多边形边角关系(思维训练含答案)

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知识要点梳理

定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

凸多边形

分类 1：

凹多边形

正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

分类 2：

多边形非正多边形：

1、 n 边形的内角和等于180 °（ n-2）。

多边形的定理 2 、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、 n 边形的对角线条数等于1/2 ·n（n-3）

只用一种正多边形：3、 4、 6。

镶嵌拼成 360 度的角

只用一种非正多边形（全等）： 3、 4。

知识点一：多边形及有关概念

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（ 1）多边形的一些要素：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有 n 个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（ 2）在定义中应注意：

①一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）；

②首尾顺次相连，二者缺一不可;

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况 ,即空间多边形 .

2、多边形的分类:

(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整

个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图 1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形 .

凸多边形凹多边形

图 1

(2)多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角

形是边数最少的多边形．

知识点二：正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五

边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形

正十二边形

要点诠释：

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边

形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也

都相等的四边形才是正方形

知识点三：多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 . 如图 2， BD 为四边形 ABCD 的一条对角线。

要点诠释：

(1)从 n 边形一个顶点可以引(n－ 3)条对角线，将多边形分成(n－ 2)个三角形。

(2)n 边形共有条对角线。

证明：过一个顶点有n－3 条对角线 (n≥ 3 的正整数 )，又∵共有n 个顶点，∴共有 n(n-3)

条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n 边形，共有条对角

线。

知识点四：多边形的内角和公式

1.公式：边形的内角和为.

2.公式的证明：

证法 1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这

个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为.

证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.

证法 3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，

即.

要点诠释：

(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。

(2)内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：多边形的外角和公式

1.公式：多边形的外角和等于360° .

2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以

边形的内角和加外角和为，外角和等于.注意： n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。

要点诠释：

(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于 (n－ 2)·180° (n≥ 3，n 是正整数 )，可见多边形内角和与边数

n有关，每增加

1条边，内角和增加 180°。②多边形的外角和等于

360°，与边数的多少无关。

知识点六：镶嵌的概念和特征

1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做

用多边形覆盖平面 (或平面镶嵌 )。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。

3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：

(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内

角之和为 360°。

(2)只用一种正多边形镶嵌地面

对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成

一个周角 360°时，就能铺成一个平面图形。

点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k

是正整数，所以 n 只能取 3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方

形、正六边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于 360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四

边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。

(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面

用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处

各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、

正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：

又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因

为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。

规律方法指导

1．内角和与边数成正比：边数增加，内角

和增加；边数减少，内角和减少 . 每增加一条边，

内角的和

就增加 180°（反过来也成立），且多边

形的内角和必须是180°的整数倍 .

2．多边形外角和恒等于360°，与边数的

多少无关 .

3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没

有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个

钝角，最少

没有钝角 .

4．在运用多边形的内角和公式与外角的性

质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节

问题的常用方法.

5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是

研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.

巩固提高

一、填空题

1.如果一个多边形的内角和等于900°, 那么这个多边形是 ___7__ 边形 .

2.一个正多边形的每个外角都等于30°, 则这个多边形边数是 __12____.

3.n 边形的外角和与内角和的度数之比为2:7, 则边数为 ___9____.

4.从一个多边形的一个顶点出发, 一共做了 10 条对角线 , 则这个多边形的内角和为_1980 度 .

5.在四边形 ABCD中 , 如果∠ A: ∠B: ∠C:∠D=1:2:3:4, 则∠ D=__ 144____.

6.一个多边形的内角和是外角和的 5 倍 , 那么这个多边形的边数是 ( )

1

7、正 n 边形的一个外角等于它的一个内角的 3 ，则n=________.

8、正 n 边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线 .

9、一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，则除去的这个内角的度数为

________.

11. 从 n 边形 (n>3) 的一个顶点出发，可以画__ n-3_____ 条对角线，.这些对角线把n 边形分成__ n-2____ 三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和__相等 _____。.

12.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是__四 __边形。

13.如果一个多边形的内角和等于它的外角和 5 倍，那么这个多边形是_12___边形。

14.若 n 边形的每个内角都是 150°，则 n=_12___。

16.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的 2 倍，那么这个边形的每个内角是_120____度，其内角和等于_720_____度。

1

18. 一个多边形的外角和是它的内角和的 4 ，这个多边形是_10_____边形。

19.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于 __144____度，每个外角都等于___36___度。

21.如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是 __12____边形；如果一个ｎ边形

每一个内角都是 135°，则＝ｎ __8____；如果一个ｎ边形每一个外角都是36°，则＝ｎ

__10____。

26.多边形的边数增加一条时，其外角和，内角和增加.

29.如果一个多边形的每一个内角都相等, 且每一个内角都大于135° ,那么这个多边形的

边数最少为 ___.

30.已知一个多边形的每一个外角都相等, 一个内角与一个外角的度数之比为9:2, 则这个多

边形的边数为 _.

37.从一个多边形的一个顶点出发, 一共做了 10 条对角线 , 则这个多边形的内角和为 _____度.

44．个多边形的每个外角都是 300， 则这个多边形是 边形．

45. 一个五边形五个外角的比是

2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是

．

63. 若凸 n

边形的内角和为 1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____

【答案】 6

65. 如图 5，四边形 ABCD 中，若去掉一个 60o 的角得到一个五边形，则∠ 1+∠2=_________ 度．

图 5

思路导引：根据题意，结合平角定义以及三角形的内角和，三角形的外角性质进行解答

解析：∠ 1＋∠ 2=360°－（ 180°－∠ A ）=180°＋∠ A=240°

点评： 灵活运用三角形的内角和、 三角形的外角以及多边形的内角和、

外角和是解答与多边

形有关的角度计算问题的基础

.

66. 如 图 ， ∠1、 ∠2、 ∠3、 ∠4 是 五 边 形 ABCDE 的 4 个 外 角 ， 若 ∠A=1200 ， 则

∠1+∠2+∠3+∠4=

.

D

E 3

2

4

C

A

1

B

解析：由于多边形的外角和均为 3600，因而∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 及

其∠A 的领补角这五个角的和为

3600，∠A 的领补角为 600，所

以∠ 1+∠2+∠3+∠4=3600 -600=3000.

答案： 3000.

点评：多边形的外角和均为 3600，常用这一结论求多边形的边数、外角

的度数等问题 .

3

69. 已知一个多边形的内角和是外角和的

2 ，则这个多边形的边数是

.

【解析】设这个多边形的边数为

n ，由题意可得，（ n-2 ）× 180°= ×360°解得， n=5

文案大全

【点评】 此题比较简单， 只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，

构

建方程即可求解

二、选择题

2. 若一个多边形除了一个内角外 , 其余各内角之和是 2570°, 则这个角是 ( D ) A.90° B.15 ° C.120 ° D.130 °

3. 在多边形的内角中 , 锐角的个数不能多于 ( B ) A.2 个

B.3

个

C.4

个

D.5

个

4.n 边形的边数增加一倍

, 它的内角和增加 ( C )

A.180°

B.360 °

C.(n

- 2).180 ° D.n.180 °

6、若多边形的边数由 3 增加到 n （ n

为正整数），则其外角和的度数（

）

A 、增加

B 、减少

C 、不变

D 、不能确定

7、一个多边形的内角和比它的外角和的

3 倍少 180

，这个多边形的边数是（ ）

A

、 5 条

B 、 6 条C

、 7 条 D

、8 条

8、下列说法错误的个数：

（ ）

（ 1）、任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；（ 2）、若线段

a 、

b 、 c

满足 a

b c ，以 a ，b ，c 为边能构成一个三角形；（

3）、一个多边形从一个顶点共引

出三条对角线，此多边形一定是五边形（

4）、多边形中内角最多有 2 个是锐角；（ 5）、一

60 0

（ 6）、以 a 为底的等腰三角形其腰长一定大于

a

个三角形中， 至少有一个角不小于

2

（ 7）、

一个多边形增加一条边，那它的外均增加 1800

。

A 、 1 个B

、 2 个 C

、 3 个

D 、4 个

9、下列说法中，①等边三角形是等腰三角形；②三角形外角和大于这个三角形内角和；③

四边形的内角最多可以有三个钝角；④多边形的对角线有 7 条，正确的个数有几个 ( )

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

10、如果一个多边形的边数增加

1 倍，它的内角和是

2160°，那么原来那个多边形的边数

是 ( )

A ． 5

B ． 6

C ． 7

D ． 8

11、 a 、 b 、c 是三角形的三边长，化简

a b c b

a c c a

b

后等于 (

)

A ． b a 3c

B ． a b c

C ． 3a 3b 3c

D ． a b c

12、一个 n 边形削去一个角后，变成 (n+1) 边形的内角和 为 2520°，则原 n 边形的边数是 ( )

A ． 7

B ． 10

C ． 14

D ． 15

15. 某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（

C ）

A.180 °

B.540 °

C.1900 °

D.1080

°

17.如果一个多边形的内角和是它的外角和的n 倍，则这个多边形的边数是（ D ）

Ａ .nＢ .2n-2Ｃ.2nＤ .2n+2

18.一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（ C ）

Ａ .13Ｂ .14Ｃ .15Ｄ.13或 15

20.一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（ A ）

Ａ .60 °Ｂ .80 °Ｃ.100°Ｄ .120 °

30.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是25200，那么原多边形的顶点数为( )

A.8

B.9

C.6

D.10

42.在多边形的内角中 , 锐角的个数不能多于 ( ) A.2

个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

44、一个多边形的外角中, 钝角的个数不可能是( )毛

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

45.若一个多边形的各内角都相等 , 则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( )

A.2:1

B.1:1

C.5:2

D.5:4

46.一个多边形的内角中 , 锐角的个数最多有 ( )

A.3 个

B.4个

C.5个

D.6个

47.四边形中 , 如果有一组对角都是直角 , 那么另一组对角可能 ( )

A. 都是钝角 ;

B.都是锐角

C.是一个锐角、一个钝角

D.是一个锐角、一个直角

54. 如图所示 , 各边相等的五边形ABCDE中, 若∠ ABC=2∠ DBE,则∠ ABC等于 ( )

A.60 °

B.120°

C.90°

D.45°

A E

B

C D

68.若一个多边形的内角和小于其外角和, 则这个多边形的边数是

A ． 3B．4C．5D．6

【答案】 A

69.下列命题是假命题的是

A．三角形的内角和是180o ．

B．多边形的外角和都等于360o．

C．五边形的内角和是900o ．

D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

【答案】 C

三、简答题

1. 一个多边形的最大外角为85°, 其他外角依次减少10°,求这个多边形的边数. （ 6）

2. 已知 : 如图 , 五边形 ABCDE中,AE// CD,∠A=107°, ∠B=121°, 求∠C 的度数 . （ 132）

E

A

B

D

C

4. 已知 : 过 m边形的一个顶点有7 条对角线 ,n 边形没有对角

线,p 边形有 p 条对条线 . 求 (m-p)n.(125)

7、如图，求A B C D E F 的度数和。（360）

9. 如图，在六边形 ABCDEF中，AF//CD，AB//DE，且 A 1200， B80 0，求 C 和D

的度数

10、如图，在四边形 ABCD中，∠ A=∠C=90°， BE 平分∠ ABC， DF平分∠ ADC，试问 BE∥DF 吗？为什么？

A

F

D

B

E

12、把一副三角板的直角顶点O重叠在一起，

1）如图（ 1），当 OB平分∠ COD时，则∠ AOD和∠ BOC的和是多少度？

2）如图（ 2），当 OB不平分∠ COD时，则∠ AOD和∠ BOC的和是多少度？

（8 分）

A C C

A

B

O B

O

D

D图（ 2）

图（ 1）

解：1）∵OB平分∠ COD∴∠ COB=∠ BOD=45°∴∠ COA=90°-45 ° =45°∴∠ AOD+∠

BOC=∠ AOC+ ∠COD+∠ BOC=45° +90° +45°=180°

2）∵∠ AOC+∠BOC=90°∠ BOD+∠BOC=90°∴∠ AOD+∠ BOC=∠AOC+∠ BOC+∠BOD+∠ BOC ∴∠ AOD+∠BOC=（∠ AOC+∠ BOC） +（∠ BOD+∠ BOC） =90° +90° =180°

14.如图 7，将正六边形绕其对称中心O 旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转

的角度至少是度．

【关键词】旋转；中心对称

【答案】 60

15.若两个多边形的边数之比为 1：2，两个多边形的内角和之和为 1440°，求这两个多边形的边数。

18．一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是几边形能确定它的每一个

外角的度数吗？

21．如图，求∠A＋∠ B＋∠ C＋∠ D＋∠ E＋∠ F 度数。

D

A

F

23.求图 15-13 ①、②中，∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E的度数。

24.一个五边形的五个外角的读数比是1∶ 2∶ 3∶4∶ 5，求这个五边形的五个内角的度数比.