应与所有时期的每个解释变量都无关。对于非观测效应，则可以与模型中的解释变量相关。

（2）自由度

用混合OLS估计除时间均值的方程时，总共有NT个观测值和k个自变量（截距被固定效应变换消去了），而对于每一个横截面，在时间上取均值都会损失一个自由度，故N个个体要损失N个自由度，正确的自由度是df＝NT－N－k＝N（T－1）－k。

（3）拟合优度

根据组内变换计算的R2，应把它解释为y it的时间变异被解释变量的时间变异所解释的部分。

3．虚拟变量回归

对每个i估计一个截距，连同解释变量一起给每一个横截面观测（单位）安排一个虚拟变量（也许还给每个时期安排有虚拟变量）。这一方法常被称为虚拟变量回归。

虚拟变量法的特点：

（1）即使N还不是很大时，使用此法都会导致产生许多解释变量，以致在大多数情况下，解释变量多到无法进行回归的程度。因此，虚拟变量法对含有许多横截面观测（单位）的面板数据集来说不是很现实。

（2）它所给出的βj估计值与用除均值数据所做回归得到的估计值恰好一样，而且标准误和其他主要统计量也一样。因此，固定效应估计量可以由虚拟变量回归得到。

（3）可以直接算出恰当的自由度。

（4）从虚拟变量回归算出的R2通常都比较高。这是因为对每一横截面都包含一个虚拟变量，以至于能解释数据中的大部分变异。

（5）从虚拟变量回归得到的R2，可按通常方法用于计算F检验。

∧

a i的计算：

∧

a i＝＿y i－∧β1＿x i1－…－∧βk＿x ik，i＝1，2，…，N

4．是固定效应（FE）还是一阶差分（FD）

估计非观测效应模型的两种方法：一种是取数据的差分，一种是除时间均值。

两种方法的选择：

（1）当T＝2时，在估计相同的模型时，FE和FD的估计值及其全部检验统计量完全一样，故可随便选用一种。

（2）当T≥3时，FE和FD估计量便不相同。在混合OLS假定成立的条件下，二者都是无偏与一致的，对于较大的N和较小的T，FE和FD之间的选择关键在其估计量的相对效率，而这将由特异误差u it中的序列相关性决定。

表14-1选择FE或FD的不同情况

一个重要的理论事实是，FD估计量中的偏误不取决于T，而FE估计量中的偏误则以速度1/T趋于零。当FE和FD给出明显不同的结果时，通常在两者之间作出取舍就很困难。应同时报告两组结果并试图判断差异的原因所在。

5．非平衡面板数据的固定效应法

非平衡面板数据样本中缺少了部分横截面单位数据，在处理时，可以设T i为横截面单位i的时期数，用T i个观测去做除时间均值的运算。观测总数将是T1＋T2＋…＋T N。尽管除时间均值会失去一个自由度，但计量软件会做出适当的自由度损失调整。

考点二：随机效应模型★★★★★

1．随机效应模型

对于一个非观测效应模型：

y it＝β0＋β1x it1＋β2x it2＋…＋βk x itk＋a i＋u it①

引入一个截距项，假定非观测效应a i有零均值，且与每一个解释变量都无关：

Cov（x itj，a i）＝0，t＝1，2，…，T；j＝1，2，…，k

则方程①就成为一个随机效应模型。

理想的随机效应假定包括全部固定效应假定，再加上a i独立于所有时期中每一个解释

变量的假定。如果非观测效应a i会与任何一个解释变量相关，那么就是固定效应模型，应该对固定效应做一阶差分或者求组内均值。

2．参数的估计

a i与解释变量无关，可以用单个横截面一致的估计βj，但是只用单个横截面去估计就忽视了其他时期的许多有用信息。此外，利用混合OLS将y it对解释变量也许还加上时间虚拟变量做OLS回归，在随机效应假定下，也能得到βj的一致估计量，但误差项存在序列相关，如果定义复合误差项为v it＝a i＋u it，则式①可写为：

y it＝β0＋β1x it1＋β2x it2＋…＋βk x itk＋v it

由于a i在每个时期都是复合误差的一部分，所以不同时期的v it应该序列相关。在随机效应假定下：Corr（v it，v is）＝σa2/（σa2＋σu2），t≠s；其中，σa2＝Var（a i），σu2＝Var（u it）。误差项中这种（必然是）正的序列相关可能很大：由于通常的混合OLS标准误忽视了这种相关，所以不正确，从而通常用的检验统计量也不正确。

（1）用GLS解决序列相关性问题

假定有足够大的N和相对较小的T，面板为平衡面板。

定义λ＝1－[σu2/（σu2＋σa2）]1/2，它介于0与1之间。（由GLS求得的，参见Wooldridge （2002，Chapter10））。

于是，变换后的方程是：

y it－λ＿y i＝β0（1－λ）＋β1（x it1－λ＿x i1）＋…＋βk（x itk－λ＿x ik）＋（v it－λ＿v i）

它使用每个变量的准除均值数据。固定效应估计量从相应变量中减去其时间均值，而随机效应变换只减去其时间均值的一个比例，这个比例取决于σu2、σa2和时期数T。

GLS估计量就是变换后的方程的混合OLS估计量，变换方程容许考虑不随时间而变化

的解释变量，与固定效应或一阶差分模型相比，这是随机效应（RE）模型的一个优点。

（2）随机效应估计量

要得到随机效应估计量，必须先知道λ，实际上，参数λ是未知的，但又总是可以估计的，有很多种估计的方法。利用混合OLS 或固定效应做出估计：

∧λ＝1－{1/[1＋T（∧σa 2/∧

σu 2）]}1/2

其中∧σa 2是σa 2的一个一致估计量，而∧σu 2是σu 2的一个一致估计量。

这些估计量是根据混合OLS 残差或固定效应残差计算的，一种可能性是：()()112121???1/21N T T a

it is i t S t NT T k v v σ--===+=--+????∑∑∑其中∧v it 是用混合OLS 估计式y it ＝β0＋β1x it1＋β2x it2＋…＋βk x itk ＋v it 的残差。

可以通过

∧σu 2＝∧σv 2－∧σa 2来估计σu 2，其中∧

σv 2是从混合OLS 得到的通常回归标准误的平方。

有许多计量经济软件包都支持随机效应模型的估计，并自动计算某些形式的∧λ。用∧λ代替λ的可行GLS 估计量被称为随机效应估计量。在随机效应假定下，该估计量是一致（但不是无偏）的，并且相对固定的T，随着N 增大而渐近于正态分布。当N 小而T 大时，随机效应估计量的性质基本未知。

（3）随机效应相对固定效应的优点

在随机效应估计所用的变换方程中，误差赋予无法观测因素a i 的权数为（1－λ）。尽管a i 与一个或多个X itj 之间的相关导致随机效应估计中的不一致性，但这种相关已经被削弱到（1－λ）倍。随着λ→1，偏误项趋于零，因为RE 估计量趋于FE 估计量。若λ接近0，便在误差项中留下了非观测效应的更大比例，结果RE 估计量的渐近偏误也将更大。

3．随机效应还是固定效应

由于固定效应容许a i与X itj任意相关，而随机效应则要求a i与X itj不相关，估计其他条件不变效应，FE更有效。随机效应在某些特定情形中仍可适用。最明显的是，若关键解释变量不随着时间而变化，就不能用FE估计其对y的影响。

若使用随机效应，则在解释变量中将包含尽可能多的不随时间而变化的控制变量，此时RE通常更有效，所以RE比混合OLS更可取。

豪斯曼检验的原理：

Cov（a i，x itj）≠0，固定效应估计量是一致的，随机效应估计量是无效的；

Cov（a i，x itj）＝0，固定效应估计量是一致的，随机效应估计量是有效的。

豪斯曼检验思想：先用固定效应模型去估计所得到的面板数据再用随机效应模型去估计，若两个估计的结果相差很大，则选择固定效应模型；若两个估计的结果很接近，则选择随机效应模型。

确定是使用FE还是使用RE的关键问题是，是否能合理地假定a i与所有X itj都无关。把每个a i都看作每个横截面单位待估计的不同截距，就使用固定效应。

考点三：相关随机效应方法★★

如果把a i（非观测效应）合理地当作随机变量应用，就有了一个途径来允许a i与解释变量相关。在y it＝β1x it＋a i＋u it，t＝1，2，…，T中，可以对a i与{x it：t＝1，2，…，T}的相关关系建立模型。假设简单线性关系a i＝α＋γ＿x i＋r i成立，其中＿x i为时间均值，r i与所有的x it不相关，从而有Cov（＿x i，r i）＝0。将a i＝α＋γ＿x i＋r i代入到y it＝β1x it＋a i＋u it，t＝1，2，…，T中得到相关随机效应（CRE）方程：

y it＝β1x it＋α＋γ＿x i＋r i＋u it＝α＋β1x it＋γ＿x i＋r i＋u it

随机效应假设仍然成立，因此相关随机效应方程y it＝α＋β1x it＋γ＿x i＋r i＋u it与一般随机效应方程相比只是增加了时间平均变量以控制a i与解释变量的相关性。

如果对相关随机效应方程进行RE回归，则可以证明∧βCRE＝∧βFE，即相关随机效应估计值等于固定效应估计值，增加时间平均值并用随机效应估计与减去时间平均值并用混合最小二乘估计是相同的。CRE方程解释了为什么FE估计值通常较RE估计值不精确以及为什么FE无法估计不随时间变化的量：RE估计值假设了γ＝0从而避免了多重共线性，而FE存在多重共线性使得∧βFE方差增大，当x it不随时间波动时x it＝＿x i，从而有完全共线性，无法估计β。

考虑CRE方法的第一个原因是，它提供了一个简单、正式地选择FE和RE的方法。因为RE假设γ＝0而FE估计γ，而从CRE方程的RE估算值中可以得出∧γCRE和se（∧γCRE），所以可以做一个H0：γ＝0的t检验，如果拒绝H0则反对RE，支持FE。

考虑CRE方法的第二个原因是，它提供了在固定效应分析中包含不随时间变化解释变量的途径。在CRE方程中加入不随时间变化的量z i有y it＝α＋β1x it＋γ＿x i＋δz i＋r i＋u it进行RE估算，仍然可以得到x it的FE系数∧βFE。

考点四：把面板数据方法用于其他的数据结构★

对于存在聚类效应的模型，如果聚类效应与解释变量相关，一般使用FE估计；如果聚类效应与解释变量无关，使用RE估计更好。如果FE在某些条件下仍不能很好地解决相关性，可以采用混合OLS方法，但是在估计过程中应该使用聚类误差。

14.2课后习题详解

一、习题

1．假设（14.4）中的特异性误差{u it ：t＝1，2，…，T}序列无关且具有常方差σu 2。证明相邻差分?u it 和?u i，t＋1的相关系数为－0.5。因此，在理想的FE 假定下，一阶差分导致一个已知其值的负序列相关。

答：首先，假定{u t }无序列相关并且为常数方差，则对每个t＞1，有：

Var（?u it ）＝Var（u it －u i，t－1）＝Var（u it ）＋Var（u i，t－1）＝2σu 2

其次，相邻的?u it 和?u i，t＋1都存在零均值且无序列相关，故协方差为：

E（?u it ·?u i，t＋1）＝E[（u it －u i，t－1）（u i，t＋1－u it ）]＝E（u it u i，t＋1）－E（u it 2）－E （u i，t－1u i，t＋1）＋E（u i，t－1u it ）＝－E（u it 2）＝－σu 2

随着时间的变动，方差是恒定不变的，则

Corr（?u it ，?u i，t＋1）＝Cov（?u it ，?u i，t＋1）/Var（?u it ）＝－σu 2/（2σu 2）＝－0.5

2．包含单个解释变量，用于获得组间估计量的等式如下：

＿y i ＝β0＋β1＿x i ＋a i ＋＿

μi

其中上划线代表这一时期的平均值。由于等式中已经包括了一个截距项，我们可以假定E（a i ）＝0。假定＿μi 与＿x i 不相关，但对所有的t 值（因为截面数据中的随机抽样，对所有的i 值也符合），Cov（x it ，a i ）＝σm 都成立。（i）如果1

β 是组间估计量，即OLS 估计量使用时间平均值，证明()11plim /Var m i

x ββσ=+ 其中，概率极限定义为N→∞。[提示：参见式（5.5）和（5.6）。]

（ii）进一步假定对于所有的t＝1，2，…，T，x it 与常数方差σx 2不相关，证明()211plim /m x

T ββσσ=+ 。