2015年-2017年立体几何全国卷高考真题

2015-2017 立体几何高考真题

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 ：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙

角

处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）

，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的

弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 为1.62立方尺，圆周率约为

3，估算出堆放斛的米约有（

）

【答案】B

1

【解析】设圆锥底面半径为r ，则 2

4

的体积为1 - 3 （^）2 5 = 320

4 3 3

9

-1.62 疋 22，故选 B.

考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为

体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示

.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则

【答案】B

(A )14 斛 (B )22 斛

(C ) 36 斛 (D ) 66

(A) 1

(C ) 4 (D) 8

?”已知1斛米的体积约 3r 8= r 16 ,所以米堆

3 r ）组成一个几何

320

,故堆放的米约为洱

9

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半

1 2 2 2 2

径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为4 r r 2r r 2r 2r = 5 r 4r =16

2

+ 20，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

BE丄平面ABCD , DF 丄平面ABCD , BE=2DF , AE 丄EC.

(I)证明：平面AEC丄平面AFC ;

(H)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

【解析】

试题分析：(I)连接BD，设BD A AC=G，连接EG, FG, EF，在菱形ABCD中，不妨设

GB=1易证EG丄AC,通过计算可证EG丄FG,根据线面垂直判定定理可知EG丄平面AFC ,

UUU UULT 由面面垂直判定定理知平面AFC丄平面AEC; (H)以G为坐标原点，分别以GB,GC的方

UUU

向为x轴，y轴正方向，I GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出

异面直线AE与CF所成角的余弦值.

试题解析：(I)连接BD，设BD A AC=G，连接EG, FG, EF，在菱形ABCD中，不妨设

GB=1，由/ABC=120 °，可得AG=GC= .3.

由BE 丄平面ABCD , AB=BC 可知，AE=EC , 又T AE丄EC,「.EG= 3 , EG丄AC ,

3、(2015年1卷18题)如图，四边形ABCD为菱形, /ABC=120 ,E, F是平面ABCD 同一侧的两点,

则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ )

LUUT uuu

AE CF -utur_utu- |AE||CF |

所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

4、（ 2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如右图,

在Rt △ EBG 中，可得 BE= 2，故 DF=

在Rt △ FDG 中，可得

在直角梯形 BDFE 中，由BD=2 , BE= 2 ,

DF= 2 可得 EF= 3-2 ,

2 2

2 2 2

???EG FG EF ,「.EG 丄 FG ,

??AC A FG=G ,「.EG 丄平面 AFC ,

VEG 面AEC ，?平面AFC 丄平面 AEC.

uuu uur

（n ）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB,GC 的方向为x 轴，y 轴正方向,

uuu

|GB|为单位

长度，建立空间直角坐标系 G-xyz ，由（I ）可得A （0，— J 3，0 ），E （1,0, 42 ），F （-

1,0， 乎），C （ 0， 2 -

uuu V 3，0 )，? AE = (1，

罷，血），C^ （-1，-73

)? (10)

uuu uuu 故 cos AE ,CF

【解析】由三视图得，在正方体ABCD AiBC i D i 中，截去四面体 A AB 1D 1，如图所示，，

1

所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为

丄，故选D .

5

5、（2015年2卷9题）已知A,B 是球0的球面上两点，Z AOB=90,C 为该球面上的动点， 若三棱锥O-ABC 体积的最大值为 36，则球0的表面积为（ ）

A . 36 n

B . 64 n

C . 144 n

D . 256 n

【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O ABC 的体积最

1 1

2 1 3

大，设球0的半径为R ，此时V O ABC V C AOB

R 2 R -R 3 36，故R 6，则 3 2 6

2

球0的表面积为S 4 R 144 ，故选C . 考点：外接球表面积和椎体的体积.

6、（ 2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体ABCD ABQ 1D 1中,AB=16 ,

BC=10, AA 1 8，点 E , F 分别在 AB , CQ 上，AE

4 .过点 E , F 的平 面

与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

设正方体棱长为a ，则V A A 1B 1D 1

--a 3 -a 3，故剩余几何体体积为 3 2

6 考点：三视图.

(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (n)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.

【解析】(I)交线围成的正方形 EHGF

如图:

(n)作EM AB ，垂足为M ，则AM A “E 4 , EM AA 8，因为EHGF 为正

方形，所以EH EF BC 10 .于是MH .

―EM 2

6，所以AH 10 .以D

uuu

为坐标原点， DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D xyz ，则

uuu uuur

A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F(0,4,8) , FE (10,0,0) , HE (0, 6,8).设

r uur

r

n FE 0, 10x 0,

n (x,y,z)是平面EHGF 的法向

量，则 r uur

即 所以可取 n HE 0,

6y 8z 0,

r uuur

r uuu

r uuur n AF 4薦 n (0, 4,3) ?又 AF ( 10,4,8)，故

cos n,AF r -[ ----- .所以直线AF 与

1 n AF 15

7、(2016年1卷6题)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互

28

垂直的半径.若该几何体的体积是 ------ ,则它的表面积是

3

C

15

考点：1、直线和平面平行的性质； 2、直线和平面所成的角.

(A) 17 (B) 18 (C) 20 (D) 28

考点：三视图及球的表面积与体积

平面ABCD = m , I 平面AB B 1A 1 = n ,则m 、n 所成角的正弦值为

试题分析：如图，设平面CB 1D 1 I 平面ABCD = m',平面CB 1D 1 I 平面ABBA = n',因为

//平面CB 1D 1所以m//m', n//n'，则m, n 所成的角等于m',n'所成的角.延长AD ,过D 1

作 D 1E//B 1C ，连接 CE,B 1D 1，则 CE 为 m',同理 B 1F 1 为 n',而 BD//CE, B 1F 1 //A ,B ,则

m',n'所成的角即为AB,BD 所成的角，即为60 ,故m,n 所成角的正弦值为

考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角

A 试题分析：

该几何体直观图如图所

4

R 3 3

28

，解得R 2 ,所以它

3

的表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和S=；

22+3

22=17 故选 A .

8、（2016年1卷11题）平面

过正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A , // 平面 CB 1D 1,

(A) 3

2

(B)

2

2

(C) 3

3

（D ）

3

【解

是一个球被切掉左上角的

1

，设球的半径为R ,则V

8